第4章 4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的综合应用(习题课)（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第4章　4.3　4.3.2　第2课时 [必备知识·基础巩固] 1．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是(　　) A．190　　　　　　　 B．191 C．192 D．193 解析　设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381，解得a1＝192. 答案　C 2．某厂去年的总产值是a亿元，假设今后五年的年产值平均增长率是10%，则从今年起到第5年年末该厂的总产值是(　　) A．11×(1.15－1)a亿元 B．10×(1.15－1)a亿元 C．11×(1.14－1)a亿元 D．10×(1.14－1)a亿元 解析　由题意可知，今年年末的总产值为1.1a，从今年起每年年末的总产值构成一个等比数列，首项为1.1a，公比为1.1.所以其前5项和为S5＝＝11×(1.15－1)a亿元，故选A． 答案　A 3．(多选题)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则(　　) A．a1d>0 B．dS4<0 C．a1d<0 D．dS4>0 解析　∵在等差数列{an}中，a3，a4，a8成等比数列， ∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)⇒a1＝－d， ∴S4＝2(a1＋a4)＝2(a1＋a1＋3d)＝－d， ∴a1d＝－d2<0，dS4＝－d2<0，故选BC． 答案　BC 4．一同学在电脑中打出如下若干个圈： 若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的的个数是(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 解析　从左到右，第一个位于2的位置，第二个位于2＋3＝5的位置，第三个位于5＋4＝9的位置，….设第n个位于an的位置，由规律可知an＝an－1＋n＋1，则an＝an－1＋n＋1＝an－2＋n＋n＋1＝…＝a1＋3＋4＋…＋n＋1＝2＋3＋…＋n＋1＝，而a14＝119<120，所以前120个圈中的个数为14，故选C． 答案　C 5．某人玩投石子游戏，第一次走1米放2颗石子，第二次走2米放4颗石子……第n次走n米放2n颗石子，当此人一共走了36米时，他投放石子的总数是________颗． 解析　因为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36， 所以此人一共走了8次， 因为第n次走n米放2n颗石子， 所以他投放石子的总数是2＋22＋23＋…＋28＝＝2×255＝510(颗)． 答案　510 6．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________. 解析　由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2＋22＋…＋2n＝(2n＋1－2)棵，令2n＋1－2≥100，则2n＋1≥102，又26＝64,27＝128，且{2n＋1}单调递增，所以n≥6，即n的最小值为6. 答案　6 7．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________. 解析　因为S2＝2a1－1，S4＝4a1＋×(－1)＝4a1－6.因为S1，S2，S4成等比数列， 所以(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－. 答案　－ 8．已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4. (1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式． (1)证明　由题设，知 两式相加得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)， 即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)． 又因为a1＋b1＝1， 所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列． 由题设两式相减得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8， 即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列． (2)解析　由(1)知，an＋bn＝， an－bn＝2n－1. 所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－， bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋. [关键能力·综合提升] 9．在下列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为(　　) 1 2 0.5 1 a b c A．1　　　 B．2 C．3　　　 D．4 解析　a＝，第三行第一列为，第四行第一列为，第四行第三列为，所以b＝＋＝，第五行第一列为4，第五行第三列为3，所以c＝23－4＝，所以a＋b＋c＝＋＋＝1，故选A． 答案　A 10．(多选题)已知数列的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，数列的前n项和为Tn，n∈N*，则下列选项正确的为(　　) A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列的通项公式为an＝2n－1 D．Tn>1 解析　因为Sn＋1＝Sn＋2an＋1， 所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1， an＋1＋1＝2an＋2， 即＝2，且a1＋1＝2， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确，B错误； 所以an＋1＝2n，即an＝2n－1，故C正确； 因为＝＝－， 所以Tn＝－＋－＋…＋－＝1－<1， 故D错误． 故选AC． 答案　AC 11．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的，用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1＝1，a5＝12，a9＝192，则a7＝______；数列{an}所有项的和为________. 解析　设前3项的公差为d，后7项公比为q>0，则q4＝＝＝16，且q>0，可得q＝2， 则a3＝1＋2d＝， 即1＋2d＝3，可得d＝1， 可得a3＝a1＋2d＝1＋2＝3，a7＝a3q4＝48. a1＋a2＋…＋a9＝1＋2＋3＋3×2＋…＋3×26＝3＋＝384. 答案　48　384 12．龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直(即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现)．例如第一代龙曲线(图1)是以A1A2为斜边画出等腰直角三角形的直角边A1A3、A3A2所得的折线图，图2、图3依次为第二代、第三代龙曲线(虚线即为前一代龙曲线)．A1、A2、A3为第一代龙曲线的顶点，设第n代龙曲线的顶点数为an，由图可知a1＝3，a2＝5，a3＝9，则a4＝________；数列的前n项和Sn＝________. 解析　由题意可知，第n＋1代龙曲线是在将2个第n代龙曲线的首尾顶点相接， 则an＋1＝2an－1，所以，an＋1－1＝2(an－1)， 所以，数列{an－1}是等比数列，且首项为a1－1＝2，公比为2，则an－1＝2×2n－1＝2n， ∴an＝2n＋1，则a4＝24＋1＝17. ＝＝－， 因此，Sn＝＋＋…＋＝－. 答案　17　－ 13．张先生2023年年底购买了一辆1.6 L排量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇(指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中)的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金购买了2亩荒山用于植树造林．科学研究表明：轿车每行驶3000 km就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1 m3，平均可吸收1.8吨二氧化碳． (1)张先生估计第一年(即2024年)会用车12 000 km，以后逐年会增加1000 km，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨？ (2)若种植的林木第一年(即2024年)生长了1 m3，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车10年排出的二氧化碳的量？(参考数据：1.114≈3.797 5,1.115≈4.177 2,1.116≈4.595 0) 解析　(1)设第n年小轿车排出的二氧化碳的吨数为an(n∈N*)， 则a1＝＝4，a2＝＝， a3＝＝，…， 显然其构成首项为a1＝4，公差为d＝a2－a1＝的等差数列， 所以S10＝10×4＋×＝55， 即该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨． (2)记第n年林木吸收二氧化碳的吨数为bn(n∈N*)， 则b1＝1×1.8，b2＝1×(1＋10%)×1.8， b3＝1×(1＋10%)2×1.8，…， 其构成首项b1＝1.8，公比q＝1.1的等比数列， 记其前n项和为Tn， 由题意，有Tn＝＝18×(1.1n－1)＞55，解得n≥15. 所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车10年排出的二氧化碳的量． [核心素养·探索创新] 14．(多选题)如果有穷数列a1，a2，a3，…，am(m为正整数)满足a1＝am，a2＝am－1，…，即ai＝am－i＋1(i＝1,2，…，m)，我们称其为“对称数列”．例如，数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,2,4,8都是“对称数列”．设{bn}是项数为2m(m>1，m∈N*)的“对称数列”，且1,2,22,23，…，2m－1依次为该数列中连续的前m项，则数列{bn}的前100项和S100可能的取值为(　　) A．2100－1 B．251－2 C．226－4 D．2m＋1－22m－100－1 解析　由题意知数列{bn}为1,2,22,23，…，2m－1,2m－1，…，23,22,2,1. 若m＝50，则S100＝2×＝251－2， B正确； 若51≤m<100， 则S100＝2×－ ＝2m＋1－22m－100－1， 故D正确． 若m≥100，则S100＝＝2100－1，故A正确． 答案　ABD 15．(2025·黔西期末)若数列的首项a1＝1，且满足an＋1＝2an＋1(n∈N*)，令cn＝an＋1. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)若bn＝，求的前n项和Tn； (3)在cn与cn＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列中是否存在互不相同的3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． (1)证明　由an＋1＝2an＋1，得an＋1＋1＝2(an＋1)， 而cn＝an＋1，则cn＋1＝2cn，又c1＝a1＋1＝2≠0， 所以数列是等比数列，an＋1＝cn＝2·2n－1＝2n，an＝2n－1. (2)解析　由(1)知，bn＝， Tn＝＋＋＋…＋， 则Tn＝＋＋＋…＋＋， 两式相减得Tn＝＋＋＋…＋－＝＋－＝－， 所以Tn＝3－. (3)解析　依题意，cn＋1＝cn＋(n＋2－1)dn，即2n＋1＝2n＋(n＋1)dn，解得dn＝， 假设在数列中存在不相同的3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列，则d＝dmdp， 即2＝·，则＝，由m，k，p成等差数列，得m＋p＝2k， 因此(k＋1)2＝(m＋1)(p＋1)，整理得k2＝mp，则k＝m＝p，与m，k，p互不相等矛盾， 所以在数列中不存在互不相同的3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列. 学科网（北京）股份有限公司 $