精品解析：江苏省徐州市睢宁县第一中学2023-2024学年高一下学期5月阶段检测数学试卷

2023-2024学年度第二学期高一年级高一5月份阶段检测 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：苏教版必修第二册第9章至第13章第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式，化简求值. 【详解】 故选：C 2. 在平行四边形中，对角线与交于点，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算直接计算. 【详解】 由已知对角线与交于点，， 则， 所以， 故选：A. 3. 在中，角，，的对边分别是，，.若，，，则角等于（ ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 90° 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得,, 得出， 所以. 故选：A. 4. 以下命题正确的是（ ） A. 过空间三点有且仅有一个平面 B. 平行于同一直线的两个平面互相平行 C. 平行于同一直线的两条直线互相平行 D. 分别在两个平行平面内的两条直线互相平行 【答案】C 【解析】 【分析】由平面的性质及线面、面面的位置关系逐项判断即可得解. 【详解】对于A，过不在一条直线上的三点有且仅有一个平面，故A错误； 对于B，平行于同一直线的两个平面可能相交，故B错误； 对于C，平行于同一直线的两条直线互相平行，故C正确； 对于D，分别在两个平行平面内的两条直线可能异面，故D错误. 故选：C. 5. 已知为虚数单位，复数满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用推出对应复平面上的点的轨迹，的最大值即为轨迹上的点到原点距离的最大值. 【详解】设，由，推出，则， 于是可看成以为圆心，半径为的圆上运动，， 意为A到的距离，距离最大值为3，所以. 故选：D. 6. 某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），则旗杆的高度为（ ） A. 10m B. 30m C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正弦定理求出，再根据直角三角形三角函数关系即可求解. 【详解】如图，由题可知：在中，， ，所以． 根据正弦定理得，， 所以， 在中，． 故选：B 7. 在三棱锥中，，，，，平面，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意先求出，接着证明所以平面从而得到，从而得点到的距离即为，求出即可得解. ，故点到的距离 【详解】由题意结合余弦定理得， 所以，所以，即， 又因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以，又，且由线面垂直性质有， 所以点到的距离即为. 故选：D. 8. 构造法是数学中一种常见的解题方法，请结合三角形的正、余弦定理，构造出恰当的图形解决问题：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造,则由余弦定理有，设，再由正弦定理可得出答案. 【详解】构造，设角所对的边分别为, 设 由余弦定理可得,即 所以，由正弦定理可得 即 所以 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，已知点，，，则（ ） A. B. 与的夹角为 C. 在方向上的投影向量的坐标为 D. 与垂直的单位向量的坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出即可判断A选项，设与的夹角为，求出即可判断B选项，设与同向的单位向量为，求出，根据在方向上的投影向量的坐标为即可判断C选项，设与垂直的单位向量为，解即可判断D选项． 【详解】对A，因为点，，， 所以，，所以， 所以，故A选项错误； 对B，设与的夹角为，所以， 所以与的夹角为，故B选项正确； 对C，设与同向的单位向量为，， 所以在方向上的投影向量的坐标为，故C选项正确； 对D，因为，设与垂直的单位向量为， 则，解得或， 所以与垂直的单位向量的坐标为或，故D选项错误. 故选：BC. 10. 已知复数满足，的共轭复数为，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 的虚部为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数的除法求出复数，由复数的模长公式可判断选项A；由复数的代数形式结合相关概念可确定它对应的点所在的象限从而判断选项B，由共轭复数的定义结合复数的乘法运算以及模长的运算可判断选项C；由复数的相关概念可直接得出其虚部，从而判断选项D. 【详解】由，可得 所以，选项A正确. 在复平面内对应的点为，位于第四象限，故选项B正确. 又，故选项C正确. 的虚部为,故选项D不正确. 故选：ABC 11. 已知正方体的棱长为，为空间一动点，为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 若为线段上的动点，则与所成角的范围为 B. 若为线段上的动点，则的最小值为 C. 若为侧面上的动点，且平面，则点的轨迹长度为 D. 若为侧面上的动点，且，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，先在上任取点，作出与所成角，根据条件探求该角的变化规律，结合临界位置即得其范围；对于B,将翻折至与共面，利用两点之间线段最短即得的最小值；对于C,利用平面构造平面平面，即得点的轨迹为线段，计算即得；对于D，由可推出，即得点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆弧，计算即得. 【详解】 对于A，当点不与点重合时，如图1，过点作,交于点，连接, 因,故即与所成角. 因平面，则平面,因平面,故.则, 当点与点重合时，点与点重合，; 当点从点向点移动时，越来越大，越来越小，故的值越来越大，即的值越来越大， 当点与点重合时，易得 故与所成角的范围为，故A错误； ， 对于B，如图2，将正方形绕着旋转到与正方形共面时，连接,交于点， 则此时最小，而，故的最小值为，即B正确； 对于C，如图3，分别取的中点，连接,则平面,平面,故平面, 同理平面,又平面,故平面平面， 因为侧面上的动点，且平面，平面平面,则点, 即点的轨迹为线段，而，故点的轨迹长度为，故C正确； 对于D，如图4，连接,因平面, 平面,则, ,点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆弧, 则在中，,则，同理, 则,故圆弧的长为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：本题主要考查与正方体有关的动点产生的异面直线所成角范围和轨迹长度问题，属于难题.解题思路：对于异面直线所成角，一般需要平移到一个三角形中，通过三角函数定义、余弦定理等公式去判断转化，并考虑临界情况；对于动点轨迹问题，一般需要根据条件构造两平面的交线即轨迹，或者推出动点满足的条件等式即可求得. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用符号语言表示“点在直线上，在平面外”为__________. 【答案】. 【解析】 【分析】 根据符号语言表示即可 【详解】由题,则表示为, 故答案为: 【点睛】本题考查空间中点、线、面的位置关系的符号表示,属于基础题 13. 设、分别是的斜边上的两个三等分点，已知，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 则 又分别是斜边上的两个三等分点， 所以， . 考点：平面向量的坐标运算. 14. 在锐角中，，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理及三角变换得及，则，利用换元求取值范围． 【详解】由余弦定理及，得， 得， 由正弦定理得，， 得， 得， 得， 因为为锐角三角形，所以， 即， 则，得， 则， ， 令，则在上单调递减， 得，则， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：化简，令，则在上单调递减即可求解． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设向量满足，且． （1）求与的夹角； （2）求的大小. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由已知得，展开求得，结合夹角公式即可求解； （2）由化简即可求解． 【详解】（1）设与的夹角为θ 由已知得，即，因此， 得，于是，故 θ=，即与的夹角为； （2）由． 16. 已知复数，（为虚数单位）满足__________. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题. （1）若，求复数以及； （2）若是实系数一元二次方程的根，求实数的值. 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）选条件①，利用共轭复数的意义及复数乘法运算求出，再利用复数除法运算及模的意义求解；选条件②，利用复数乘法运算及复数的意义求出，再利用复数除法运算及模的意义求解. （2）利用实系数一元二次方程的虚根成对出现，再借助韦达定理计算即得. 【小问1详解】 选条件①，，由，得， 因此，即，又，解得， 所以，. 选条件②，，由 得，因此，解得， 所以，. 【小问2详解】 是实系数一元二次方程根，则也是该方程的根， 于是，则实数， 所以实数值为. 17. 如图，在正三棱柱中，，，为棱的中点. （1）证明：平面. （2）证明：平面平面. （3）求直线与平面所成的角. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，可得，根据线面平行的判定即可证结论. （2）由题设易知、，根据线面垂直的判定有平面，再由面面垂直的判定即可证结论. （3）在平面内，作，即直线与平面所成的角，结合已知条件求的正弦值，即可确定其大小. 【小问1详解】 证明：如图，连接交于点，则为的中点，连接. 是的中点，为的中位线， 又平面，平面， 平面. 【小问2详解】 证明：为正三角形，为的中点，. 平面，平面，. 又平面，平面，且 平面. 又平面，平面平面. 【小问3详解】 解：平面平面，且交线为， 在平面内，作，则平面. 则即直线与平面所成的角. ，则即直线与平面所成的角. 在中，，，， 直线与平面所成的角为. 18. 将形如的符号称为二阶行列式，现规定二阶行列式的运算如下：.已知两个不共线的向量，的夹角为，，且. （1）求的值. （2）若为钝角，试探究与能否垂直，若能，求出的值；若不能，请说明理由. （3）若，当时，求的最小值，并求出此时与的夹角. 【答案】（1） （2）不可能垂直，理由见解析 （3）， 【解析】 【分析】(1)根据定义可化简二阶行列式，利用三角函数和差公式以及辅助角公式化简即可得解； (2)根据向量与垂直充要条件是，所以可转化为与0的关系即可判断； (3) 因为，求得，由向量的模的运算公式，求得时， 结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 所以. 故答案为：2 【小问2详解】 由（1）知， 则， 所以 ， 因为为钝角，所以， 则， 故与不可能垂直. 故：为钝角时，与不垂直 【小问3详解】 因为，所以， 所以 ， 当时，， 所以， 此时. 因为， 所以， 又因为的夹角， 所以的夹角为. 故：当时，， . 19. 已知是直线外一点，点，在直线上（点，与点，任一点均不重合）.我们称如下操作为“由点对施以视角运算”： 若点在线段上，记； 若点在线段外，记. 并且，记. 记的内角，，的对边分别为，，.已知，，是射线上一点，现由点对施以视角运算，得到. （1）若，求. （2）射线上的点满足. ①求； ②求的最小值. 【答案】（1） （2）①；②的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据所给定义及条件得为的角平分线，在中，由余弦定理求出，再由正弦定理求出，最后根据角的范围即可求解； （2）①根据所给定义及条件计算，结合（1）问的得，然后化简求值即可； ②由及面积公式得，再由基本不等式计算即可. 【小问1详解】 因为，所以点在线段上，如图①所示， 又，所以由，得， 所以为的角平分线，又，所以， 在中，， 由余弦定理得，解得， 由正弦定理得，即，解得， 又是最大边，所以. 【小问2详解】 记. ①因， 所以点在线段的延长线上，如图②所示， 即 所以，化简得， 解得，，且， 所以. ②因为， 所以， 即， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，此时，. 故的最小值为. 【点睛】关键点点睛：由推出，并结合基本不等式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期高一年级高一5月份阶段检测 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：苏教版必修第二册第9章至第13章第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，对角线与交于点，，则（ ）． A. B. C. D. 3. 在中，角，，的对边分别是，，.若，，，则角等于（ ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 90° 4. 以下命题正确的是（ ） A. 过空间三点有且仅有一个平面 B. 平行于同一直线两个平面互相平行 C. 平行于同一直线的两条直线互相平行 D. 分别在两个平行平面内的两条直线互相平行 5. 已知为虚数单位，复数满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 6. 某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），则旗杆的高度为（ ） A. 10m B. 30m C. D. 7. 在三棱锥中，，，，，平面，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 构造法是数学中一种常见的解题方法，请结合三角形的正、余弦定理，构造出恰当的图形解决问题：（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，已知点，，，则（ ） A. B. 与的夹角为 C. 在方向上的投影向量的坐标为 D. 与垂直的单位向量的坐标为 10. 已知复数满足，的共轭复数为，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 的虚部为 11. 已知正方体的棱长为，为空间一动点，为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 若为线段上的动点，则与所成角的范围为 B. 若为线段上的动点，则的最小值为 C. 若为侧面上的动点，且平面，则点的轨迹长度为 D. 若为侧面上的动点，且，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用符号语言表示“点在直线上，在平面外”为__________. 13. 设、分别是的斜边上的两个三等分点，已知，，则__________． 14. 在锐角中，，则的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设向量满足，且． （1）求与的夹角； （2）求的大小. 16. 已知复数，（为虚数单位）满足__________. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题. （1）若，求复数以及； （2）若是实系数一元二次方程根，求实数的值. 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分. 17. 如图，在正三棱柱中，，，为棱的中点. （1）证明：平面. （2）证明：平面平面. （3）求直线与平面所成的角. 18. 将形如符号称为二阶行列式，现规定二阶行列式的运算如下：.已知两个不共线的向量，的夹角为，，且. （1）求值. （2）若为钝角，试探究与能否垂直，若能，求出的值；若不能，请说明理由. （3）若，当时，求的最小值，并求出此时与的夹角. 19. 已知是直线外一点，点，在直线上（点，与点，任一点均不重合）.我们称如下操作为“由点对施以视角运算”： 若点线段上，记； 若点在线段外，记. 并且，记. 记的内角，，的对边分别为，，.已知，，是射线上一点，现由点对施以视角运算，得到. （1）若，求. （2）射线上的点满足. ①求； ②求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$