第7章 7.2.4 第2课时 角α与π2±α，3π2±α的三角函数的关系（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．已知θ是第四象限角，且sinθ＝－，则＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析　化简得＝＝tan θ， ∵sin θ＝－，θ是第四象限角，∴cos θ＝＝，∴tanθ＝－. 答案　B 2．已知sin ＝－，且0<φ<π，则tan φ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　由题意，sin ＝cos φ＝－，又0<φ<π，则φ＝，所以sin φ＝，则tan φ＝＝－. 答案　A 3．(多选题)下列等式恒成立的是(　　) A．sin (π＋α)＝sin α B．cos ＝sin α C．sin ＝cos α D．tan (π＋α)＝－tan α 解析　sin (π＋α)＝－sin α，故A错误；cos ＝cos ＝sin α，故B正确；sin ＝cos α，故C正确；tan (π＋α)＝tan α，故D错误． 答案　BC 4．已知sin ＝，且－270°<α<－90°，则sin (37°＋α)的值为(　　) A． B．± C． D．－ 解析　因为－270°<α<－90°， 则143°<53°－α<323°， 又sin ＝>0，所以143°<53°－α<180°， 所以cos ＝－ ＝－＝－. 所以sin＝sin ＝cos ＝－. 答案　D 5．(2024·浙江杭州高一期末)已知sin ＝－，则cos ＝ ． 解析　因为sin ＝－， 所以cos ＝－cos ＝－cos ＝－sin ＝. 答案　 6．(2024·河南南阳高一期末)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，点P(m，－3m)(m≠0)是角α终边上的一点，则＝ ． 解析　因为角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，点P(m，－3m)(m≠0)是角α终边上的一点， 所以sin α＝＝－， cos α＝＝＝， sin α＝－3cos α， 所以 ＝＝＝－6. 答案　－6 7．化简：·＝ ． 解析　·＝·＝1. 答案　1 8．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求 的值． 解析　因为5x2－7x－6＝0的两根为x＝2或x＝－，所以sin α＝－， 又因为α为第三象限角， 所以cos α＝－＝－. 所以tanα＝. 故原式＝ ＝tan α＝. [关键能力·综合提升] 9．已知tan α＝，则＝(　　) A．－ B． C．－3 D．3 解析　∵tan α＝，∴cos α≠0， 则＝＝＝＝3，故选D. 答案　D 10．已知cos (75°＋α)＝，则sin (α－15°)＋cos (105°－α)的值是(　　) A． B． C．－ D．－ 解析　由于(75°＋α)－(α－15°)＝90°， ∴α－15°＝(75°＋α)－90°. (105°－α)＋(75°＋α)＝180°， ∴105°－α＝180°－(75°＋α)， ∴sin (α－15°)＋cos (105°－α) ＝sin (75°＋α－90°)＋cos [180°－(75°＋α)] ＝－cos (75°＋α)－cos (75°＋α)＝－. 答案　D 11．已知cos ＝2sin ，则tan α＝ ，＋＝ ． 解析　因为cos ＝2sin ， 则－sin α＝－2cos α，故tan α＝2； 又＋＝＝ ＝＝2＋2tan2α＝10. 答案　2　10 12．已知对任意x∈R，有cosx＝sin (x＋φ)，写出一个符合题意的φ的值： ． 解析　由sin ＝cos x，可知对任意x∈R，有cos x＝sin ，则一个符合题意的φ的值为. 答案　 13．化简： －. 解析　因为sin (4π－α)＝sin (－α)＝－sin α， cos＝cos ＝cos ＝－sin α， sin ＝sin ＝sin ＝sin ＝－sin ＝－cos α， tan (5π－α)＝－tan α，sin (3π－α)＝sin (π－α)＝sin α， 所以原式＝－＝－＋＝＝＝1. [学科素养·探索创新] 14．已知sin(x＋φ)＝sin (－x＋φ)，则φ可能是(　　 ) A．0　 　 B．　 　 C．π　 　 D．2π 解析　对于A，当φ＝0时，左边＝sin x，右边＝sin (－x)＝－sin x，不满足条件； 对于B，当φ＝时，左边＝sin ＝cos x，右边＝sin ＝cos x，满足条件； 对于C，当φ＝π时，左边＝sin (x＋π)＝－sin x，右边＝sin (－x＋π)＝sin x，不满足条件； 对于D，当φ＝2π时，左边＝sin (x＋2π)＝sin x，右边＝sin (－x＋2π)＝－sin x，不满足条件． 答案　B 15．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式同时成立． 若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 解析　由条件， 得 ①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③ 又因为sin2α＋cos2α＝1，④ 由③④得sin2α＝，即sinα＝±， 因为α∈，所以α＝或α＝－. 当α＝时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)， 所以β＝，代入①可知符合． 当α＝－时，代入②得cos β＝， 又β∈(0，π)， 所以β＝，代入①可知不符合． 综上所述，存在α＝，β＝满足条件． 学科网（北京）股份有限公司 $