第7章 7.3.1 正弦函数的性质与图象（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．函数y＝2－sin x，x∈[0，2π]的简图是(　　) 解析　列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 y＝2－sin x 2 1 2 3 2 观察各图象发现A项符合．故选A. 答案　A 2．(2024·内蒙古赤峰高一期中)已知函数f(x)＝sin 是奇函数，则φ的值可以是(　　) A．0 B． C． D． 解析　f(x)＝sin 是奇函数，则只需＋φ＝kπ，k∈Z， 所以φ＝kπ－，k∈Z，所以k＝1时，φ＝. 答案　D 3．(多选题)正弦函数y＝sin x，x∈[－2π，2π]，当y取得最小值时，x的值可以为(　　) A．－ B．π C． D． 解析　当x＝－＋2kπ，k∈Z时，y＝sin x取最小值. 又x∈[－2π，2π]，∴x可取－，. 答案　AC 4．不等式sin x≥的解集为(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 解析　画出正弦函数y＝sin x的图象，如图： ∵sin ＝，sin ＝， ∴sin x≥等价sin ≤sin x≤sin ， ∵y＝sin x的周期为2π， ∴2kπ＋≤x≤2kπ＋，故不等式的解集为. 答案　C 5．函数y＝4sin x＋3在[－π，π]上的递增区间为 ． 解析　因为y＝sin x在[－π，π]上的递增区间为，所以函数y＝4sin x＋3在[－π，π]上的递增区间为. 答案　 6．(2024·上海期中)若函数f(x)＝sin 的最小正周期是π，则g(x)＝－2sin 的最小正周期是 ． 解析　因为f(x)＝sin 的最小正周期为＝π，所以|λ|＝2， 所以g(x)＝－2sin 的最小正周期是＝. 答案　 7．(2024·河北邯郸高一期中)已知函数y＝a＋b sin 的最大值为5，最小值为－1，则a＝ ． 解析　解法一　若b＞0，由－1≤sin ≤1，可得所以a＝2，b＝3；若b＜0，可得所以a＝2，b＝－3，所以a＝2. 解法二　根据三角函数的图象与性质可得a＝＝2. 答案　2 8．求函数y＝cos2x－sinx的值域． 解析　y＝cos2x－sinx＝－sin2x－sinx＋1 ＝－＋. ∵sin x∈[－1，1]， ∴当sin x＝－时，ymax＝； 当sin x＝1时，ymin＝－1. ∴函数y＝cos2x－sinx的值域为. [关键能力·综合提升] 9．如图所示，函数y＝cos x|tan x|的图象是(　　) 解析　当0≤x<时，y＝cos x·|tan x|＝sin x； 当<x≤π时，y＝cos x·|tan x|＝－sin x； 当π<x<时，y＝cos x·|tan x|＝sin x，故其图象为C. 答案　C 10. (2024·天津卷)已知函数f(x)＝sin 3(ω＞0)的最小正周期为π.则函数在的最小值是(　　) A．－ B．－ C．0 D． 解析　f(x)＝sin 3＝sin (3ωx＋π)＝ －sin 3ωx，由T＝＝π得ω＝， 即f(x)＝－sin 2x，当x∈时，2x∈， 画出f(x)＝－sin 2x图象，如图， 由图可知，f(x)＝－sin 2x在上递减， 所以，当x＝时，f(x)min＝－sin ＝－. 答案　A 11．函数f(x)＝2cos2x＋2sinx－3，x∈[0，π]的最大值为 ． 解析　f(x)＝2(1－sin2x)＋2sinx－3 ＝－2sin2x＋2sinx－1 ＝－2－， ∵x∈[0，π]，∴sin x∈[0，1]， ∴当sin x＝时，f(x)max＝－. 答案　－ 12．函数y＝的定义域为 ． 解析　依题意，知－2sin x－1≥0， 即sin x≤－. 由y＝sin x，x∈[0，2π]的图象知，当≤x≤时，sin x≤－， 所以函数y＝的定义域为. 答案　 13．比较下列各组数的大小． (1)sin 和cos ； (2)sin 和sin . 解析　(1)∵cos ＝sin ， 又＜＜＋＜π， y＝sin x在上是减函数， ∴sin ＞sin ＝cos ， 即sin ＞cos . (2)∵cos ＝sin ， ∴0＜cos ＜sin ＜1＜. 而y＝sin x在内递增， ∴sin ＜sin . [学科素养·探索创新] 14．已知函数f(x)＝|sin x|，x∈[－2π，2π]，则方程f(x)＝的所有根的和等于(　　 ) A．0 B．π C．－π D．－2π 解析　解法一　若f(x)＝，即|sin x|＝， 则sin x＝或sin x＝－.因为x∈[－2π，2π]， 结合图象(如图)可知，方程sin x＝有4个根，且关于x＝－对称， 对称的2个根之和为－π，则4个根之和为－2π， 由对称性可得sin x＝－的四个根之和为2π. 综上，方程f(x)＝的所有根的和等于0. 解法二　作出函数f(x)的图象，如图所示，易知函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，若f(x)＝，即|sin x|＝，则函数f(x)与直线y＝的图象共有8个交点，且两两关于y轴对称，故所有根之和为0. 答案　A 15．已知函数f(x)＝sin x－2|sin x|，x∈[0，2π]， (1)作出函数f(x)的图象，并写出f(x)的单调区间； (2)讨论g(x)＝sin x－2|sin x|－k，x∈[0，2π]的零点个数，并求此时k的取值范围． 解析　(1)f(x)＝图象如图所示， 由图象可知f(x)的递增区间为，； f(x)的递减区间为，. (2)由图象可知：当k>0或k<－3时，直线y＝k与函数f(x)有0个交点，即g(x)＝sin x－2|sin x|－k的零点个数为0； 当k＝－3时，直线y＝k与函数f(x)有1个交点，即g(x)＝sin x－2|sin x|－k的零点个数为1； 当－3<k<－1时，直线y＝k与函数f(x)有2个交点，即g(x)＝sin x－2|sin x|－k的零点个数为2； 当k＝0或k＝－1时，直线y＝k与函数f(x)有3个交点，即g(x)＝sin x－2|sin x|－k的零点个数为3； 当－1<k<0时，直线y＝k与函数f(x)有4个交点，即g(x)＝sin x－2|sin x|－k的零点个数为4. 学科网（北京）股份有限公司 $