江苏连云港市赣榆经济开发区高级中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

赣榆高级中学经济开发区校区5月份学情检测 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.若复数z=a+(a2-1i是纯虚数，则实数a的值为() A.0 B.1 C.-1 D.±1 2.在锐角三角形ABC中，a=2 bsin A,则B=() A号 C.a 7π D. 12 3.已知向量a=(-2,4),b=(1,x),若a∥6，则1b=() A.5 B.5 C.25 D.45 2 4.在长方体ABCD-ABCD中，AB=AD=√3，AA=1,则AD与AC所成角的余弦值为() A. B. 4 C. 4 D.6 4 5.一个直角梯形上底、下底和高之比为2：3：√3，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成 一个圆台，则这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为() A.4:9:3 B.4:9:8 C.4:9:9 D.4:9:10 6.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E为AD上一点，BE.AC=0.若BE=BA+IBC, 则元+4的值为() D A. B.9 8 e得 D.29 18 7,《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数 学典著，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于 给出了由圆锥的底面周长1与高，计算其体积y的近似公式V≈h,它实际上是将圆锥体积公 36 式中的圆周率π近似取3，则近似公式V≈儿1Ph相当于将圆锥体积公式中的π近似取() 400 A.157 B C. 355 50 D. 22 2sin A 8.在锐角三角形ABC中， 的取值范围为() cosC F=tanB+tanC,则sinC cos A 25 3 B C.(1,+o) D.(2,+0) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法中错误的是() A.若a6=ac,且a≠0，则万=c B.已知d=6,6=3,a万=12，则a在万上的投影向量是4B C.在△ABC中，若A>B,则sinA>sinB D.在△ABC中，若b2+c2-a2>0,则△ABC是锐角三角形 10.已知a,b,c为三条直线，a,，B,Y为三个平面.下列命题为真命题的是() A.若a⊥a,acB,则a⊥B B.若a∥a,acB,a∩B=b,则a∥b C.若a⊥c,b⊥c,则a∥b D.若a⊥Y,B⊥y,a∩B=a,则a⊥y 11.在正三棱柱ABC-AB,C中，AB=AA=2,点M、N、P分别为AB、BC、AB的中点，则 下列说法正确的是() A.直线AM与直线CN为异面直线 B.平面AWC,⊥平面BCC,B, C.三棱柱外接球的表面积为28π D.直线CC与平面ANC所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.满足z2∈R,z-i1=1的一个复数z= 13.曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄OA在水平位置OB时，连杆端点P在Q的位置，当OA 自OB按顺时针方向旋转角a时，P和Q之间的距离是xcm,若OA=3cm,AP=7cm,a=120°， 则x的值是 14.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,PA=BC=3,AB=4,AC=5,则三棱锥P-ABC的 表面积为 ,三棱锥P-ABC的内切球的体积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.在Dsin A_cosB_cosC a b C,②a cos A=bcosB,③acos B+bcosA=a这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中，并完成解答， 问题：在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,判断△ABC的形状. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 16,在锐角三角形ABC中，Sm4-号m(4-)=号 (1)求sinB的值： (2)求cosC的值. 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面为直角梯形，CDIIAB,AD⊥AB,且PA =AD=CD=2,AB=3,E为PD的中点. E (1)证明：AE⊥平面PCD: (2)过A,B,E作四棱锥P-ABCD的截面，请写出作法和理由，并求截面的面积： (3)求二面角A-PB-C大小的正切值， 18.已知向量a=(V3sinx,cosx),i=(cosx,cosx),函数f(x)=2a.b-1. (1)求函数f(x)的最小正周期： (2)求函数f(x)最小值及对应的x取值集合： (3)若f}求sm2x-)的值， 19.如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为6的棱形，∠BAD=60°，平面ABFE交 平面CDEF于EF,平面FBC⊥平面ABCD,△FBC中BC边上的高FH=3,BH=2,EF=3. (1)求证：EF/1AB; (2)求几何体ABCDEF的体积； (3)求直线FH与平面ABFE所成角的大小一、单选题 1.若复数z=a+(a2-1)i是纯虚数，则实数a的值为() A.0 B.1 C.-1 D.1 【答案】A 2.在锐角三角形ABC中，a=2 bsin A,则B=() A号 B. π C. D. π 4 6 12 【答案】C 3.已知向量a=(-2,4),6=,x),若aW方，则16上() A.5 B.5 C.25 D.4V5 2 【答案】B 4.在长方体ABCD-ABCD中，AB=AD=V5,A4=1,则AD与AC所成角的余弦值 为() A.月 B.2 C. D. 6 4 4 4 【答案】D 5.一个直角梯形上底、下底和高之比为2：3：√5，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转 一周形成一个圆台，则这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为() A.4:9:3 B.4:9:8 C.4:9:9 D.4:9:10 【答案】D 【分析】由已知设直角梯形上底、下底和高为2x,3x,3x,它们分别为圆台的上、下底半径 和高，代入圆台底面积及侧面积公式，求出两底面积及侧面积，可得答案。 【详解】解：由题意可设直角梯形上底、下底和高为2x,3x,V3x,它们分别为圆台的上、下 底半径和高 如图示，过点B作BC⊥OA于C,则Rt△ABC中， ⊙ AC=0A-OC=0A-0'B=3x-2x=x, 0 C A BC=00=3x, .'4B=4C2+BC2=xy+(3x)y =2x. S上：Sr:S=π(2x]H(3x2]Hπ(2x+3x)×2x=4:9:10. 故选：D 6.如图，在矩形ABCD中，4B=3,BC=4,E为AD上一点，BE.HC=0.若 远=BA+BC,则+严的值为() E B 10 B.8 2 29 A.1 6 D.18 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设远=a,3),由C龙=0可 电陇=士业6远，利用坐标表示建立方程 【详解】解：由题意建立如图所示直角坐标系 因为AB=3,BC=4,则B0,0),0,3),C(4,0), 所以BA=(0,3),AC=4,3),设远=(a,3), 因为元成=0，即4a9-0,解得a} 因为蓝=成+品，所以(}303到+4o). -4,解得 =1 25 所以34 4= 9,则元+μ=6 31=3 16 故选：C F B C 7.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系 统的数学典著，其中记载有求困盖”的术置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.该 术相当于给出了由圆锥的底面周长1与高，计算其体积V的近似公式了≈Ph,它实际上 36 是将圆雏体积公式中的圆周率π近似取，则近似公式V≈儿Ph相当于将圆雏体积公式中 400 的π近似取() 4.57 B.100 355 C. D. 22 50 33 113 【答案】B 【分析】因为题维的体积为”背h,故而”=h,由h儿P%可得石的近似值 12元 12π 400 )设圆维的底面半径为，则圆锥的底面周长1=2r，所以r 12 所以r=h=x h 3 3042xh= 12π 令h=LPh,得x=100 12π400 33 故选：B 2sin A 8.在锐角三角形ABC中， 的取值范围为() cosC =tanB+tanC,则simC cos A 23 、/3 B C.L,+o) D.(2,+o) 【答案】A 【分析】利用切化弦的思想以及两角和的公式，等价变形已知条件，求得B=云，然后血C 3 cosA 消元， 得到sinA+” 3， 再一次化简为只有一个三角符号，再求出角A的范围，即可求解 cos 4 【详解】因为2sin4 =tamB+tanC,所以 cosC 2sin A sin B sinC sin BcosC+cos BsinC sin(B+C) sinA cos C cos B cosC cos Bcos C cos BcosC cos BcosC 1 所以cosB= 又三角形ABC为锐角三角形，所以B=石， 3 所以sinC sin(A+B) siA+π） 3 如4+5 +2 cos 4 1 cos A cos A cosA 2 2 0<A<π 又因为三角形ABC为锐角三角形，所以 2 0<4 6 2 0<C< 所以tan Ae 3.to 所以 cos A 2 故选：A. 二、多选题 9.下列说法中错误的是() A.若a6=ac,且a0,则方=& B.己知白=6，=3,46=12，则a在方上的投影向量是8 C.在VABC中，若A>B,则sinA>sinB D.在VABC中，若b2+c2-a2>0,则VABC是锐角三角形 【答案】AD 10.己知a,b,c为三条直线，ax,B,Y为三个平面.下列命题为真命题的是() A.若a⊥a,aCB,则a⊥B B.若aPa,aCB,aIB=b,则aPb C.若aLc,bLc,则aPb D.若a⊥y,B⊥y,aB=a,则a⊥y 【答案】ABD 11.在正三棱柱ABC-ABG中，AB=A4=2,点M、N、P分别为AB、BC、AB的 中点，则下列说法正确的是() A.直线AM与直线CN为异面直线 B.平面ANC⊥平面BCCB C.三棱柱外接球的表面积为 28π D.直线CG与平面AG所成角的正弦值为5 【答案】BCD 【分析】判断出A、M、N、C四点共面，可判断A选项的正误利用面面垂直判定定理 可判断B选项的正误求出三棱柱ABC-AB,C的外接球的半径，结合球体的表面积公式可 判断C选项的正误；利用线面角的定义可判断D选项的正误 【详解】对于A选项，QM、N分别为AB、BC的中点，则MN∥AC, QA4∥CC且AA=CC,故四边形AACC为平行四边形，所以，AC∥AC,则MN∥AC, 所以，A、M、N、C四点共面，A错： 对于B选项，QAB=AC,N为BC的中点，则AW⊥BC, QBB⊥平面ABC,ANC平面ABC,AN⊥BB, QBCI BB=B,故ANI平面BBCC, QAWc平面AWC,故平面ANC⊥平面BCCB,B对； 对于C选项，如下图所示： 01 2R 0 圆柱OO,的底面圆直径为2r,母线长为h,则OO2的中点O到圆柱底面圆上每点的距离都 相等，则O为圆柱00的外接球球心，则2R=+(2}, 本题中，可将正三棱柱ABC-ABC中，其中VABC、△ABC的外接圆分别为圆柱O,O 的两个底面圆， B B V4BC的外接圆直径为2r=245 3， 3 故正三楼挂C-44G的外接球直径为2R-f+=4+52可 3 因此，该三棱柱的外接球的表面积为S=4πR2=π×(2R)=π× 222 28 3 3 ,C对； 对于D选项，过点C在平面BBCC内作CH⊥CN,垂足为点H, 由B选项可知，平面AWC⊥平面BCCB,平面ANCI平面BCCB=CN,CH⊥CN, 且CHc平面BCCB,所以，CH⊥平面WC, 故CC与平面AWC所成角为∠CCN, 因为BC=AB=A4=2,N为BC的中点，则CW=1,故CN=√CW2+CC=V5, 在心ACGN中，血CCN-CI-Y故cG与平面G所成角的正弦值为5 对 故选：BC 三、填空题 12.满足z2eR,z-i1=1的一个复数z= 【答案】0(0或2i中的一个，答案不唯一) 13.曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄OA在水平位置OB时，连杆端点P在Q的位 置，当OA自OB按顺时针方向旋转角α时，P和2之间的距离是xcm,若OA=3Cm, AP=7cm,a=120°，则x的值是 B 【答案】5 【详解】如下图， 9 B 在△APO中， 由余弦定理可知49=OP2+9-2☐3 OPRoS AOP?OP5cm, 另外，由图可知，在点A与点B重合时，OQ=AP+OA=10cm, \P9=02-OP=10-5=5cm, 故答案为：5 14.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,PA=BC=3,AB=4,AC=5,则三棱锥 P-ABC的表面积为，三棱锥P-ABC的内切球的体积为 【答案】 27 32 81 【分析】根据已知条件可得AB⊥BC,，利用三棱锥的体积公式结算即可；利用线面垂直的 判定定理可证明BC⊥平面PAB,设内切球半径为r,利用等体积法求解内切球的半径，利 用球的表面积公式结算即可」 【详解】解：因为PA=BC=3,AB=4,AC=5,在VABC中，AC2=AB2+BC2, 11 匠以B上BC,又PAL平面ABC,所以，3×2 xPAx ABXRC-=X,X3x3x4=6, 32 因为PA⊥平面ABC,AB,AC,BCc平面ABC,所以PA⊥BC,PA⊥AC,PA⊥AB,故 PB=PA+AB=5 又AB⊥BC,PAI AB=A,所以BC⊥平面PAB, 又PBC平面PAB,所以BC⊥PB, 所以PAB,PAC,PBC,VABC均为直角三角形， 设三棱锥P-ABC的内切球的球心为O,半径为r, 则。-ABc+P。-PB+。-PAc+V。-PBc=V,-AC, 1 Vr-c-3rx(Suc+Sru+Sre+Smc)-3rxx(3x4+3x4+3x5+3x5)-6. 32 解得r=2, ，故三棱锥P-MBC的内切球的体积为32 81 四、解答题 15.在1 sinA_osB_cosC ,②acosA=bcosB,③acos B+bcosA=a这三个条件中任 a bc 选一个，补充在下面问题中，并完成解答. 问题：在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,判断VABC的形状. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】若选条件①，等腰直角三角形；若选条件②，等腰或直角三角形；若选条件③， 等腰三角形 【分析】若选择①，由正弦定理可得sinB=cosB,sinC=cosC,进而解出B,C即可得到 答案 若选择②，由正弦定理边化角，再通过降幂公式化简，即可得到A,B的关系，进而得到答 案； 若选择③，由正弦定理边化角，通过两角和（差）的正弦化简，进而得到答案 【解】老条件0A容8-C,由正弦定理总，。 a 知simB=cosB, sin A sinB sinC mC=cosC，又B,Cc0,元，∴tamB=LamC=I知，C，B=元 4则4元 2 三角形ABC为等腰直角三角形 选条件②acosA=bcosB,由正弦定理：sin Acos4=sin Bcos B,即sin2A=sin2B, 又因为2A2B∈(0,2)，所以2A=2B或2A+2B=元，即A=B或A+B=→C= 2 2 则三角形为等腰三角形或直角三角形 条件③acos B+bcosA=a,则由正弦定理知sin Acos B+sin Bcos A=sinA, 即sin(B+A)=sinA,又A+B+C=π，所以sinC=sinA,则由正弦定理知a=c, 则三角形为等腰三角形， 16.如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD,底面为直角梯形，CDIlAB,ADLAB, 且PA=AD=CD=2,AB=3,E为PD的中点， P D (1)证明：AEL平面PCD: (2)过A,B,E作四棱锥PABCD的截面，请写出作法和理由，并求截面的面积 【答案】(1)证明见解析 (2)作法和理由见解析，2√互 【分析】(1)由CD 1 AE,AE⊥PD结合线面垂直的判定证明即可； (2)作EFIICD,得出EFAB,从而得出截面，再由梯形的面积公式得出截面面积 【详解】(1)证明：因为PA⊥平面ABCD,所以CDLPA. 又CD∥AB,AD⊥AB,所以CD⊥AD 因为AD∩PA=A,所以CDL平面PAD,则CDLAE. 因为PA=AD,E为PD的中点，所以AELPD.又CD∩PD=D,所以AEL平面PCD. (2)解：如图，过E作EFIICD,交PC于F,连接BF,则截面为四边形ABFE E F B D 理由如下： 因为ABIICD,EFIICD,所以EFAB,所以A,B,F,E四点共面，从而过A,B,E的截 面为四边形ABFE, 由(I)知AE1平面PCD,所以AELEF, EF=CD=1,AE=2,AB=3. 所以四边形4BFE为直角梯形，其面积S=x0+3)×V2=2N2 17.在锐角三角形8C中，smA-多m(4-)=号 (1)求sinB的值； (2)求cosC的值. 【答案】(1)1B@,2)30 50 250 【分折】1求得mA名，结合如(4-)=}由差角正切公式求得mB,进而求得血B: 3 (2)由cosC=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B可得结果 详解)由题意inA3VBC为锐角三角形，cosA=1sim2A号：am4上如4 cosA 4 3 .nB=tn[4-(4-B)]=1+4(4-B) tan 4-tan(A-B) 43 13 31 1+3 43 ÷cosB=9V10 ，·sinB=cos Btan B= 910.131310 50 50950 (2)~A+B+C=π，C=π-(A+B), .cosC=cos[-(4+B)]=-cos(4+B)=-cos 4cosB+sin AsinB 4×90+3x13而_3i0 550550250 18.已知向量a=（3simx,cosx,方=(cosx,cosx),函数f)=2ai-1. (1)求函数∫(x)的最小正周期及最小值； 2)若/月求(2x)的值 【答案】(1)最小正周期π；最小值是-2；(2)-3别 32 【分析】(1)利用向量的数量积公式和三角函数恒等变换公式对函数化简得 -2m(2x+ ,从而可求得其最小正周期； 2)由付可得m(+周g西 x}x+A引m[臣-+引w+) 再利用余弦的二倍 角公式化简可得答案 【详解】解(1)f(x)=2a6-1 =2/3sinxcosx+2cos2x-1 =3sin2x+cos2x =22x+ 函数∫)的最小正周期T=2=, 2 当2x+区=2km-即x=k红-写，keZ时，函数f(的最小值是-2. 2)由)知月)2m(+)月 mx+)8 所以m2x}m+)m[臣(+】》-+) =2m(x+g1-2x41= 64 32 19.如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为6的棱形，∠BAD=60°，平面ABEF 交平面CDEF于EF,平面FBC⊥平面ABCD,VFBC中BC边上的高FH=3,BH=2, EF=3. (1)求证：EF/1AB (2)求几何体ABCDEF的体积 (3)求直线FH与平面ABEF所成角的大小 【答案】(1)证明见解析 (2455 2 暖 【分析】(1)根据线面平行的性质定理分析证明； (2)将多面体分割成两个锥体，结合锥体的体积公式运算求解； (3)利用等体积法求点H到平面ABEF的距离，进而结合线面夹角的定义分析运算 【详解】(1)因为ABCD是菱形，则ABCD, ABt平面CDEF,CDC平面CDEF,可得AB平面CDEF, 又因为平面ABEF平面CDEF=EF,ABC平面ABEF, 所以ABEF (2)连接EB,EC 因为平面FBC⊥平面ABCD,平面FBCI平面ABCD=BC,FH⊥BC,FHC平面FBC, 所以FH⊥平面ABCD, 由(I)可知：CD∥EF,CDC平面ABCD,EFd平面ABCD, 所以EF∥平面ABCD, 则四棱锥E-ABCD的高为FH=3, 所以四枝维E-BCD的体积V。n一 1x3x2x1x6x6x5=185, 1 2 2 取BC的中点M,连接BD,DM, 由题意可知△BCD为等边三角形，则DM⊥BC, 平面FBC⊥平面ABCD,平面FBCI平面ABCD=BC,DMC平面ABCD, 所以DM⊥平面FBC, 又因为CD/E邵，且FCD,则三棱锥E-FBC的高为DM-3y5 2 2x6x3=93 可得三棱锥E-FBC的体积C=3X2× 13V51 2 所以几何体，CDEF的体积y=K4m+c=185+9y5_453 2 2 (3)连接AH,AF, 在VABH中，由余弦定理 AH2=AB2+BH2-2AB·BH cos∠ABH=36+4-2×6×2 即AH=2√13， 由(2)可知：FH⊥平面ABCD,AHC平面ABCD,则FH⊥AH, 所以AF=√AH2+FH2=V6L,BF=VFH2+BH2=V13, 在△ABF中，由余弦定理cos∠ABF=AB+BF2-AF2_36+13-61V3 2AB.BE 2x6×V13 13 即∠ABF为纯角，则m∠ABF=-cos'∠ABF_2y59 13 设点H到平面ABEF的距离为d, 因为am=m,则xd)x6xB×239-x3xx6x2x5 3 2 133 2 2 解得d3 设直线FH与平面ABEF所成角为O∈ π 可得血0品号则0名 6 所以直线FH与平面4Br所成角为 6 B