第7章 教考衔接1 利用同角三角函数关系式求值（课件PPT）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦同角三角函数关系式求值，通过2023年全国乙卷真题导入，溯源教材练习，搭建从基础公式到高考应用的学习支架，帮助学生梳理平方关系、商数关系及sinθ±cosθ与sinθ·cosθ的转化脉络。 其亮点在于以真题为锚点，融合数学眼光（发现高考与教材联系）和数学思维（方程思想、逻辑推理），通过典题多解法（如构造对偶式、平方关系）培养运算能力。规律方法总结系统，助力学生提升解题逻辑，教师可直接用于教学，提高课堂效率。

第七章　三角函数 教考衔接1　利用同角三角函数关系式求值 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 谢谢观看 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 一、真题展示 (2023·全国乙卷)若θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tan θ＝ eq \f(1,2)，则sin θ－cos θ＝____________． 二、真题溯源 [人教B版必修三P26练习BT2] 已知tan α＝－4，求下列各式的值． (1)sin2α； (2)cos2α－sin2α； (3)3sinαcos α； (4) eq \f(4sin α－2cos α,5cos α＋3sin α). 三、类法探究 同角三角函数的基本关系有两种：(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系： eq \f(sinα,cos α)＝tan α eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))，这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．根据这些关系式，利用方程的思想方法可求相关的三角函数值． 类型一　sin θ±cos θ与sin θ·cos θ之间的关系 　(1)(多选题)如果sin x＋cos x＝ eq \f(1,5)，且0<x<π，则下列结论正确的是(　　) A.x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) B．sin x－cos x＝－ eq \f(7,5) C.cos x＝－ eq \f(3,5) D．tan x＝ eq \f(4,3) (2)已知sin α＋cos α＝ eq \f(7,13)，α∈(0，π)，则sin α－cos α＝____________；tan α＝_____________． [解析]　(1)将sin x＋cos x＝ eq \f(1,5)两边平方，得1＋2sin x·cos x＝ eq \f(1,25)， ∴2sin x·cos x＝－ eq \f(24,25)<0， 又x∈(0，π)，∴sin x>0，cos x<0， ∴x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，A正确； sin x－cos x＝ eq \r((sin x＋cos x)2－4sin x·cos x)＝ eq \f(7,5)，B错误； 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin x＋cos x＝\f(1,5)，,sin x－cos x＝\f(7,5)，))得sin x＝ eq \f(4,5)，,cos x＝－ eq \f(3,5)，∴tan x＝－ eq \f(4,3)，故C正确、D错误． (2)∵sin α＋cos α＝ eq \f(7,13)，∴(sin α＋cos α)2＝ eq \f(49,169)，即2sin αcos α＝－ eq \f(120,169)<0， 又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0， ∴α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))， 故sin α－cos α＝ eq \r((sin α＋cos α)2－4sin αcos α)＝ eq \f(17,13)， 可得sin α＝ eq \f(12,13)，cos α＝－ eq \f(5,13)，tan α＝－ eq \f(12,5). [答案]　(1)AC　(2) eq \f(17,13)　－ eq \f(12,5) 利用同角三角函数的基本关系式中的平方关系sin2α＋cos2α＝1，可以实现同角的不同三角函数值之间的相互转换；形如sinα＋cos α，sin α·cos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，利用平方关系可求其他两个，涉及的三角恒等式有： ①(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； ②(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ； ③(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2； ④(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.　 类型二　三角函数求值 　(1)已知sin α－cos α＝－ eq \f(\r(5),2)，则tan α＋ eq \f(1,tan α)的值为(　　) A.－4 B．4 C.－8 D．8 (2)已知sin α＋ eq \r(2)cos α＝ eq \r(3)，则tan α＝(　　) A. eq \f(\r(2),2) B．2 C.－ eq \f(\r(2),2) D．－ eq \r(2) (3)若0<α< eq \f(π,2)，则 eq \r(1－2sin \f(α,2)cos \f(α,2))＋ eq \r(1＋2sin \f(α,2)cos \f(α,2))的化简结果为____________________． (4)若2cos α－3sin α＝ eq \r(13)，求tan α. [解析]　(1)将sin α－cos α＝－ eq \f(\r(5),2)两边平方，得1－2sin α·cos α＝ eq \f(5,4)，∴2sin α·cos α＝－ eq \f(1,4)， 则tan α＋ eq \f(1,tan α)＝ eq \f(sin α,cos α)＋ eq \f(cos α,sin α)＝ eq \f(1,sin α·cos α)＝－8. (2)解法一　由sin α＋ eq \r(2)cos α＝ eq \r(3)， 令sin α－ eq \r(2)cos α＝A. 则sin α＝ eq \f(\r(3)＋A,2)，cos α＝ eq \f(\r(3)－A,2\r(2))， 由sin2α＋cos2α＝1，得A＝－ eq \f(\r(3),3)， ∴sinα＝ eq \f(\r(3),3)，cos α＝ eq \f(\r(6),3)，∴tan α＝ eq \f(\r(2),2). 解法二　由sin α＋ eq \r(2)cos α＝ eq \r(3)，① 令 eq \r(2)sin α－cos α＝A，② 由①2＋②2，得(sin α＋ eq \r(2)cos α)2＋( eq \r(2)sin α－cos α)2＝3＋A2，∴A＝0，即 eq \r(2)sin α－cos α＝0， ∴tan α＝ eq \f(\r(2),2). 解法三　由sin α＝ eq \r(3)－ eq \r(2)cos α代入sin2α＋cos2α＝1， 得3cos2α－2 eq \r(6)cosα＋2＝0，∴cos α＝ eq \f(\r(6),3)， ∴sin α＝ eq \f(\r(3),3)，∴tan α＝ eq \f(\r(2),2). (3) eq \r(1－2sin \f(α,2)·cos \f(α,2))＝ eq \r(sin2\f(α,2)＋cos2\f(α,2)－2sin\f(α,2)·cos \f(α,2))＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2)－cos \f(α,2)))\s\up12(2))， eq \r(1＋2sin \f(α,2)·cos \f(α,2))＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2)＋cos \f(α,2)))\s\up12(2))， ∵0<α< eq \f(π,2)，∴0< eq \f(α,2)< eq \f(π,4)，0<sin eq \f(α,2)<cos eq \f(α,2)， ∴原式＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2)－cos \f(α,2)))＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2)＋cos \f(α,2)))＝cos eq \f(α,2)－sin eq \f(α,2)＋sin eq \f(α,2)＋cos eq \f(α,2)＝2cos eq \f(α,2). (4)解法一(平方关系)　由2cos α－3sin α＝ eq \r(13)，得sin α＝ eq \f(2cos α－\r(13),3)， 代入sin2α＋cos2α＝1，得sinα＝－ eq \f(3,\r(13))，cos α＝ eq \f(2,\r(13))，∴tan α＝－ eq \f(3,2). 解法二(构造对称式)　由2cos α－3sin α＝ eq \r(13)， 令2cos α＋3sin α＝A， 则cos α＝ eq \f(A＋\r(13),4)，sin α＝ eq \f(A－\r(13),6)， 则cos2α＋sin2α＝1＝ eq \f((A＋\r(13))2,16)＋ eq \f((A－\r(13))2,36)， ∴A＝－ eq \f(5,\r(13))， ∴tanα＝ eq \f(sin α,cos α)＝ eq \f(2(A－\r(13)),3(A＋\r(13)))＝－ eq \f(3,2). 解法三(构造对偶式)　由2cos α－3sin α＝ eq \r(13)，① 令3cos α＋2sin α＝A，② 由①2＋②2，得(2cos α－3sin α)2＋(3cos α＋2sin α)2＝13＋A2， ∴A＝0，即3cos α＋2sin α＝0，∴tan α＝－ eq \f(3,2). [答案]　(1)C　(2)A　(3)2cos eq \f(α,2)　(4)略 已知条件中含有一个角的正弦、余弦，求这个角的正切，基本的做法是利用该条件和平方关系sin2α＋cos2α＝1，构建方程组求解，还可以根据条件的具体的结构特征，利用其对称式和对偶式求解．　 $