第4章 4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的综合应用（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第4章　4.2　4.2.2　第2课时 [必备知识·基础巩固] 1．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为(　　) A．11或12　　　　　 B．12 C．13 D．12或13 解析　∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2， ∴数列{an}为等差数列．又a1＝24，d＝－2， ∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－2＋. ∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn最大． 答案　D 2．(2025·西安期末)设等差数列的前n项和为Sn，若a5＋a8<0，S11>0，则Sn的最大值为(　　) A．S5 B．S6 C．S7 D．S8 解析　因为数列为等差数列， 由a5＋a8<0⇒a6＋a7<0； 由S11>0⇒>0⇒a1＋a11>0⇒a6>0. 所以a7<0. 所以等差数列是首项为正数的递减数列，且前6项为正，从第7项开始为负数． 所以S6最大． 故选B． 答案　B 3．(多选题)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，下列选项正确的是(　　) A．d<0 B．S11>0 C．S12<0 D．数列{Sn}中的最大项为S11 解析　∵S6>S7，∴a7<0， ∵S7>S5，∴a6＋a7>0， ∴a6>0，∴d<0，A正确． 又S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，B正确． S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，C不正确． {Sn}中最大项为S6，D不正确． 故正确的是AB． 答案　AB 4．(多选题)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5<S6＝S7>S8，则下列结论正确的是(　　) A．d<0 B．a7＝0 C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值 解析　∵S5<S6＝S7>S8， ∴a6>0，a7＝0，a8<0. ∴d<0. ∴S6与S7均为Sn的最大值． S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0. ∴S9<S5，故C错误． 答案　ABD 5．已知等差数列前n项和为Sn，其中S5＝8，S8＝5，则S13＝________. 解析　S8－S5＝a6＋a7＋a8＝3a7＝5－8＝－3， 所以a7＝－1， 可得S13＝＝＝－13. 答案　－13 6．在数列{an}中，a1＝32，an＋1＝an－4，则当n＝________时，前n项和Sn取最大值，最大值是________. 解析　∵d＝an＋1－an＝－4，∴an＝－4n＋36. 令an＝－4n＋36≥0，得n≤9， ∴n＝8或9时，Sn最大，且S8＝S9＝144. 答案　8或9　144 7．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：________日相逢？ 解析　由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1＝103，d1＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1＝97，d2＝－0.5.设第m天相逢，则a1＋a2＋…＋am＋b1＋b2＋…＋bm＝103m＋＋97m＋＝2×1125，解得m＝9(负值舍去)．即二马需9日相逢． 答案　9 8．设等差数列的前n项和为Sn，已知a2＝2，S5＝15. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. 解析　(1)设等差数列的公差为d， 则解得a1＝1，d＝1. ∴an＝n. (2)由(1)知Sn＝. ∴＝＝－. ∴Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝. [关键能力·综合提升] 9．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝n2，记数列的前n项和为Tn，n∈N*.则T20的值为(　　) A． B． C． D． 解析　对于Sn＝n2， 当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－2＝2n－1； 经检验，an＝2n－1对n＝1也成立， 所以an＝2n－1. 所以＝＝， 所以T20＝＝. 故选C． 答案　C 10．(多选题)已知公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则下列说法正确的是(　　) A．若S15<0，S16>0，则a8是数列中绝对值最小的项 B．若＝，则＝ C．若a1＝8，a4＝－1，则|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝32 D．若|a4|＝|a8|，d≠0，则S11＝0 解析　因为{an}为等差数列，且 所以即 所以|a9|>|a8|，d>0，故a8是数列{an}中绝对值最小的项，故A说法正确； 因为{an}为等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，设S3＝x，由＝，得S6＝3x，故x,2x，S9－3x为等差数列，故S9＝6x，所以＝＝，故B说法正确； 因为{an}为等差数列，且a1＝8，a4＝－1， 所以3d＝－9，d＝－3， 则an＝8－3(n－1)＝－3n＋11， 则|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝8＋5＋2＋1＋4＋7＋10＋13＝50，故C说法错误； 因为{an}为等差数列，且|a4|＝|a8|，d≠0，所以a4＝－a8，则a4＋a8＝0，则S11＝＝＝0，故D说法正确．故选ABD． 答案　ABD 11．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________. 解析　由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．设一共有n层， ∴钢管总数为Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝. 当n＝19时，S19＝190. 当n＝20时，S20＝210>200. ∴当n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根． 答案　10 12．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《算法九章·商功》中，后人称之为“三角垛”．已知某“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层(从上往下)球数构成一个数列，则a5＝________，＋＋…＋＝________. 解析　因为a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n， 以上n个式子累加，得an＝1＋2＋3＋…＋n＝， 则a5＝＝15； 因为＝＝2， 所以＋＋…＋ ＝2 ＝2＝. 答案　15　 13．某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了多少钱？ 解析　因为购买设备时已付150万元，所以欠款为1000万元，依据题意，知其后应分20次付款， 则每次付款的数额顺次构成数列{an}，且a1＝50＋1000×1%＝60，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5，a3＝50＋(1000－50×2)×1%＝59，…，an＝50＋[1000－50(n－1)]×1%＝60－0.5(n－1)(1≤n≤20，n∈N*)， 所以数列{an}是以60为首项，－0.5为公差的等差数列， 所以a10＝60－9×0.5＝55.5， S20＝＝1105. 所以全部按期付清后，买这40套机器设备实际共花费了1105＋150＝1255(万元)． 故分期付款的第10个月应付55.5万元，全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了1255万元． [核心素养·探索创新] 14．设数列{an}的前n项和为Sn.如果a1＝－5，an＋1＝an＋2，n∈N*，那么S1，S2，S3，S4中最小的为________. 解析　因为数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－5，an＋1＝an＋2，n∈N*，所以数列{an}是首项为－5，公差为2的等差数列． 所以a1＝－5，a2＝－3，a3＝－1，a4＝1. 所以S1＝－5，S2＝－8，S3＝－9，S4＝－8. 所以S1，S2，S3，S4中最小的为S3. 答案　S3 15．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. 解析　(1)设等差数列的公差为d， 由题意可得 即解得 所以an＝13－2＝15－2n. (2)因为Sn＝＝14n－n2， 令an＝15－2n>0，解得n<，且n∈N*， 当n≤7时，则an>0，可得Tn＝＋＋…＋＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝14n－n2； 当n≥8时，则an<0，可得Tn＝＋＋…＋＝－ ＝S7－＝2S7－Sn＝2－＝n2－14n＋98. 综上所述Tn＝ 学科网（北京）股份有限公司 $