精品解析：江苏省徐州市睢宁县宁海高级中学2024-2025学年高一下学期6月质量检测暨期末模拟考试数学试题

宁海高级中学2024-2025学年度第二学期6月质量检测暨 期末模拟考试 高一数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简复数，再求出共轭复数即可. 【详解】, 则复数的共轭复数为. 故选：A. 2. 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先计算样本空间，再代入古典概型概率公式，即可求解. 【详解】从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张， 样本空间包含，共个， 抽到的2张卡片上的数字之和是偶数包含的基本事件为，个数， 则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为. 故选：C. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示的充要条件求解，再取补集即可 【详解】，得， 因为是的两条边，所以不共线， 所以 故选：D 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和差角的余弦公式求出，再利用二倍角的余弦求解. 【详解】由，得 ，所以. 故选：D 5. 已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则使得成立的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或 若，又，则与可能平行、相交（不垂直）、异面（不垂直）、相交垂直、异面垂直， 若，又，则与可能平行、异面（不垂直）、异面垂直，故A错误； 对于B：若，，，则，故B错误； 对于C：若，，则，又，所以，故C错误； 对于D：若，，则与可能平行或相交（不垂直）或垂直或， 又，此时不能保证成立，如，此时与可能平行、异面（不垂直）、异面垂直，故D错误； 故选：C 6. 已知互不相等的一组数的平均数为，方差为，的方差为，则（ ） A. B. C. D. 与大小关系不确定 【答案】C 【解析】 【分析】首先计算第二组数据的平均数，再代入方差的定义，即可判断. 【详解】由题意可知，，所以， 则，所以数据的平均数是， ， ， 与的分子相同，比较分母，可知，， 故选：C 7. 已知圆锥底面半径为3，体积为，若圆锥底面圆周和顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得圆锥的高，结合球的截面圆的性质，以及球的表面积公式，即可求解. 【详解】设圆锥的高为，因为圆锥的体积为，可得，解得， 设圆锥的外接球的半径为，可得，即， 解得，所以外接球的表面积为. 故选：A. 8. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求解. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系， 因为，， 所以，即， 且, 所以, 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据4，8，9，3，3，5，7，9，则（ ） A. 这组数据的上四分位数为8.5 B. 这组数据没有众数 C. 这组数据的极差为6 D. 这组数据的平均数为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合上四分位数、众数、极差、平均数的意义依次判断即可. 【详解】对于A，将给定数据从小到大排列为3，3，4，5，7，8，9，9，而， 所以这组数据的上四分位数为，故A正确； 对于B，这组数据的众数是3和9，故B错误； 对于C，这组数据的极差为6，故C正确； 对于D，这组数据的平均数为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知，方程的两个根为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据求根公式求出方程的两个根，再根据选项依次计算即可. 【详解】由求根公式可知，方程的两个根分别为、， 两根互为共轭复数，即互为共轭复数，故正确； 两根的模长相等且均为，故正确； ，， 即，故正确； ， ， 所以或，而， 所以，故错误. 故选：ABC. 11. 盒子里有3个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. A与B相互独立 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】依次列出样本空间，事件、、、包含的基本事件，由事件的基本关系及概率公式一一判定选项即可. 【详解】依题意可设个红球为， ，，2个白球为，，则样本空间为： ，共个基本事件. 事件，共个基本事件. 事件 ，共个基本事件. 事件 ，共个基本事件. 事件， 共个基本事件. 对于A，显然、不可能同时发生，且与中一定有一个会发生，所以与互为对立事件，故A正确； 对于B：注意到，则与不互斥，故B错误； 对于C：因为， 则，故与不独立，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，结合向量模的坐标表示求解即得. 【详解】向量，，则， 所以. 故答案为：1 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦的和差公式及同角三角函数基本关系式计算即可得解. 【详解】 即， 由题意， 所以 又所以， 所以， 故答案为： 14. 如图，在长方体中，，，为的中点，过的平面分别与棱，交于点E，F，且，则截面四边形的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面的基本性质作出截面，然后求解面积即可. 【详解】如图： 过点B作的平行线分别与，的延长线交于G，H，连接，， 并分别与，交于E，F，因为，且平面，平面， 所以平面，所以平面即为平面，因为，， 所以，所以四边形为菱形，且，， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决截面问题的关键是根据平面的性质结合题意作截面图形，一般作平面内与已知直线的平行线或者相交线，考查学生的空间想象能力. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从全校学生的期末考试成绩（均为整数）中随机抽取一个样本，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，如图中从左到右各小组的小矩形的高之比为，最左边的一组频数是6. （1）求样本容量； （2）求这一组的频数及频率； （3）估计这组样本数据的众数和中位数. 【答案】（1） （2）频数为，频率为 （3）众数为：，中位数为113 【解析】 【分析】（1）根据矩形面积比与频率比的关系即可得到样本容量； （2）根据面积比即可求出频率，再根据样本容量即可求出频数； （3）根据众数和中位数计算公式即可. 【小问1详解】 小矩形的高之比为频率之比， 所以从左到右的频率之比为. 最左边的一级所占的频率为， 所以样本容量； 【小问2详解】 这一组的频率为，所以频数为； 【小问3详解】 由频率分布直方图得： 众数为：. 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 则，， 设中位数为， ，解得， 即中位数为113. 16. 已知向量，函数. （1）求函数的周期，最大值，最小值； （2）若，求的值. 【答案】（1）周期为，最大值为2，最小值为； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标表示求出，再利用二倍角公式及辅助角公式化简，结合正弦函数的性质求解. （2）由（1）求得，再利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解. 【小问1详解】 向量， 则， 所以函数的周期为，最大值为2，最小值为. 【小问2详解】 由，得， 所以. 17. 在中，角的对边分别为，已知. （1）若，求角； （2）若的平分线与边交于点，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据条件限制出的范围，并求出，然后在中利用正弦定理即可； （2）先证明角平分线定理并得出，，再利用余弦定理得出的值，即可利用面积公式求解. 【小问1详解】 因，且， 则且， 在中利用正弦定理得，，即，得， 因，则或， 若，则，不符合题意；若，则， 故. 【小问2详解】 因是的角平分线，且， 则，则， 在中利用余弦定理得，， 得，则， 则的面积. 18. 如图，AB是圆O的直径，点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，且，点D是PA的中点，点F为PC的中点. （1）求异面直线和所成角的大小； （2）求二面角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取AC中点M，连结BM，FM，得到（或其补角）为异面直线BF和PA所成角，在直角中，求得，在直角中，得到，进而求得异面直线和所成角； （2）由（1）证得，，得到为二面角的平面角，在等腰直角为等腰三角形中，即可求解. 【小问1详解】 解：取AC中点M，连结BM，FM， 因为F，M分别为PC，AC的中点，所以， 所以（或其补角）为异面直线BF和PA所成角， 因为，C为以AB为直径的圆上的点， 所以在直角三角形BCM中，，，可得. 因为点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，所以面， 又因为BC，BA在平面ABC内，所以，， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以，所以， 即异面直线和所成角为. 【小问2详解】 解：由（1）知，，且，平面， 所以面，因为面，所以， 又因为，所以为二面角的平面角， 又由平面，平面，所以， 因为，所以为等腰三角形， 又因为为的中点，所以且，所以， 所以二面角为. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点E，F分别为棱PD，BC的中点，点G在线段AF上． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值． 【答案】（1） 连接，取的中点，连接，因为底面为菱形，且， 所以、为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，取的中点，连接，根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，即可得证； （2）利用等体积法求出点到平面的距离； （3）连接，，取的中点，连接，确定直线与平面，平面，平面所成的角，再根据锐角三角函数得到，设，，利用换元法求出函数的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，， 又，，，所以， 所以， 又，所以， 设点到平面的距离为，则，即， 解得，即点到平面的距离. 【小问3详解】 连接，，则且， 又平面，所以平面，则为直线与平面所成的角，即，所以， 取的中点，连接，则且， 又为中点，所以，又，所以， 由平面，平面，所以，， 又，平面，所以平面，则平面， 又，平面，所以平面， 连接，，则为直线与平面所成的角，即， 所以， 为直线与平面所成的角，即， 所以， 所以， 又，设，， 所以， 所以， 令，则， 所以 ， 因为，所以， 所以当时取得最大值，且最大值为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁海高级中学2024-2025学年度第二学期6月质量检测暨 期末模拟考试 高一数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则使得成立的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 已知互不相等的一组数的平均数为，方差为，的方差为，则（ ） A. B. C. D. 与大小关系不确定 7. 已知圆锥底面半径为3，体积为，若圆锥底面圆周和顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据4，8，9，3，3，5，7，9，则（ ） A. 这组数据的上四分位数为8.5 B. 这组数据没有众数 C. 这组数据的极差为6 D. 这组数据的平均数为6 10. 已知，方程的两个根为，则（ ） A. B. C. D. 11. 盒子里有3个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. A与B相互独立 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则________． 13. 已知，则__________. 14. 如图，在长方体中，，，为的中点，过的平面分别与棱，交于点E，F，且，则截面四边形的面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从全校学生的期末考试成绩（均为整数）中随机抽取一个样本，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，如图中从左到右各小组的小矩形的高之比为，最左边的一组频数是6. （1）求样本容量； （2）求这一组的频数及频率； （3）估计这组样本数据的众数和中位数. 16. 已知向量，函数. （1）求函数的周期，最大值，最小值； （2）若，求的值. 17. 在中，角的对边分别为，已知. （1）若，求角； （2）若的平分线与边交于点，且，求的面积. 18. 如图，AB是圆O的直径，点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，且，点D是PA的中点，点F为PC的中点. （1）求异面直线和所成角的大小； （2）求二面角的大小. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点E，F分别为棱PD，BC的中点，点G在线段AF上． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $