第7章 7.3.4 正切函数的性质与图象（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．函数 y＝tan 是(　　) A.最小正周期为4π的奇函数 B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为4π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数 解析　函数 f(x)＝tan ，定义域为{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}， f＝tan ＝－tan ＝－f(x)，函数为奇函数，其最小正周期 T＝＝2π. 答案　B 2．函数 y＝的定义域为(　　) A. B. C. D. 解析　要使函数 y＝有意义，则tan ≠0，于是k∈Z，即k∈Z，因此 x≠＋，k∈Z，所以原函数的定义域为. 答案　A 3．(2025·全国一卷)已知点(a，0)(a>0)是函数y＝2tan 的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　) A. B． C. D． 解析　令x－＝，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，故y＝2tan 的图象的对称中心为(k∈Z)，由题意知a＝＋，k∈N，其最小值为.故选B. 答案　B 4．函数 f(x)＝3tan ，x∈的值域为(　　) A. B． C. D． 解析　∵x∈，∴2x＋∈， ∴tan ∈， ∴3tan ∈. 答案　C 5．(2024·山东聊城高一期中)已知函数y＝tan (2x＋φ)图象的一个对称中心为，则φ的值为 ． 解析　由2×＋φ＝(k∈Z)，得φ＝－(k∈Z).又－＜φ＜，则φ＝－或φ＝. 答案　－或 6．函数y＝|tan x|，y＝tan x，y＝tan (－x)，y＝tan |x|在区间上的大致图象依次是 (填序号). 解析　∵|tan x|≥0，∴图象在x轴上方，∴y＝|tan x|对应①；∵tan |x|是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴y＝tan |x|对应③；而y＝tan (－x)与y＝tan x关于y轴对称，∴y＝tan (－x)对应④，y＝tan x对应②，故四个图象依次是①②④③. 答案　①②④③ 7．已知函数f(x)＝tan (3x＋φ)的图象关于点对称，则φ＝ ． 解析　因为f(x)＝tan (3x＋φ)的图象关于点对称， 所以－＋φ＝，k∈Z，所以φ＝＋，k∈Z，因为|φ|≤，所以φ＝－. 答案　－ 8．已知函数y＝3tan . (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的定义域； (3)说明此函数的图象是由y＝tan x的图象经过怎样的变换得到的？ 解析　(1)由题意得，函数y＝tan 的最小正周期T＝. (2)由2x－≠kπ＋，k∈Z， 得x≠＋，k∈Z. 所以原函数的定义域为. (3)把函数y＝tan x图象上所有的点向右平移个单位长度，得函数y＝tan 的图象，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得函数y＝tan 的图象，最后将图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得函数y＝3tan 的图象． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)下列说法正确的是(　　) A.tan ＞tan B.sin 145°＜tan 47° C.函数y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为 D.函数y＝2tan x的值域是[2，＋∞) 解析　A错误，tan ＝tan ＝tan ， 因为0＜＜＜， 函数y＝tan x在上单调递增， 所以tan ＜tan ，即tan ＜tan ； B正确，sin 145°＝sin 35°＜1，tan 47°＞1， 故sin 145°＜tan 47°； C错误，函数y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为； D正确，∵≤x＜， ∴由函数的单调性可知y＝2tan x≥2.故选BD. 答案　BD 10．(多选题)已知函数f(x)＝tan ＋6(ω>0)的最小正周期为，则下列结论正确的是(　　) A.ω＝6 B.f(x)的图象经过点 C.f(x)的定义域为 D.不等式f(x)>9的解集为(k∈Z) 解析　由正切函数的周期T＝＝， 解得ω＝3.故A错误． 因为f＝tan ＋6＝5， 所以f(x)的图象经过点.故B正确． 令3x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z， 即f(x)的定义域为.故C正确． 令tan ＋6>9，则tan >，所以＋kπ<3x＋<＋kπ，k∈Z，得<x<＋，k∈Z，即不等式f(x)>9的解集为(k∈Z).故D正确．故选BCD. 答案　BCD 11．已知函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)的部分图象如图，则f的值为 ． 解析　由图象可知： T＝2＝， ∴ω＝2，∴2×＋φ＝kπ＋(k∈Z). 又|φ|＜， ∴φ＝. 又f(0)＝1，∴A tan ＝1，得A＝1， ∴f(x)＝tan ， ∴f＝tan ＝tan ＝. 答案　 12．函数y＝的定义域为 ． 解析　根据题意，得 解得 所以函数的定义域为∪(k∈Z). 答案　∪(k∈Z) 13．已知函数f(x)＝3tan . (1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)试比较f(π)与f的大小． 解析　(1)∵f(x)＝3tan ＝－3tan ， ∴函数f(x)的最小正周期为T＝4π. 令kπ－＜－＜kπ＋，k∈Z， 得4kπ－＜x＜4kπ＋，k∈Z， ∴函数f(x)＝3tan 的单调增区间为(k∈Z)， ∴函数f(x)＝3tan 的单调减区间为 (k∈Z). (2)f(π)＝3tan ＝3tan ＝－3tan ， f＝3tan ＝3tan ＝－3tan . ∵0＜＜＜，且y＝tan x在上单调递增， ∴tan ＜tan ， ∴－3tan ＞－3tan ，即f(π)＞f. [学科素养·探索创新] 14．函数f(x)＝tan (ωx＋φ)，某相邻两支图象与坐标轴分别交于点A，B，则方程f(x)＝sin ，x∈[0，π]所有解的和为(　　 ) A. B． C. D． 解析　由题意，得－＝T，所以T＝， 因为ω>0，所以＝，所以ω＝2， 又tan ＝0，0<|φ|<， 解得φ＝－， 所以f(x)＝tan ，故＝sin ，x∈[0，π]， 因为x∈[0，π]，所以2x－∈， 当sin ＝0或cos ＝1时满足题意， 所以2x－＝0或2x－＝π， 解得x1＝，x2＝， 故x1＋x2＝＋＝. 答案　B 15．已知函数f(x)＝x2＋2x tan θ－1，其中θ≠＋kπ，k∈Z. (1)当θ＝－，x∈[－1，]时，求函数f(x)的最大值与最小值； (2)若函数g(x)＝为奇函数，求θ的值； (3)求使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数的θ的取值范围． 解析　(1)当θ＝－时， f(x)＝x2－x－1＝－. ∵x∈[－1，]，∴当x＝时，f(x)min＝－； 当x＝－1时，f(x)max＝. (2)由题知g(x)＝x－＋2tan θ， ∵g(x)为奇函数，∴0＝g(－x)＋g(x)＝－x＋＋2tan θ＋x－＋2tan θ＝4tan θ， ∴tan θ＝0，∴θ＝kπ，k∈Z. (3)函数f(x)的图象的对称轴为x＝－tan θ. ∵f(x)在区间[－1，]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥， 即tan θ≤－或tan θ≥1， ∴－＋kπ＜θ≤－＋kπ或＋kπ≤θ＜＋kπ，k∈Z， 故θ的取值范围是∪(k∈Z). 学科网（北京）股份有限公司 $