第7章 7.2.1 三角函数的定义（课件PPT）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦“任意角的三角函数”，系统梳理定义（终边上点坐标与r的关系）及各象限符号规律，通过课前案问题引导学生从锐角三角函数回忆入手，逐步推广至任意角，构建“特殊到一般”的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以核心素养为导向，通过数学抽象（定义从锐角到任意角的推广）、逻辑推理（符号判断中的象限分析）、数学运算（例1求三角函数值的计算）培养学生能力。课堂案采用题型多维探究（如终边上点求函数值、终边在直线上分类讨论）和易错点分析（参数a正负讨论），帮助学生突破难点，教师可通过结构化流程提升教学效率，学生能循序渐进掌握知识。

第七章　三角函数 7.2　任意角的三角函数 7．2.1　三角函数的定义 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 导学1 任意角的正弦、余弦与正切的定义 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 唯一 唯一 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 导学2 三角函数在各象限的符号 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 第一、二 y轴正半轴 第三、四 y轴负半轴 第一、四 x轴正半轴 第二、三 x轴负半轴 第一、三 第二、四 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 谢谢观看 返回目录 第七章　三角函数 数学•必修　第三册(配RJB版) 1 学业标准 学科素养 1.理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数．(难点) 2．理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号．(重点) 1.通过三角函数概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过三角函数定义的应用，提升数学运算等核心素养． 　使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r. (1)角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ [提示]　sin α＝ eq \f(y,r)，cos α＝ eq \f(x,r)，tan α＝ eq \f(y,x). (2)对于确定的角α，sin α，cos α，tan α是否随P点在终边上的位置的改变而改变？ [提示]　否． ◎结论形成 cos α＝ eq \f(x,r) eq \f(y,x) tan α＝ eq \f(y,x) kπ＋ eq \f(π,2) 设α是一个任意大小的角，P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点，则它与原点的距离是r(r＝ eq \r(x2＋y2)＞0)，如图，那么 (1)称___为角α的正弦，记作sin α，即__________； (2)称___为角α的余弦，记作cos α，即__________； (3)称___为角α的正切，记作tan α，即__________． 由上可知，对于每一个角α，都有_____确定的正弦、余弦与之对应；当α≠_____(k∈Z)时，有_____的正切与之对应．角α的正弦、余弦与正切，都称为α的三角函数． eq \f(y,r) sin α＝ eq \f(y,r) eq \f(x,r) 　已知α≠ eq \f(kπ,2)，k∈Z. (1)试分析sin α，cos α，tan α在各象限的符号． (2)试总结三角函数的符号规律． [提示]　 (1) (2)三角函数值在各象限的符号可简记为：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即第一象限正弦、余弦、正切都为正；第二象限正弦为正；第三象限正切为正；第四象限余弦为正． ◎结论形成 (1)当且仅当α的终边在__________象限，或___________上时，sin α＞0；当且仅当α的终边在__________象限，或____________上时，sin α＜0. (2)当且仅当α的终边在__________象限，或__________上时，cos α＞0；当且仅当α的终边在__________象限，或______________上时，cos α＜0. (3)当且仅当α的终边在__________象限时，tan α＞0；当且仅当α的终边在__________象限时，tan α＜0. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化.(　　) (2)若角 α 终边过点(1，3)，则sin α＝ eq \f(3\r(10),10).(　　) (3)终边在x轴上的角的正切值不存在．(　　) (4)若角x的终边在第三象限，则cos α<0，tan α>0.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值为(　　) A．1 B．－1 C． eq \f(\r(2),2) D．－ eq \f(\r(2),2) 答案　B 3．若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0，则角θ的终边一定位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 4．角α＝ eq \f(π,2)，则角α的余弦值为____________________． 解析　∵α＝ eq \f(π,2)时，角α的终边上任取一点(0，1)， ∴cos α＝0. 答案　0 题型一　三角函数定义及其应用 eq \a\vs4\al(多维探究) 角度1　已知角α终边上一点坐标求三角函数值 　[教材例1提升]已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝ eq \f(\r(10),10)x，求sin θ，tan θ. [解析]　由题意知r＝|OP|＝ eq \r(x2＋9)， 由三角函数定义得cos θ＝ eq \f(x,r)＝ eq \f(x,\r(x2＋9)). 又∵cos θ＝ eq \f(\r(10),10)x，∴ eq \f(x,\r(x2＋9))＝ eq \f(\r(10),10)x. ∵x≠0，∴x＝±1. 当x＝1时，点P为(1，3)， 此时sin θ＝ eq \f(3,\r(12＋32))＝ eq \f(3\r(10),10)，tan θ＝ eq \f(3,1)＝3. 当x＝－1时，点P为(－1，3)， 此时sin θ＝ eq \f(3,\r((－1)2＋32))＝ eq \f(3\r(10),10)， tan θ＝ eq \f(3,－1)＝－3. 1．已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值 在α的终边上任选一点P(x，y)，设点P到原点的距离为r(r＞0)，则sin α＝ eq \f(y,r)，cos α＝ eq \f(x,r).当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便． 2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.　 角度2　已知角α终边所在直线求三角函数值 　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋ eq \f(3,cos α)的值． [解析]　设角α的终边上任意一点为P(k，－3k)(k≠0)，则x＝k，y＝－3k，r＝ eq \r(k2＋(－3k)2)＝ eq \r(10)|k|. (1)当k＞0时，r＝ eq \r(10)k，α是第四象限角， sin α＝ eq \f(y,r)＝ eq \f(－3k,\r(10)k)＝－ eq \f(3\r(10),10)， eq \f(1,cos α)＝ eq \f(r,x)＝ eq \f(\r(10)k,k)＝ eq \r(10)， 所以10sin α＋ eq \f(3,cos α)＝10× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))＋3 eq \r(10) ＝－3 eq \r(10)＋3 eq \r(10)＝0. (2)当k＜0时，r＝－ eq \r(10)k，α是第二象限角， sin α＝ eq \f(y,r)＝ eq \f(－3k,－\r(10)k)＝ eq \f(3\r(10),10)， eq \f(1,cos α)＝ eq \f(r,x)＝ eq \f(－\r(10)k,k) ＝－ eq \r(10)， 所以10sin α＋ eq \f(3,cos α)＝10× eq \f(3\r(10),10)＋3×(－ eq \r(10)) ＝3 eq \r(10)－3 eq \r(10)＝0. 综上所述，10sin α＋ eq \f(3,cos α)＝0. 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝ eq \f(b,\r(a2＋b2))，cos α＝ eq \f(a,\r(a2＋b2))，tan α＝ eq \f(b,a).　 [触类旁通] 1．(2025·四川德阳期末)已知角α的终边过点M(x，1)(x>0)，且cos α＝ eq \f(\r(3),3)x，则tan α＝(　　) A． eq \r(3) B． eq \f(\r(3),3) C． eq \r(2) D． eq \f(\r(2),2) 解析　设r＝|OM|＝ eq \r(x2＋1)， 由三角函数的定义得cos α＝ eq \f(x,r)＝ eq \f(x,\r(x2＋1))＝ eq \f(\r(3),3)x，整理可得x2＋1＝3，因为x>0，所以x＝ eq \r(2)，所以tan α＝ eq \f(y,x)＝ eq \f(1,\r(2))＝ eq \f(\r(2),2). 答案　D 题型二　三角函数值符号的应用 　(1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)判断下列各式的符号： ①sin 145°cos (－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5. [解析]　(1)∵α为第二象限角， ∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P在第四象限，故选D. (2)①∵145°是第二象限角， ∴sin 145°＞0， ∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0， ∴sin 145°cos (－210°)＜0. ②∵ eq \f(π,2)＜3＜π，π＜4＜ eq \f(3,2)π， eq \f(3π,2)＜5＜2π， ∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0. [答案]　(1)D　(2)略 三角函数值符号的判断问题 由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求． [触类旁通] 2．(1)已知tan α>0，sin α<0，则角α的终边所在的象限为第__________象限．(　　) A．一 B．二 C．三 D．四 (2)(多选题)下列各式的值为正的有(　　) A．sin 310° B．cos (－60°) C．tan 4 D．cos eq \f(2π,3) 解析　(1)由tan α>0，sin α<0，则角α的终边所在的象限为第三象限． (2)对选项A，310°为第四象限角，所以sin 310°<0，故A错误； 对选项B，－60°为第四象限角，所以cos (－60°)>0，故B正确； 对选项C，4弧度为第三象限角，所以tan 4>0，故C正确； 对选项D， eq \f(2π,3)为第二象限角，所以cos eq \f(2π,3)<0，故D错误． 答案　(1)C　(2)BC [缜密思维提能区] 易错辨析 忽视对参数的分类讨论致误 [典例]　角α的终边过点P(－3a，4a)，a≠0，则cos α＝_________． [错解]　因为x＝－3a，y＝4a， 所以r＝ eq \r((－3a)2＋(4a)2)＝5a， 于是cos α＝ eq \f(－3a,5a)＝－ eq \f(3,5). [错因分析]　错解中，误以为a＞0，没有对a的正负进行分类讨论，导致r求错，从而结果错误． [正解]　由题意，可得 |OP|＝ eq \r((－3a)2＋(4a)2)＝5|a|，且a≠0. 当a＞0时，|OP|＝5a，则cos α＝ eq \f(－3a,5a)＝－ eq \f(3,5). 当a＜0时，|OP|＝－5a，则cos α＝ eq \f(－3a,－5a)＝ eq \f(3,5). [答案]　－ eq \f(3,5)或 eq \f(3,5) [纠错心得] 在利用三角函数的定义解决问题时，如果终边上一点的坐标中含有参数，那么要注意对其进行分类讨论，以免丢解． 知识落实 技法强化 (1)三角函数的定义及求法． (2)三角函数值在各象限内的符号． (1)本节课应用了由特殊到一般、转化与化归、分类讨论的思想方法． (2)三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))). $