第7章 7.3.2 第2课时 正弦型函数的性质及应用（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．函数 f(x)＝sin 4x是(　　) A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数 C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数 解析　函数 f(x)＝sin 4x的定义域为R， 由f＝sin ＝－sin 4x＝－f(x)，得f(x)为奇函数，其周期 T＝＝. 答案　A 2．(2025·山东潍坊检测)设函数 f(x)＝sin 2x在区间的最小值和最大值分别为m和M，则M－m＝(　　) A.2 B． C. D． 解析　若 x∈，则2x∈， 由正弦函数的性质可知， 当 2x＝时，函数取得最小值，即 m＝－， 当 2x＝时，函数取得最大值，即 M＝1， 所以M－m＝. 答案　B 3．函数 y＝sin 的图象的一个对称轴方程是(　　) A.x＝－ B．x＝－ C.x＝ D．x＝ 解析　对于函数 y＝sin ，令 2x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，故函数的对称轴方程为 x＝＋，k∈Z，令 k＝0，可知函数的一条对称轴为 x＝. 答案　C 4．已知函数 f(x)＝2sin (ωx＋φ)的图象的相邻两个最高点的距离为，f(0)＝，则f(x)＝(　　) A.sin B．2sin C.sin D．2sin 解析　因为函数 f(x)＝2sin (0<φ<)的图象的相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的图象的最小正周期为，所以ω＝＝4.因为 f(0)＝，所以sin φ＝，因为 0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin . 答案　D 5．函数y＝sin 在上的单调递增区间为 ． 解析　因为－≤x≤，则－≤x＋≤， 则当－≤x＋≤，即－≤x≤时，函数单调递增， 即函数y＝sin 在上的单调递增区间为． 答案　 6．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的图象如图所示，则f＝ ． 解析　函数的周期为T＝＝，则图中相邻两个零点之间的距离为，又＋＝，所以f＝0. 答案　0 7．将函数f(x)＝sin 的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数，则φ的可能取值是 (只需填一个值). 解析　将函数f(x)＝sin 的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度，得g(x)＝sin ＝sin ， ∵g(x)是奇函数，∴g(0)＝sin ＝0， ∴－2φ＋＝kπ，k∈Z，∴φ＝－，k∈Z， 则φ的可能取值是. 答案　(答案不唯一) 8．已知函数f(x)＝3sin 的图象的一条对称轴是直线x＝. (1)求φ值； (2)求函数y＝f(x)的单调增区间和对称中心． 解析　(1)∵x＝是f(x)的图象的一条对称轴， ∴sin ＝±1， ∴＋φ＝kπ＋，k∈Z. ∵0＜φ＜，∴φ＝. (2)由(1)知y＝3sin . 由题意得2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z， 即4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z， ∴函数f(x)的单调增区间为 (k∈Z). 由x＋＝kπ(k∈Z)得x＝2kπ－(k∈Z)， 故该函数的对称中心为(k∈Z). [关键能力·综合提升] 9．(多选题)已知函数f＝3sin ，下列结论正确的是(　　) A.函数f恒满足f＝f B.直线x＝为函数y＝f图象的一条对称轴 C.点是函数y＝f图象的一个对称中心 D.函数y＝f在上为增函数 解析　f(x)的最小正周期T＝＝π， 所以f＝f，即A正确； 由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，所以直线x＝为函数y＝f(x)图象的一条对称轴，即B正确； 由2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－＋，所以点是函数y＝f(x)图象的一个对称中心，即C正确； 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，即f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，即D错误． 答案　ABC 10．(多选题)已知函数f＝sin 在上是单调函数，且f＝f＝－f.则ω的可能取值为(　　) A. B．2 C. D．1 解析　对于A，ω＝，若f(0)＝f(π)＝－f， 即sin φ＝sin ＝－sin ⇒sin φ＝cos φ－sin φ⇒tan φ＝， 可取φ＝， 则f(x)＝sin ，在上单调递减，故A正确． 对于B，ω＝2，若f(0)＝f(π)＝－f， 即sin φ＝sin ＝－sin ⇒sin φ＝sin φ＝sin φ， 此时可以取φ＝，使得函数在上单调递增，故B正确． 对于C，ω＝，若f(0)＝f(π)＝－f， 即sin φ＝sin ＝－sin ＝cos ， 则sin φ＝cos φ＋sin φ⇒tan φ＝且sin φ≠cos ，故C错误． 对于D，ω＝1，若f(0)＝f(π)＝－f，即sin φ＝sin (π＋φ)＝－sin ＝cos φ， 则sin φ＝－sin φ⇒sin φ＝0≠cos φ，故D错误． 答案　AB 11．已知函数f＝sin ，且f＝f＝，则α＋β＝ ． 解析　∵函数f＝sin ，∴2x＋∈， ∵f＝f＝(α≠β)，则由正弦函数的对称性可得2α＋＋2β＋＝2·， 所以α＋β＝. 答案　 12．函数f(x)＝2sin 在[0，π]上的单调递增区间为 ． 解析　函数f(x)＝2sin ＝－2sin ， 令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 令k＝0，得≤x≤， 所以函数f(x)＝2sin 在[0，π]上的单调递增区间为. 答案　 13．设函数f(x)＝sin ，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值． 解析　(1)最小正周期T＝＝π， 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， ∴函数f(x)的单调递增区间是 (k∈Z). (2)令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤， ∴当t＝，即x＝时， ymin＝×＝－1， ∴当t＝，即x＝时，ymax＝×1＝. [学科素养·探索创新] 14．(多选题)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列说法正确的有(　　 ) A.ω＝2 B.为函数f(x)的一个对称中心点 C.为函数f(x)的一个递增区间 D.可将函数y＝cos 2x向右平移个单位长度得到f(x) 解析　由题，可得A＝1，T＝2×＝π，则ω＝＝2，故A正确； 又f＝1，所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<， 所以φ＝，所以f(x)＝sin ， 对于B，当x＝－时，f＝sin ＝0，所以函数图象关于点对称，故B正确； 对于C，由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 令k＝2，可得≤x≤，所以不是函数f(x)的一个递增区间，故C错误； 对于D，将函数y＝cos 2x向右平移个单位长度得到y＝cos 2＝cos ＝sin ＝sin ＝f(x)，故D正确． 答案　ABD 15．已知函数f(x)＝2sin ＋1(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为. (1)求f的值； (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间． 解析　(1)∵f(x)为偶函数，∴φ－＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ＋，k∈Z. 又0＜φ＜π，∴φ＝， ∴f(x)＝2sin ＋1. 又函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为， ∴T＝＝2×， ∴ω＝2，∴f(x)＝2sin ＋1 ∴f＝2sin ＋1＝＋1. (2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数f的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f的图象， 所以g(x)＝f＝2sin ＋1. 由＋2kπ≤＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z. ∴函数g(x)的单调递减区间是 (k∈Z). 学科网（北京）股份有限公司 $