第7章 7.2.2 单位圆与三角函数线（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．(2025·北京东城高一月考)如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是(　　) A.正弦线为PM，正切线为A′T′ B.正弦线为MP，正切线为A′T′ C.正弦线为MP，正切线为AT D.正弦线为PM，正切线为AT 解析　角α在第三象限，故正弦线为MP，正切线为AT. 答案　C 2．(2024·北京海淀高一期中)若α∈，则下列关系中正确的是(　　) A.tan α＜cos α B．tan α＜sin α C.sin α＜cos α D．sin α＞cos α 解析　由三角函数线定义，如图所示： OP是角α的终边，圆O是单位圆，则AT＝tan α＞1， OM＝cos α，MP＝sin α， ∵α∈， ∴OM＜MP＜1， 即tan α＞sin α＞cos α. 答案　D 3．(2025·北京海淀高一月考)如果OM，MP分别是角α＝的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是(　　) A.MP＜OM＜ 0 B．MP＜0＜OM C.MP＞OM ＞0 D．OM ＞MP＞0 解析　作出α＝的正弦线MP和余弦线OM，如下图所示： 由于0＜＜，由图可知，OM ＞MP＞0. 答案　D 4．点P为单位圆x2＋y2＝1与x轴正半轴的交点，将点P沿圆周逆时针旋转至点P′，当转过的弧长为时，点P′的坐标为(　　 ) A. B． C. D． 解析　点P从点(1，0)开始逆时针旋转到点P′， 转过的角度为θ，则θ＝＝，从而可知P′. 答案　B 5．(2024·山东青岛高一期中)若α∈，且sin α＜，cos α＞，利用三角函数线，得到α的取值范围是 ． 解析　如图所示单位圆，由于sin ＝，cos ＝，若终边为OA(不可取)， 所以满足α∈，且sin α＝CB＜DA＝，cos α＝OC＞OD＝， 所以α的取值范围是. 答案　 6．在[0，2π]上满足cos x≥的x的取值范围是 ． 解析　如图，在单位圆内作OM＝，过M作x轴的垂线交单位圆于A，B两点，由图可知满足cos x≥的角x的范围如图阴影部分，因为x∈[0，2π]，所以x的取值范围是∪ . 答案　∪ 7．(2025·江苏徐州高一月考)集合A＝[0，2π]，B＝{α|sin α＜cos α}，则A∩B＝ ． 解析　由题设，B＝，如下图阴影部分所示(不含终边在y＝x上的角)： ∴A∩B＝∪. 答案　∪ 8．在直角坐标系中的单位圆中，α＝. (1)画出角α； (2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标； (3)求出角α的正弦、余弦函数值． 解析　(1)如图所示，以原点为角的顶点，以x轴正半轴为始边，逆时针旋转，与单位圆交于点P，则∠AOP＝，即为所求的角． (2)由于α＝，∴点P的坐标为. (3)由正、余弦函数的定义可知sin ＝－， cos ＝. [关键能力·综合提升] 9．设a＝sin (－1)，b＝cos (－1)，c＝tan (－1)，则有(　　) A.a＜b＜c B．b＜a＜c C.c＜a＜b D．a＜c＜b 解析　如图作出角α＝－1的正弦线、余弦线及正切线，显然b＝cos (－1)＞0，c＝tan (－1)＜a＝sin (－1)＜0，即c＜a＜b. 答案　C 10．已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0，2π)内，α的范围是(　　) A. B． C.∪ D． 解析　由题意知， 如图，由三角函数线可得 所以＜α＜或π＜α＜π. 答案　C 11．设a＝sin π，b＝cos π，c＝tan π，则a，b，c的大小顺序排列为 ． 解析　因为π＋π＝π， 所以π与π的终边关于y轴对称，又π＞，在单位圆中作出π与π的终边， 如图得OM＜MP＝M′P′＜AT， 则cos π＜sin π＜tan π.即b＜a＜c. 答案　b＜a＜c 12．用单位圆及正弦线，可以得到满足不等式sin α≥在[0，2π)上的α的集合为 ． 解析　如图所示： 当sin α＝，即MP＝时，α＝或α＝， 所以α∈[0，2π)时，sin α≥的解集是. 答案　 13．利用三角函数线写出满足下列条件的角x的集合． (1)sin x＞－，且cos x＞； (2)tan x≥－1. 解析　(1)由图1知，当sin x＞－，且cos x＞时，角x的集合为. (2)由图2知，当tan x≥－1时，角x的集合为∪，即. [学科素养·探索创新] 14．若0<α<2π，且sin α<，cos α>，则角α的取值范围是(　　 ) A. B． C. D．∪ 解析　由题意，角α的取值范围为图中阴影部分(不含边界)，即∪. 答案　D 15．求下列函数的定义域： (1)y＝ ； (2)y＝lg (1－cos x)＋. 解析　(1)要使函数有意义， 则2sin x－≥0， 所以sin x≥， 如图所示， 所以x∈(k∈Z). (2)要使函数有意义，则 所以－≤cos x＜， 如图所示， 所以x∈∪(k∈Z). 学科网（北京）股份有限公司 $