第7章 7.2.3 同角三角函数的基本关系式（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．已知α是第四象限角，若cos α＝，则tan α＝(　　) A. B．－ C.2 D．－2 解析　因为cos α＝，α是第四象限角，所以sin α＝－＝－，所以tanα＝＝－2. 答案　D 2．已知sin α＝，cos α＝－，且α为第二象限角，则m的可能取值为(　　) A.<m<6 B．－6<m< C.m＝4 D．m＝4或 m＝ 解析　∵sin α＝，cos α＝－， ∴2＋2＝1，∴m＝4或 m＝，因为α为第二象限角，所以>0，－<0，因此m＝4，故选C. 答案　C 3．已知2sin α＝cos α，则＝(　　) A.4 B．－4 C.－3 D．3 解析　因为2sin α＝cos α，所以tan α＝＝， 所以＝＝＝－3. 答案　C 4．已知α为第二象限角，则x＝＋的值是(　　) A.－1 B．0 C.1 D．2 解析　∵α是第二象限角， ∴sin α>0，cos α<0，故x＝＋＝1－1＝0. 答案　B 5．(2025·天津月考)已知sin α＋cos α＝－，则sin αcos α＝ ． 解析　由sin α＋cos α＝－，两边平方得 sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝1＋2sin αcos α＝， 所以sin αcos α＝－. 答案　－ 6．(2025·广东韶关高一月考)若tan θ＝－2，则＝ ． 解析　因为tanθ＝－2， 所以＝＝＝＝. 答案　 7．已知sinα＝，cos α＝，则实数m的值的集合为 ． 解析　sin α＝，cos α＝， (m－3)2＋(m－1)2＝(m＋1)2， 整理得m2－10m＋9＝0，解得m＝9或m＝1， 所以m的集合为{1，9}． 答案　{1，9} 8．已知sin θ＋cos θ＝－，求： (1)＋的值； (2)tan θ的值． 解析　(1)因为sin θ＋cos θ＝－， 所以1＋2sin θcos θ＝，即sin θcos θ＝－， 所以＋＝＝. (2)由(1)得＝－， 所以＝－， 即3tan2θ＋10tanθ＋3＝0， 所以tan θ＝－3或tan θ＝－. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)已知θ∈，sin θ－cos θ＝，则下列结论正确的是(　　) A.θ∈ B.cos θ＝－ C.tan θ＝－ D.sin θ＋cos θ＝－ 解析　对于A，2＝1－2sin θcos θ＝⇒2sin θcos θ＝，∵θ∈，则sin θ<0， ∴cos θ<0，∴θ∈，A正确； 对于BCD，∵θ∈，sin θ＋cos θ＝－＝－，联立sin θ－cos θ＝，可得cos θ＝－，sin θ＝－，tan θ＝，BD正确，C错误． 答案　ABD 10．(2024·山西太原高一期中)已知2sin θ＝cos θ，则3sin2θ－sinθcos θ＝(　　) A.－ B． C. D．－ 解析　由2sin θ＝cos θ得tan θ＝， 所以3sin2θ－sinθcos θ＝＝＝＝，故选B. 答案　B 11．已知sinθ＝，cos θ＝，则tan θ＝ ． 解析　由sin2θ＋cos2θ＝＋＝1， 解得m＝0或m＝8. 当m＝0时，sinθ＝－，cos θ＝， 故tan θ＝－； 当m＝8时，sin θ＝，cos θ＝－， 故tan θ＝－. 答案　－或－ 12．已知α为第三象限角，tan α＝2，则sin α＋cos α＝ ． 解析　由tan α＝2，则＝2，sin α＝2cos α，由sin2α＋cos2α＝1，则5cos2α＝1， 由α为第三象限角，cosα＝－，sin α＝－，则sin α＋cos α＝－. 答案　－ 13．已知＝，α∈. (1)求tan α的值； (2)求的值． 解析　(1)由＝， 得3tan2α－2tanα－1＝0， 即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0， 解得tan α＝－或tan α＝1. 因为α∈，所以tan α＜0， 所以tan α＝－. (2)由(1)，得tan α＝－， 所以＝＝＝. [学科素养·探索创新] 14．已知＝，则＝(　　 ) A.－ B．－ C.－ D． 解析　由＝，可得＝，所以tan α＝3， 则＝＝＝＝－. 答案　A 15．已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根．求： (1)sin 3θ＋cos 3θ； (2)tan θ＋. 解析　根据题意，方程判别式Δ≥0， 即(－a)2－4a≥0，所以a≤0或a≥4， 且 因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 即a2－2a－1＝0， 所以a＝1－(1＋舍去). 所以sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－. (1)sin 3θ＋cos 3θ ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ) ＝(1－)[1－(1－)]＝－2. (2)tanθ＋＝＋ ＝＝ ＝－－1. 学科网（北京）股份有限公司 $