7.2.2　单位圆与三角函数线课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

7．2　任意角的三角函数 7．2.2　单位圆与三角函数线 数学 目标导向 数学 数学 自主预习 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 合作探究 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 课堂小结 数学 数学 学习目标 核心素养 了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切 数学抽象 直观想象 能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题 逻辑推理 直观想象 新知初探 1．单位圆与三角函数 (1)单位圆：在平面直角坐标系中，坐标满足__________的点组成的集合． (2)三角函数与单位圆：角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，如图： 则sin α＝____________，cos α＝____________，tan α＝__________， 则角α的终边与单位圆的交点为P(________). 2．三角函数线 (1)作图：①角α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，垂足为M. ②过A(1，0)作x轴的垂线，交角α的终边或其反向延长线于点T. (2)图示： INCLUDEPICTURE "Q3.TIF" (3)结论： eq \o(MP,\s\up6(→))， eq \o(OM,\s\up6(→))， eq \o(AT,\s\up6(→))分别称为角α的______、______、______，统称为三角函数线． 答案 1．(1)x2＋y2＝1 (2)y　x　 eq \f(y,x)　cos α，sin α 2．(3)正弦线　余弦线　正切线 初试身手 1．判断正误 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)角α的正弦线的长度等于sin α.(　　) (2)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．(　　) (3)余弦线和正切线的始点都是原点．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是(　　) A.正弦线 eq \o(PM,\s\up6(→))，正切线 eq \o(A′T′,\s\up6(→)) B.正弦线 eq \o(MP,\s\up6(→))，正切线 eq \o(A′T′,\s\up6(→)) C.正弦线 eq \o(MP,\s\up6(→))，正切线 eq \o(AT,\s\up6(→)) D.正弦线 eq \o(PM,\s\up6(→))，正切线 eq \o(AT,\s\up6(→)) 解析：由三角函数线的定义知，C正确．故选C. 答案：C 3．角 eq \f(π,5)和角 eq \f(6π,5)有相同的(　　) A.正弦线 B．余弦线 C.正切线 D．不能确定 解析： eq \f(π,5)与 eq \f(6π,5)的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线．故选C. 答案：C 4．角 eq \f(5π,6)的终边与单位圆的交点的坐标是________． 解析：由于角 eq \f(5π,6)的终边与单位圆的交点横坐标是cos eq \f(5π,6)＝－ eq \f(\r(3),2)，纵坐标是sin eq \f(5π,6)＝ eq \f(1,2)， 所以角 eq \f(5π,6)的终边与单位圆的交点的坐标是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))). 答案： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))) 类型1　三角函数线的意义 【例1】　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边． (1)sin α＝ eq \f(2,3)； (2)cos α＝－ eq \f(3,5)； (3)tan α＝2. 【解】　(1)作直线y＝ eq \f(2,3)交单位圆于点P，Q，连接OP，OQ，则OP与OQ为角α的终边，如图1. (2)作直线x＝－ eq \f(3,5)交单位圆于点M，N，连接OM，ON，则OM与ON为角α的终边，如图2. (3)在直线x＝1上截取AT＝2，其中A的坐标为(1，0).设直线OT与单位圆交于点C，D，则OC与OD为角a的终边，如图3. 【规律方法】 三角函数线的画法 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得出正弦线和余弦线． (2)作正切线时，应从A(1，0)点引x轴的垂线，交角α的终边(α为第一或第四象限角)或角a终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线 eq \o(AT,\s\up6(→)). 跟踪训练1 利用单位圆证明当α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时． (1)sin α<α<tan α；(2)sin α＋cos α>1. 证明：如下图，在直角坐标系中作单位圆，α的终边与单位圆交于点P，α的正弦线、正切线分别为 eq \o(MP,\s\up6(→))， eq \o(AT,\s\up6(→))，则| eq \o(MP,\s\up6(→))|＝sin α，| eq \o(AT,\s\up6(→))|＝tan α. (1)∵S△AOP＝ eq \f(1,2)OA·MP＝ eq \f(1,2)sin α，S扇形AOP＝ eq \f(1,2)α·r2＝ eq \f(1,2)α， S△OAT＝ eq \f(1,2)OA·AT＝ eq \f(1,2)AT＝ eq \f(1,2)tan α， 又S△AOP<S扇形AOP<S△AOT， ∴ eq \f(1,2)sin α< eq \f(1,2)α< eq \f(1,2)tan α，即sin α<α<tan α. (2)∵| eq \o(MP,\s\up6(→))|＋| eq \o(OM,\s\up6(→))|>| eq \o(OP,\s\up6(→))|，又| eq \o(MP,\s\up6(→))|＝sin α， | eq \o(OM,\s\up6(→))|＝cos α，| eq \o(OP,\s\up6(→))|＝1，∴sin α＋cos α>1. 类型2　利用三角函数线比较大小 【例2】　比较下列各组数的大小． (1)cos eq \f(4π,7)和cos eq \f(5π,7)； (2)sin eq \f(π,7)和tan eq \f(π,7). 【解】　(1)如图，在单位圆中作出 eq \f(4π,7)和 eq \f(5π,7)的余弦线 eq \o(OM2,\s\up6(→))和 eq \o(OM1,\s\up6(→)). 因为| eq \o(OM1,\s\up6(→))|>| eq \o(OM2,\s\up6(→))|且 eq \f(4π,7)和 eq \f(5π,7)的余弦均为负数， 所以cos eq \f(4π,7)>cos eq \f(5π,7). (2)如图，分别作出 eq \f(π,7)的正弦线和正切线， 由图知，角 eq \f(π,7)的正弦线和正切线分别为 eq \o(MP,\s\up6(→))， eq \o(AT,\s\up6(→))， 因为| eq \o(MP,\s\up6(→))|<| eq \o(AT,\s\up6(→))|且 eq \f(π,7)的正弦和正切均为正数， 所以tan eq \f(π,7)>sin eq \f(π,7). 【规律方法】 利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点 (1)关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线． (2)注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向． 跟踪训练2 比较大小． ①sin 15°与sin 120°； ②cos 40°与cos 50°； ③tan 105°与tan 120°. 解：①如图，在单位圆中，画出15°角的终边为OP1，120°角的终边为OP2，过P1，P2分别作x轴的垂线，垂足分别为M1，M2，则sin 15°＝| eq \o(M1P1,\s\up6(→))|，sin 120°＝| eq \o(M2P2,\s\up6(→))|，因为| eq \o(MP1,\s\up6(→))|<| eq \o(M2P2,\s\up6(→))|. 所以sin 15°<sin 120°. ②如图，在单位圆中，画出40°角的终边为OP1，50°角的终边为OP2，过P1，P2分别作x轴的垂线，垂足分别为M1，M2，则cos 40°＝| eq \o(OM1,\s\up6(→))|，cos 50°＝| eq \o(OM2,\s\up6(→))|.因为| eq \o(OM1,\s\up6(→))|>| eq \o(OM2,\s\up6(→))|，所以cos 40°>cos 50°. ③如图，在单位圆中，画出105°角的终边为OP1，120°角的终边为OP2， 过点A(1，0)作单位圆的切线， 反向延长线P1O，P2O分别交切线于T1，T2， 则tan 105°＝－ | eq \o(AT1,\s\up6(→))|，tan 120°＝－ | eq \o(AT2,\s\up6(→))|. 因为 | eq \o(AT1,\s\up6(→))|> | eq \o(AT2,\s\up6(→))|， 所以tan 105°<tan 120°. 类型3　利用三角函数线解不等式 【例3】　在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥ eq \f(\r(3),2)；(2)cos α≤－ eq \f(1,2). 【解】　(1)作直线y＝ eq \f(\r(3),2)，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图①中阴影部分)即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤α≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)))). (2)作直线x＝－ eq \f(1,2)，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图②中的阴影部分)即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)≤α≤2kπ＋\f(4π,3)，k∈Z)))). 【规律方法】 利用三角函数线解三角不等式的方法 (1)正弦、余弦型不等式的解法 对于sin x≥b，cos x≥a(sin x≤b，cos x≤a)，求解关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围． (2)正切型不等式的解法 对于tan x≥c，取点(1，c)，连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围． 跟踪训练3 求y＝lg (1－ eq \r(2)cos x)的定义域． 解：如图所示，因为1－ eq \r(2)cos x＞0， 所以cos x＜ eq \f(\r(2),2)， 所以2kπ＋ eq \f(π,4)＜x＜2kπ＋ eq \f(7π,4)(k∈Z)， 所以函数定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(7π,4)))(k∈Z). 理解三角函数线应注意以下四点 (1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外； (2)方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或其延长线)的交点； (3)正负：三条有向线段中与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值； (4)书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后． $$