第7章 三角函数 章末整合提升（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学三角函数单元复习讲义通过知识梳理、策略总结与例题解析构建系统知识体系，以框架图呈现同角三角函数关系式、诱导公式及图象变换规律，用列表归纳求值化简策略，清晰展现重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，如三角函数图象变换、解析式确定等角度例题，结合“整体代换”“1的代换”等方法，培养数学思维与运算能力。易错点分析助力学生规避错误，支持不同层次学生提升，为教师精准教学提供有效参考。

(一)同角三角函数的基本关系式及诱导公式 1．牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α. 2．诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限． 3．三角函数式的求值、化简的策略 (1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形． (2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再变形化简． (3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式． 　(1)已知tan ＝3，则＝(　　) A.－2 B．－ C. D．2 (2)已知sin α＋cos α＝－，且α∈(0，π)，则＝(　　) A.－ B． C.－ D． [解析]　(1)因为tan (7π－α)＝tan (π－α)＝－tan α＝3，所以tan α＝－3，所以原式＝＝＝＝＝－2. (2)因为sin α＋cos α＝－， 所以2＝， 故sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝， 又sin2α＋cos2α＝1， 所以sinαcos α＝－，又α∈(0，π)， 所以α∈，所以sin α－cos α>0， 又 2＝1－2sin αcos α＝1＋＝， 所以sin α－cos α＝，所以＝＝－. [答案]　(1)A　(2)C (二)三角函数的图象及变换 1．三角函数的图象变换 由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的两种方法 2．由图象或部分图象确定解析式y＝A sin (ωx＋φ)中的参数 (1)A：由最大值、最小值来确定A. (2)ω：通过求周期T来确定ω. (3)φ：利用已知点列方程求出． 角度1　三角函数图象间的变换 　将函数y＝sin 图象上的点P向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则(　　) A.t＝，s的最小值为 B.t＝，s的最小值为 C.t＝，s的最小值为 D.t＝，s的最小值为 [解析]　因为点P在函数y＝sin 的图象上， 所以t＝sin ＝sin ＝. 又P′在函数y＝sin 2x的图象上， 所以＝sin ，则2＝2kπ＋或2＝2kπ＋，k∈Z， 得s＝－kπ＋或s＝－kπ－，k∈Z. 又s＞0，故s的最小值为. [答案]　A 角度2　由三角函数的图象确定其解析式 　 (2024·湖南长沙高一期末)函数y＝A sin (ωx－φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则其解析式为(　　) A.y＝2sin B．y＝2sin C.y＝2sin D．y＝sin [解析]　由图可得函数的最大值为2， 最小值为－2，故A＝2， ＝－＝，故T＝＝π， 解得ω＝2，故y＝2sin (2x－φ). 将代入可得2sin ＝2， 则－φ＝2kπ＋(k∈Z)， 解得φ＝－2kπ＋(k∈Z). ∵0＜φ＜π，∴φ＝，∴y＝2sin . [答案]　B (三)三角函数性质及其应用 　重点应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ)及y＝A tan (ωx＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧． (1)三角函数的两条性质 ①周期性：函数y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为. ②奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋B的形式． (2)求三角函数的单调区间的方法 求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间可以通过解不等式方法去解答，即把ωx＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y＝sin x，余弦函数y＝cos x的单调递增(减)区间对应解出x，即得所求的单调递增(减)区间． (3)三角函数图象的对称性 求形如y＝A cos (ωx＋φ)图象的对称轴，可把“ωx＋φ”看作一个整体，由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求x可得对称轴方程，类似通过ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求对称中心的横坐标． (4)三角函数的最值(值域)问题 三角函数的值域和最值问题一直是高考的热点．求三角函数的最值问题通常有以下两种途径： ①将所求三角函数式转化为y＝A sin (ωx＋φ)＋k或y＝A cos (ωx＋φ)＋k的形式，然后结合角x的取值范围求最值； ②将所求三角函数式变形转化为关于sin x(或cos x)的二次函数的形式，然后结合二次函数的性质求解． 角度1　三角函数的最值问题 　已知函数f(x)＝2sin2x－2a sinx＋a2－2a－1的最小值为－2，求实数a的值，并求此时f(x)的最大值． [解析]　f(x)＝2sin2x－2a sinx＋a2－2a－1 ＝2＋－2a－1. 由0≤x≤，得0≤sin x≤1. 当0≤a≤2时，0≤≤1， 当sin x＝时，f(x)取得最小值－2a－1＝－2， 解得a＝2－或a＝2＋(舍去)， 此时f(x)的最大值为f＝－1； 当a＞2时，＞1，当sin x＝1时，f(x)取得最小值a2－4a＋1＝－2，解得a＝3或a＝1(舍去)，此时f(x)的最大值为f(0)＝2； 当a＜0时，＜0，当sin x＝0时，f(x)取得最小值a2－2a－1＝－2，解得a＝1(舍去). 综上所述，当a＝2－时，f(x)的最大值为－1， 当a＝3时，f(x)的最大值为2. 角度2　三角函数性质的综合问题 　(多选题)(2025·湖南长沙高一月考)已知函数f(x)＝sin ，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)＝sin 的图象 B.直线x＝是f(x)图象的一条对称轴 C.f(x)在上单调递减 D.f(x)的图象关于点对称 [解析]　对于A，f(x)的图象向左平移个单位长度后得到f＝sin 的图象，故A错误； 对于B，f＝sin＝sin ＝－1，故B正确； 对于C，当x∈时，2x＋∈，故C正确； 对于D，f＝sin ＝sin π＝0，故D正确． [答案]　BCD 忽略函数的定义域致误 [典例]　函数y＝log2的单调递增区间为 ． [错解]　函数的增区间可由y＝sin 的增区间求得．由－＋2kπ≤x＋≤可得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，故原函数的递增区间为(k∈Z). [错因分析]　本题若忽略对数函数的定义域，即sin ＞0，就会得到错误答案：函数y＝log2的单调递增区间为(k∈Z). [正解]　由题意，得sin ＞0， 所以2kπ＜x＋＜π＋2kπ，k∈Z， 解得－＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z. 又函数y＝sin 的单调递增区间为(k∈Z)， 所以函数y＝log2的单调递增区间为(k∈Z). [答案]　(k∈Z) [纠错心得] 解决与三角函数有关的复合函数问题时，定义域是首先要考虑的问题，要在定义域内思考问题． [典例]　(13分)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值； (2)若f＝，求cos 的值． [审题指导]　(1)利用对称轴和相邻两个最高点距离分别求ω，φ. (2) 在(1)的基础上，注意角的范围，利用平方关系求值． (3) [规范解答]　(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.①(3分) 又f(x)的图象关于直线x＝对称， 所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z， 即φ＝－＋kπ，k∈Z. 由－≤φ＜，得φ＝－.②(6分) (2)由(1)，得 f＝ sin ＝， 所以sin ＝.(9分) 由＜α＜，得0＜α－＜，③(11分) 所以cos ＝ ＝＝.(13分) 学科网（北京）股份有限公司 $