第7章 7.1.1 角的推广（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列四个角为第二象限角的是(　　) A.－200° B．100° C.220° D．420° 解析　对于A选项，－200°＝160°－360°，故－200°为第二象限角；对于B选项，100°是第二象限角；对于C选项，220°是第三象限角；对于D选项，420°＝60°＋360°，故420°为第一象限角． 答案　AB 2．(2025·云南曲靖月考)已知角α＝583°，那么α的终边在(　　) A.第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限 解析　因为 α＝583°＝360°＋223°，又 180°<223°<270°，所以角α是第三象限角． 答案　C 3．(多选题)与2022°角终边相同的角是(　　) A.－138° B．－72° C.42° D．222° 解析　因为2022°＝222°＋5×360°，－138°＝222°－360°，－72°＝288°－360°，42°与222°终边显然不同，所以只有－138°和222°与2022°的终边相同． 答案　AD 4．(多选题)角α＝45°＋k·180°(k∈Z)的终边落在(　　) A.第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限 解析　当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m×180°＋225°＝m×360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m×360°＋45°，故α为第一象限角．故角α的终边落在第一或第三象限． 答案　AC 5．下列说法中正确的序号为 ． ①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角． 解析　①－65°是第四象限角，是正确的； ②225°是第三象限角，是正确的； ③475°＝360°＋115°，其中115°是第二象限角， 所以475°为第二象限角，是正确的； ④－315°＝－360°＋45°，其中45°是第一象限角， 所以－315°是第一象限角，是正确的， 所以正确的序号为①②③④. 答案　①②③④ 6．若将时钟拨快30分钟，则时针转了 度，分针转了 度． 解析　因为每小时时针、分针分别按顺时针方向旋转了30°，360°，所以考虑到旋转方向，时钟拨快30分钟，时针、分针分别转了－15°，－180°. 答案　－15　－180 7．(2025·广东惠州月考)与30°终边相同的角的集合是 ． 解析　与30°角终边相同的角的集合是{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}． 答案　{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z} 8．已知α＝－1910°. (1)把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式，指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°. 解析　(1)设α＝β＋k·360°(k∈Z)， 则β＝－1910°－k·360°(k∈Z). 令0°≤－1910°－k·360°＜360°， 解得－6＜k≤－5. 又k∈Z，故k＝－6，求出相应的β＝250°， 于是α＝250°－6×360°，它是第三象限角． (2)令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)， 取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ＜0°的角： 250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°. 故θ＝－110°或－470°. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)在－360°～360°范围内，与－410°角终边相同的角是(　　) A.－50° B．－40° C.310° D．320° 解析　因为－50°＝－410°＋360°，310°＝－410°＋2×360°，所以与－410°角终边相同的角是－50°和310°，故选AC. 答案　AC 10．若θ是第二象限角，那么和90°－θ都不是(　　) A.第一象限角 B．第二象限角 C.第三象限角 D．第四象限角 解析　∵θ是第二象限角， ∴k·360°＋90°<θ<k·360°＋180°，k∈Z， ∴k·180°＋45°<<k·180°＋90°，k∈Z， ∴是第一或第三象限角． 又－θ是第三象限角，∴90°－θ是第四象限角． 答案　B 11．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是 ． 解析　终边落在OA的位置上的角的集合是 {α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}． 终边落在OB的位置上的角的集合是 {α|α＝－45°＋k·360°，k∈Z}， 故终边落在阴影部分的角的集合是 {α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}． 答案　{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z} 12．如果角α与角(γ＋60°)的终边相同，角β与角(γ－60°)的终边相同，那么α－β的可能值为 (写出一个即可). 解析　角α与角(γ＋60°)的终边相同， α＝m·360°＋γ＋60°，m∈Z， 角β与角(γ－60°)的终边相同， β＝n·360°＋γ－60°，n∈Z， ∴α－β＝m·360°＋γ＋60°－(n·360°＋γ－60°)＝(m－n)·360°＋120°(m，n∈Z)， 即α－β与120°角终边相同． 答案　120°(答案不唯一) 13．在集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中， (1)有几种终边不相同的角？ (2)有几个在－360°～360°之间的角？ (3)写出其中的第三象限角． 解析　(1)由k＝4n，4n＋1，4n＋2，4n＋3(n∈Z)，知在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种． (2)由－360°<k·90°＋45°<360°， 得－<k<. 又k∈Z，故k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3. 所以在给定的角的集合中在－360°～360°之间的角共有8个． (3)其中的第三象限角为k·360°＋225°，k∈Z. [学科素养·探索创新] 14．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为(　　) A.α＋β＝k·360°，k∈Z B.α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z C.α－β＝k·360°＋180°，k∈Z D.α－β＝k·360°，k∈Z 解析　解法一(特值法)　令α＝30°，则β＝150°， 代入选项得只有B符合题意． 解法二(直接法)　因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z， 即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z. 答案　B 15．如图所示，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P在1秒内转过的角度为θ(0°＜θ＜180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限． 解析　根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上， 所以45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z. 又180°＜2θ＋45°＜270°，即67.5°＜θ＜112.5°， ∴67.5°＜＜112.5°. 又k∈Z，∴k＝3或4， ∴所求的θ的值为或. ∵0°＜＜90°，90°＜＜180°， ∴θ在第一象限或第二象限． 学科网（北京）股份有限公司 $