第7章 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本高中数学讲义聚焦弧度制及其与角度制的换算，系统梳理1弧度角的定义、弧度制概念，构建角度与弧度互化的方法，进而掌握弧度制下弧长与面积公式，形成从概念理解到换算应用的完整学习支架。 通过导学问题链引导学生从角度制自然过渡到弧度制，培养数学抽象素养，例题与变式训练强化数学运算和逻辑推理能力。多样化题型设计助力课中教学实施，课后可通过练习与总结巩固知识，有效查漏补缺。

7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 学业标准 学科素养 1.理解1弧度角的定义，了解弧度制的概念．(难点) 2．能进行角度与弧度之间的互化．(重点) 3．掌握弧度制下弧长与面积公式，能应用公式解决问题． 1.通过弧度制概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过弧度制与角度制的互化，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 导学1 弧度制 　在平面几何中，1°的角是怎样定义的？ [提示]　将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角． 　长度等于半径长的弧所对的圆心角有多大？是否有其他单位制来度量该角？ [提示]　若长度等于半径长的弧所对的圆心角为°，则用弧度制度量该角为1弧度． ◎结论形成 1．1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad. 2．弧度制：以弧度为单位来度量角的制度． [点拨]　 用弧度制表示角时“弧度”二字或rad可以略去不写，而只写这个角对应的弧度数． 导学2 弧度制与角度制的换算 　角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？ [提示]　由360°＝2π弧度，即180°＝π弧度． ◎结论形成 1．弧度制与角度制的换算 设一个角的角度数为n，弧度数为α，则＝． 2．一些特殊角与弧度数的对应关系 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 3.由弧度制与角度制的换算公式不难得到正角的弧度数是正数，负数的弧度数是负数，零角的弧度数是零． 导学3 弧度制下弧长与面积公式 　在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式可以写成什么形式？你能推导吗？ [提示]　弧长公式：由公式α＝及0＜α＜2π可得l＝α·r；扇形面积公式：S＝lr. 设扇形的圆心角为α rad，则扇形的面积为 S＝·πr2＝αr2. 又因为l＝αr，所以S＝lr. ◎结论形成 设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则 α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l＝ l＝αr 扇形的面积 S＝ S＝lr＝αr2 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧．(　　) (2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．(　　) (3)160°化为弧度制是π rad.(　　) (4)1 rad的角比1°的角要大．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．1920°的角化为弧度数为(　　) A．　　　 B． C．π　　　 D．π 解析　设1920°的弧度数为α， 则＝， ∴α＝，故选D. 答案　D 3．下列角中，终边在y轴正半轴上的角是(　　) A．　　　 B．－ C．π　　　 D．－π 答案　D 4．在半径为8 cm的圆中，的圆心角所对的弧长为(　　) A．π cm B．π cm C．π cm D．π cm 解析　根据弧长公式，得l＝×8＝(cm). 答案　A 题型一　弧度与角度的互化 　(1)把下列角度化成弧度或弧度化成角度： ①72°；②－300°；③2；④－. (2)已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，试比较α，β，γ，θ的大小． [解析]　(1)①设72°＝α，则＝， ∴α＝，即72°＝. ②设－300°＝α，则＝， ∴α＝－，即－300°＝－ ③设2＝n°，则＝，∴n＝，即2＝° ④设－＝n°，则＝， ∴n＝－40，即－＝－40°. (2)α＝15°＝15×＝， θ＝105°＝105×＝. 故α＜β＜γ＜θ. [素养聚焦]　利用弧度制与角度制引起的计算，把数学运算等核心素养体现在解题过程中． 弧度与角度的互化技巧 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以°即可.　 [触类旁通] 1．(多选题)(2025·河南新乡月考)下列说法正确的是(　　) A．100°化成弧度是π rad B． rad化成角度是2° C．－420°化成弧度是－ rad D．－π rad化成角度是－75° 解析　对于A，100°＝100× rad＝π rad，故A项正确； 对于B， rad＝×°＝2°，故B项正确； 对于C，－420°＝－420× rad＝－ rad，故C项错误； 对于D，－π rad＝－π×°＝－135°，故D项错误． 答案　AB 题型二　用弧度制表示终边相同的角 　把下列各角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角． (1)－1500°；(2)；(3)－4. [解析]　(1)∵－1500°＝－1800°＋300° ＝－5×360°＋300°. ∴－1500°可化成－10π＋，是第四象限角． (2)∵＝2π＋， ∴与终边相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，＜2π－4＜π. ∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角． [母题变式] 1．(变条件、变结论)在区间[－5π，0]上，用弧度制表示与2010°终边相同的角． 解析　∵2010°＝2010×＝＝5×2π＋， 与2010°终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ(k∈Z)，又－5π≤γ＜0， ∴－3≤k≤－， ∴当k＝－3时，γ＝－π； 当k＝－2时，γ＝－π； 当k＝－1时，γ＝－π. 2．(变条件、变结论)用弧度表示顶点在原点，始边落在x轴的正半轴上，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示). 解析　(1)以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为 . (2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是. 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．单位要统一．　 [触类旁通] 2．(2024·江西赣州高一期中)下列各角中，与－终边相同的角是(　　) A．－ B． C． D． 解析　因为－－＝5π，－＝6.5π ，－＝7.5π，－＝8π，所以与－的终边相同． 答案　D 题型三　扇形的弧长与面积公式的应用 　[教材例3提升]已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l. (1)若α＝100°，r＝2，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数． [解析]　(1)因为α＝100°＝100×＝， 所以扇形的面积为S＝lr＝αr2＝××4＝； (2)由题意，可知l＋2r＝20，即l＝20－2r， 所以扇形的面积为S＝lr＝·r＝－2＋25， 当r＝5时，扇形面积的最大值为25， 此时l＝20－2×5＝10，α＝＝＝2. 弧度制下扇形有关问题的几点注意 (1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝αr，S＝l·r＝α·r2，其中α必须是弧度制的角． (2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等计算，关键是分析已知哪些量，要求哪些量，用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程组求解． (3)扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题．　 [触类旁通] 3．(2025·天津河东月考)已知扇形的弧长为2π，圆心角为弧度，则扇形的面积为 ． 解析　扇形的弧长为2π，圆心角为弧度，则该扇形所在圆半径 r＝＝12，所以该扇形的面积为S＝×12×2π＝12π. 答案　12π 知识落实 技法强化 (1)弧度制的概念． (2)弧度制与角度制的相互转化． (3)特殊角的角度数与弧度数的对应关系． (4)扇形的弧长与面积的计算． (1)研究弧度制与角度制的互化应用由特殊到一般的思想方法． (2)表示角时不要弧度与角度混用． 学科网（北京）股份有限公司 $