第7章 7.3.4 正切函数的性质与图象（课件PPT）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦正切函数的性质与图象，通过问题链引导自主学习，衔接三角函数基础，搭建从定义域、周期性等性质到“三点两线法”作图的学习支架，帮助学生系统掌握核心知识。 其亮点在于问题驱动与分层训练结合，通过数学抽象归纳性质，数学运算解决定义域值域问题，直观想象助力图象绘制。采用一题多变和易错辨析，学生提升核心素养与解题能力，教师可获系统教学资源，提高教学效率。

第七章　三角函数 7.3　三角函数的性质与图象 7.3.4　正切函数的性质与图象 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 导学1 正切函数的性质 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 R T＝π 奇函数 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 导学2 正切函数的图象 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 谢谢观看 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 学业标准 学科素养 1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质．(重点) 2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．(重点、难点) 1.通过正切函数性质的学习，培养数学运算、数学抽象等核心素养． 2．根据正切函数图象与性质的关系，提升直观想象等核心素养． [提示]　周期性．tan (kπ＋x)＝tan x(k∈Z). 　正切函数y＝tan x的定义域是什么？ [提示]　 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))). 　诱导公式tan (π＋x)＝tan x说明了正切函数的什么性质？tan (kπ＋x)(k∈Z)与tan x的关系怎样？ 　诱导公式tan (－x)＝－tan x说明了正切函数的什么性质？ [提示]　奇偶性． 　从正切线上观察，正切函数值在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增大的吗？ [提示]　是的． ◎结论形成 正切函数的性质 函数 y＝tan x 定义域 ___ 值域 ___ 最小正周期 ________ 奇偶性 ________ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))) 单调性 在每个开区间________________________上都是增函数 零点 kπ(k∈Z) 对称中心 正切曲线是中心对称图形，其对称中心为_______________ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z) 　我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y＝tan x，x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))的简图吗？怎样画？ [提示]　能，三个关键点： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，1))，(0，0)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，－1))，两条平行线：x＝ eq \f(π,2)，x＝－ eq \f(π,2). ◎结论形成 1．正切函数的图象 2．正切函数的图象特征 正切曲线是被与y轴平行的一系列直线____________________所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的． x＝ eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝tan x在其定义域上是增函数．(　　) (2)函数y＝tan 2x的周期为π.(　　) (3)正切函数y＝tan x无单调递减区间．(　　) (4)函数y＝2tan x，x∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的值域是[0，＋∞).(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．函数y＝2tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3x＋\f(π,4)))的最小正周期是(　　) A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,3) C． eq \f(π,2) D．π 解析　T＝ eq \f(π,|－3|)＝ eq \f(π,3). 答案　B 3．函数y＝tan x＋ eq \f(1,tan x)是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 解析　函数的定义域是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠\f(1,2)kπ，k∈Z))))， 且tan (－x)＋ eq \f(1,tan (－x))＝－tan x－ eq \f(1,tan x) ＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tan x＋\f(1,tan x)))， 所以函数y＝tan x＋ eq \f(1,tan x)是奇函数． 答案　A 4．函数f(x)＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的单调增区间是(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z) B．(kπ，kπ＋π)(k∈Z) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(3π,4)))(k∈Z) 解析　由－ eq \f(π,2)＋kπ＜x＋ eq \f(π,4)＜ eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z， 得－ eq \f(3π,4)＋kπ＜x＜ eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z， 故f(x)的单调增区间是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)＋kπ，\f(π,4)＋kπ))(k∈Z). 答案　C 题型一　正切函数的定义域、值域问题 　[教材例1提升](1)函数y＝ eq \f(1,1＋tan x)的定义域为_________________． (2)若x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(7π,24)))，求函数y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的值域． [解析]　(1)要使函数y＝ eq \f(1,1＋tan x)有意义，必须且只需 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋tan x≠0，,x≠kπ＋\f(π,2)(k∈Z).)) 所以函数的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠kπ－\f(π,4)且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))). (2)∵－ eq \f(π,12)＜x＜ eq \f(7π,24)，∴－ eq \f(π,2)＜2x－ eq \f(π,3)＜ eq \f(π,4)， 即tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＜1， 故函数的值域为(－∞，1). [答案]　(1) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠kπ－\f(π,4)且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))) (2)略 [素养聚焦]　在求解正切函数的定义域和值域的过程中，体现的数学核心素养为数学抽象、数学运算． 1．求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠ eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z. 2．求值域要用换元的思想，把tan x看作可取任意实数的自变量，一是要注意x的范围，再确定tan x的范围．　 [触类旁通] 1．函数 f(x)＝3tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,12)))的定义域为___________． 解析　令 4x＋ eq \f(π,12)≠ eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，得x≠ eq \f(5π,48)＋ eq \f(kπ,4)，k∈Z，即函数f(x)的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠\f(5π,48)))＋\f(kπ,4)，k∈Z)). 答案　 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠\f(5π,48)＋\f(kπ,4)，k∈Z)))) 题型二　正切函数单调性的应用 　(1)已知函数y＝－2tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋\f(π,3)))，则(　　) A．递增区间为(6k－5，6k＋1)(k∈Z) B．递增区间为(6k－1，6k＋5)(k∈Z) C．递减区间为(6k－5，6k＋1)(k∈Z) D．递减区间为(6k－1，6k＋5)(k∈Z) (2)已知实数a＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(π,3)))，b＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,3)))，c＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tan \f(π,3)))，试比较a，b，c的大小． [解析]　(1)由－ eq \f(π,2)＋kπ< eq \f(π,6)x＋ eq \f(π,3)< eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得6k－5<x<6k＋1，k∈Z. 因此，函数y＝－2tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋\f(π,3)))的单调递减区间为(6k－5，6k＋1)(k∈Z). (2)实数a＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(π,3)))＝tan eq \f(\r(3),2)>0， b＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,3)))＝tan eq \f(1,2)>0，c＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tan \f(π,3)))＝tan eq \r(3)<0， 而函数y＝tan x在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增，因为 eq \f(π,2)> eq \f(\r(3),2)> eq \f(1,2)>0，所以tan eq \f(\r(3),2)>tan eq \f(1,2)>0， 即0<b<a，所以a>b>c. [答案]　(1)C　(2)略 1．求函数y＝A tan (ωx＋φ)的单调区间的方法 (1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－ eq \f(π,2)＜ωx＋φ＜kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z)，求得x的范围即可． (2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝A tan (ωx＋φ)转化为y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝－A tan (－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可． 2．比较正切值的大小 第一步：运用三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区间上； 第二步：运用正切函数的单调性比较大小关系．　 [触类旁通] 2．不等式tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＜1的解集为(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)＋kπ，－\f(π,12)＋kπ))(k∈Z) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)＋2kπ，－\f(π,12)＋2kπ))(k∈Z) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，－\f(π,4)＋kπ))(k∈Z) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，－\f(π,4)＋2kπ))(k∈Z) 解析　依题意，得－ eq \f(π,2)＋kπ＜x＋ eq \f(π,3)＜ eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z，解得－ eq \f(5π,6)＋kπ＜x＜－ eq \f(π,12)＋kπ，k∈Z， 所以不等式tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＜1的解集为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)＋kπ，－\f(π,12)＋kπ))(k∈Z). 答案　A 题型三　正切函数的综合应用 eq \a\vs4\al(一题多变) 　设函数f(x)＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3))). (1)求函数f(x)的最小正周期，对称中心； (2)作出函数f(x)在一个周期内的简图． [解析]　(1)∵ω＝ eq \f(1,2)， ∴最小正周期T＝ eq \f(π,ω)＝ eq \f(π,\f(1,2))＝2π. 令 eq \f(x,2)－ eq \f(π,3)＝ eq \f(kπ,2)(k∈Z)，得x＝kπ＋ eq \f(2π,3)(k∈Z)， ∴f(x)的对称中心是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(2π,3)，0))(k∈Z)， (2)令 eq \f(x,2)－ eq \f(π,3)＝0，则x＝ eq \f(2π,3)； 令 eq \f(x,2)－ eq \f(π,3)＝ eq \f(π,4)，则x＝ eq \f(7π,6)； 令 eq \f(x,2)－ eq \f(π,3)＝－ eq \f(π,4)，则x＝ eq \f(π,6)； 令 eq \f(x,2)－ eq \f(π,3)＝ eq \f(π,2)，则x＝ eq \f(5π,3)； 令 eq \f(x,2)－ eq \f(π,3)＝－ eq \f(π,2)，则x＝－ eq \f(π,3). ∴函数y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3)))的图象与x轴的一个交点坐标是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－ eq \f(π,3)，x＝ eq \f(5π,3)，从而得到函数y＝f(x)在一个周期 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(5π,3)))内的简图(如图所示). [母题变式] (变条件、变结论)把例3中的函数换为“y＝|tan x|”，并根据其图象判断其单调性、奇偶性、周期性． 解析　由y＝|tan x|得， y＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(tan x，kπ≤x＜kπ＋\f(π,2)(k∈Z)，,－tan x，－\f(π,2)＋kπ＜x＜kπ(k∈Z)，)) 其图象如图所示： 由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数． 函数y＝|tan x|的周期T＝π， 函数y＝|tan x|的单调递增区间 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，单调递减区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))(k∈Z). 1．若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可． 2．作出函数y＝|f(x)|的图象的一般方法 (1)保留函数y＝f(x)图象在x轴上方的部分； (2)将函数y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．　 [触类旁通] 3．(多选题)已知函数f(x)＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，则下列叙述正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))对称 B．函数f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上单调递增 C．函数f(x)的图象关于直线x＝ eq \f(π,2)对称 D．函数y＝|f(x)|是偶函数 解析　f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝tan 0＝0，A正确； 当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))时，x＋ eq \f(π,4)∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，此时f(x)单调递增，B正确； 函数y＝tan x的图象不是轴对称图形，函数f(x)的图象是由y＝tan x的图象向左平移 eq \f(π,4)个单位长度得到的，所以其图象也不是轴对称图形，C错误； 因为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))))＝0，但 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))))不存在，D错误，故选AB. 答案　AB [缜密思维提能区] 易错辨析 三角函数图象的应用 [典例]　当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，\f(3π,2)))时，方程tan x－sin x＝0实根的个数为_______． [错解]　同一平面直角坐标系中作出y＝tan x与y＝sin x在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，\f(3π,2)))内的图象如图所示，两图象有5个交点，所以方程tan x－sin x＝0有5个根． [错因分析]　没有比较x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，y＝tan x与y＝sin x的大小． [正解]　将方程变形为tan x＝sin x，作y＝tan x，y＝sin x在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，\f(3π,2)))上的图象，则两图象交点的个数就是原方程根的个数．在同一坐标系内画出y＝tan x与y＝sin x的图象，根据图象判断交点个数．在同一平面直角坐标系中，首先作出y＝sin x与y＝tan x在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内的图象，需明确x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，有sin x＜x＜tan x(利用单位圆中的正弦线、正切线就可证明)，然后利用对称性作出x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，\f(3π,2)))时的两函数的图象，如图所示，由图象可知它们有3个交点．所以方程有3个根． [答案]　3 [纠错心得] 数形结合法求解问题的关键是准确地画出图象． 知识落实 技法强化 (1)正切函数的定义． (2)正切函数的定义域、周期性与奇偶性． (3)正切函数的单调性与值域． (4)正切函数的图象． (1)本节课应用了三点两线法、整体代换法、换元法的思想方法． (2)注意正切函数的最小正周期T＝ eq \f(π,|ω|)，在定义域内不单调，对称中心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z). $