精品解析：广东省汕头市潮阳实验学校2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试卷

汕头市潮阳实验学校2025～2026学年度第一学期 高一第二次月考考试 数学试卷 命题人：阴广州 李存菊 审题人：何深立 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程在内近似解的过程中可得，，，则方程的解所在区间为（ ） A. B. C. D. 不能确定 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 下列与角终边相同的角为（ ） A. B. C. D. 5. 若，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数是定义在上的奇函数，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 7. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，且关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 若的终边经过点，则（ ） A. 是第四象限角 B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题：“，”的否定是“，” B. “”是“”的一个必要不充分条件 C. D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 11. 已知函数定义域为，则下列选项中的等式不可能在时恒成立的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.（14题第一个空2分，第二个空3分）. 12. 不等式的解集为__________. 13. 已知函数，则函数的零点个数为______． 14. 已知函数，______；的最小值是______． 四、解答题（本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 15. 已知集合，． （1）化简集合并用区间表示； （2）求，． 16. （1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，且，求的值． 17. 学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（i）函数的图象接近图示；（ii）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（iii）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（iiii）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①；②；③. （1）请根据函数图像性质你从中选择一个合适的函数模型不需要说明理由； （2）根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式； （3）已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）. 18. 已知函数（，，）的图象过点，. （1）证明：函数的图象是轴对称图形； （2）若在区间上恒成立，求m的取值范围； （3）设函数，若有唯一零点，求实数t的取值范围. 19. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”，为函数的“伪奇函数点”，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”，为函数的“伪偶函数点”. （1）已知函数，判断是否为“伪奇函数”，是否为“伪偶函数”，并说明理由； （2）若函数为定义在上的“伪奇函数”. ①求实数的取值范围； ②若函数在上存在两个“伪奇函数点”，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汕头市潮阳实验学校2025～2026学年度第一学期 高一第二次月考考试 数学试卷 命题人：阴广州 李存菊 审题人：何深立 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集、交集的知识确定正确答案. 【详解】. 故选：C 2. 函数的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程在内近似解的过程中可得，，，则方程的解所在区间为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理判断即可. 【详解】解：因为是连续函数，且，，， 所以，，所以在上存在零点， 即方程的解所在区间为. 故选：B 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，解得且， 故函数的定义域为 4. 下列与角终边相同的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用终边相同角的定义即可求出结果. 【详解】与角终边相同的角为， 当时，可得. 故选：D. 5. 若，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 分别找到对应的函数，并判断单调性，借助中间量进行大小比较. 【详解】单调递减，单调递增，单调递增， ，，， 则. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是借助中间量0和1进行大小的比较. 6. 设函数是定义在上的奇函数，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质可知，再由即可求解． 【详解】函数是定义在上的奇函数， ，， ． 故选：A． 7. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及单调性求出，再结合指数函数的性质可得. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又为为增函数，则， 故恒过定点. 故选：C. 8. 已知函数，且关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，作出函数的图象，则化为，从而关于的方程的两根分别位于和上，进而可得出答案. 【详解】令，则， 如图，作出函数的图象， 由， 得，且，则， 故， 即， 因为关于的方程有三个不同的实数解， 所以关于的方程的两根分别位于和上， 令， 当，即或时， 若，则，解得，不符题意， 若，则，解得或，不符题意， 所以， 则，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：将所求转化为关于的方程的两根分别位于和上，是解决本题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 若的终边经过点，则（ ） A. 是第四象限角 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据终边上点的位置确定角终边所在象限判断A，由三角函数的定义求三角函数值判断BCD. 【详解】因为的终边经过点，故的终边在第四象限，是第四象限角，故A正确； 由三角函数的定义可知，，，， 故B正确，CD错误. 故选：AB 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题：“，”的否定是“，” B. “”是“”的一个必要不充分条件 C. D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断A,根据充分条件、必要条件的定义判断B，根据对数的减法运算判断C，根据抽象函数的定义域求法判断D. 【详解】对于A：命题：“”的否定是“”，故A正确； 对于B：由能推出，所以“”是“”的必要条件； 而由可得或，所以“”不是“”的充分条件； 所以“”是“”的一个必要不充分条件，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：因为函数的定义域为，对于函数，令，解得， 所以函数的定义域为，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数定义域为，则下列选项中的等式不可能在时恒成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A令，即可判断；B证明为偶函数，为偶函数且在上单调递增，则根据可求出；C令，即可判断；D假设存在函数使得，推出矛盾即可. 【详解】对于A，当时，，当时，，与函数的定义矛盾， 则不可能在时恒成立，故A正确； 对于B，令， 则，则为上的偶函数， 令，则， 则为上的偶函数， 任取，则 ， 因，则，则， 则在上单调递增， 不妨设，则有或， 则，则符合函数定义， 则可能在时恒成立，故B错误； 对于C，令，则， 令，则，与函数的定义矛盾， 则不可能在时恒成立，故C正确； 对于D， 假设存在函数使得成立， 令，则的根为， 令，则可变形为， 则，，，， 则， ， 则（否则会有）， ，， 则，则，同理， 若，则，矛盾； 若，则，矛盾； 若，则，矛盾； 若，则， 此时有且，可得，推出矛盾； 综上可知，，推出矛盾， 故满足的函数不存在，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.（14题第一个空2分，第二个空3分）. 12. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【详解】 由不等式，即，所以不等式的解集为. 13. 已知函数，则函数的零点个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】函数的零点个数等价于与的交点个数，画出图象即可求解 【详解】函数的零点个数等价于与的交点个数， 当时，单调递增，此时； 当时，单调递减，此时； 当时，单调递增，此时； 时取得极小值， 如图： 由图可知与有三个交点，故函数有三个零点. 故答案为： 14. 已知函数，______；的最小值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求得，直接运算可得，所以，由基本不等式求得其最小值，结合的最小值为 ，可得的最小值. 【详解】由，得，解得，或. 所以函数的定义域为. . 所以. 所以，. 所以. 因为与同号， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 因为，所以当且仅当时， 取得最小值，最小值是. 故答案为：①；②. 四、解答题（本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 15. 已知集合，． （1）化简集合并用区间表示； （2）求，． 【答案】（1），，，； （2）， 【解析】 【分析】（1）第一步分别解出一元二次不等式的解集，第二步解出分式不等式的解集，第三步取并集. （2）根据集合A集合B，利用交集，补集运算即可得到答案. 【小问1详解】 化简：，所以；，所以， 即，所以，； 【小问2详解】 ， 16. （1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数的平方关系求得，由商数关系求得； （2）根据同角三角函数的平方关系式，求得，确定的范围，进而确定的符号，并求出的值． 【详解】（1）因为，且，所以. 因为是第二象限角，所以. 所以. （2）由，得，所以. 因为，所以，所以，所以. 因为， 所以. 17. 学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（i）函数的图象接近图示；（ii）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（iii）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（iiii）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①；②；③. （1）请根据函数图像性质你从中选择一个合适的函数模型不需要说明理由； （2）根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式； （3）已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）. 【答案】（1） （2）， （3）55 【解析】 【分析】（1）根据图像和函数性质选择模型， （2）将，代入求解系数即可. （3）将代入解析式即可. 【小问1详解】 根据题中材料和题图选择合适的函数模型 从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选； 【小问2详解】 将，代入解析式得到，即， 解得，，即. 当时，， 满足每天得分最高不超过6分的条件. 所以函数的解析式为； 【小问3详解】 由，， 得，得， 所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟. 18. 已知函数（，，）的图象过点，. （1）证明：函数的图象是轴对称图形； （2）若在区间上恒成立，求m的取值范围； （3）设函数，若有唯一零点，求实数t的取值范围. 【答案】（1） 因为函数的图象过点，， 所以，解得， 所以， 可得，的定义域关于原点对称， ， 所以是偶函数，图象关于轴对称， 即函数的图象是轴对称图形； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用求出可得，再证明是偶函数即可； （2）利用单调性、奇偶性转化为，或在区间上恒成立，再转化为，或，再利用单调性求最小值即可； （3）由得，或，令或，转化为在上有唯一零点，或在上有唯一零点， 令，结合二次函数根的分布可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 当时，、是增函数， 所以是单调递增函数，又是偶函数， 若在区间上恒成立， 则， 可得在区间上恒成立， 故在区间上恒成立， 若，在区间上恒成立时， 即， 令，， 因为在上是减函数，在上是增函数， 所以在上是减函数， 可得，即； 若，在区间上恒成立时， 即， 令，， 因为在上是减函数，在上是增函数， 所以在上是减函数， 可得，即； 综上所述，； 【小问3详解】 由得，或， 即，或， 令函数， 可得，即， 令或， 可得在上有唯一零点， 或在上有唯一零点， 令， （i）若在上有唯一零点， 则当时，得，由得无解； 则当时， 可得，或， 可得； 则当时， 可得，或， 可得无解； （ii）若在上有唯一零点， 可得，或， 解得； 综上所述，实数t的取值范围. 【点睛】关键点点睛：第三问关键点是由得出，或，令或，然后转化为在上有唯一零点，或在上有唯一零点. 19. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”，为函数的“伪奇函数点”，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”，为函数的“伪偶函数点”. （1）已知函数，判断是否为“伪奇函数”，是否为“伪偶函数”，并说明理由； （2）若函数为定义在上的“伪奇函数”. ①求实数的取值范围； ②若函数在上存在两个“伪奇函数点”，证明. 【答案】（1） 由函数，得， 显然不存在非零实数满足，因此不是“伪奇函数”； 由，得，整理得，解得， 即存在非零实数满足，因此为“伪偶函数”. 所以函数是“伪偶函数”，不是“伪奇函数”. （2）①； ②由函数在上存在两个“伪奇函数点”， 得关于的方程在上有两个解，不妨设， 令函数， 函数在上是单调函数，则在上至多一个解， 若在上有两个解，则与矛盾， 因此在上有一个解，在上有一个解， 由，得，且， 而当时，函数在上单调递减， 又，则方程在上必有一个解，， 因此， 令函数，而函数在上都单调递减， 则函数在上单调递减，，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用“伪偶函数”、 “伪奇函数”的定义分别判断即得. （2）①利用“伪奇函数”的定义建立等式，分段讨论并分离参数求出范围；②利用“伪奇函数点”的定义，结合零点存在性定理求出范围，再将分别用表示出，借助单调性推理得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由函数为定义在上的“伪奇函数”， 得存在非0实数，使得，即， 则当时，，即，因此； 当时，，即，而函数在上单调递减， 因此，所以实数的取值范围是. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $