第4章 4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第4章　4.3　4.3.1　第2课时 [必备知识·基础巩固] 1．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为(　　) A．32　　　　　　　　 B．64 C．256 D．±64 解析　由题意得，a1a99＝16， ∴a40a60＝a＝a1a99＝16， 又a50>0，∴a50＝4，∴a40a50a60＝16×4＝64. 答案　B 2．(2025·文山期末)设各项均为正数的等比数列满足a4a10＝2a8，则log2等于(　　) A．211 B．210 C．11 D．9 解析　设等比数列的公比为q，由a4a10＝2a8，得a4a10＝2a4q4，即＝a6＝2， 故log2(a1a2…a10a11)＝log2(a1a11a2a10…a5a7a6)＝log2a＝log2211＝11. 故选C． 答案　C 3．(多选题)已知{an}，{bn}都是等比数列，那么(　　) A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列 B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列 C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列 D．，{an·bn}一定是等比数列 解析　当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积和商一定是等比数列． 答案　CD 4．(多选题)已知等比数列{an}，则下面式子对任意正整数k都成立的是(　　) A．ak·ak＋1>0 B．ak·ak＋2>0 C．ak·ak＋1·ak＋2>0 D．ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3>0 解析　对于A，当q<0时，ak·ak＋1<0，A不一定成立；对于B，ak·ak＋2＝(akq)2>0，B成立；对于C，ak·ak＋1·ak＋2＝(ak＋1)3，C不一定成立；对于D，ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3＝(ak＋1·ak＋2)2>0一定成立，故选BD． 答案　BD 5．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________. 解析　由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6. ∵a1，a3，a4成等比数列，∴a＝a1a4， ∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，解得a1＝－8， ∴a2＝－6. 答案　－6 6．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，则a4＋a8＝________. 解析　∵a6a10＝a，a3a5＝a，∴a＋a＝41， 又a4a8＝4， ∴(a4＋a8)2＝a＋a＋2a4a8＝41＋8＝49. ∵数列各项都是正数，∴a4＋a8＝7. 答案　7 7．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米． 解析　这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，则第10个正方形的面积S＝a＝22·29＝211＝2048. 答案　2048 8．已知数列{an}为等比数列． (1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an； (2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q. 解析　(1)∵a1a2a3＝a＝216，∴a2＝6， ∴a1a3＝36. 又a1＋a3＝21－a2＝15， ∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12. 当a1＝3时，q＝＝2，an＝3·2n－1； 当a1＝12时，q＝，an＝12·n－1. (2)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72， ∴q4＝4，∴q＝±. [关键能力·综合提升] 9．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于(　　) A．2　　　 B．1 C．　　　 D． 解析　法一　∵a3，a5的等比中项为±a4， ∴a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)， ∴a＝4(a4－1)， ∴a－4a4＋4＝0，∴a4＝2. 又∵q3＝＝＝8，∴q＝2， ∴a2＝a1q＝×2＝. 法二　∵a3a5＝4(a4－1)， ∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)， 将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0， 解得q＝2， ∴a2＝a1q＝. 答案　C 10．设各项为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝(　　) A．230 B．210 C．220 D．215 解析　∵a1·a2·a3·…·a30＝230， ∴a·q1＋2＋3＋…＋29＝a·q＝230， ∴a1＝2－， ∴a3·a6·a9·…·a30＝a·(q3) ＝10×(23)45＝220. 答案　C 11．在等比数列{an}中，若a7＝－2，则数列的前13项之积等于________. 解析　由于{an}是等比数列， ∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a， ∴a1a2a3…a13＝(a)6·a7＝a，而a7＝－2. ∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213. 答案　－213 12．如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC＝2.过点 A作BC 的垂线，垂足为A1 ；过点 A1作 AC的垂线，垂足为 A2；过点A2 作A1C 的垂线，垂足为A3；…，依此类推．设BA＝a1 ，AA1＝a2, A1A2＝a3 ，…， A5A6＝a7 ，则 a7＝________. 解析　法一(直接递推归纳) 等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2， 所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝， A1A2＝a3＝1，…，A5A6＝a7＝a1×6＝. 法二(求通项) 等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2， 所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…， An－1An＝an＋1＝sin·an＝an＝2×n， 故a7＝2×6＝. 答案　 13．某学校为了防控某病毒感染，配置消毒液，从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问： (1)第n次操作后溶液的浓度是多少？ (2)当a＝2时至少应操作几次后才能使溶液的浓度低于10%? 解析　(1)由题意知开始时溶液的浓度为1，设第n次操作后溶液的浓度为an，则第1次操作后溶液的浓度为a1＝1－，第(n＋1)次操作后溶液的浓度为an＋1＝an， 所以{an}是首项为1－，公比为1－的等比数列， 所以an＝a1qn－1＝n， 即第n次操作后溶液的浓度是n. (2)当a＝2时，由an＝n<，解得n≥4. 故至少应操作4次后才能使溶液的浓度低于10%. [核心素养·探索创新] 14．设等比数列{an}满足a1＋a2＝12，a1－a3＝6，则an＝________；a1a2…an的最大值为________. 解析　设等比数列{an}的公比为q(q≠0)， 由a1＋a2＝12，a1－a3＝6，可得 解得 ∴an＝8×n－1＝n－4. ∴a1a2…an＝－3－2－1＋0＋1＋…＋(n－4)＝. 令f(n)＝n(n－7)＝(n2－7n)＝2－， ∴当n＝3或n＝4时，f(n)有最小值， 即f(n)min＝－6， ∴a1a2…an的最大值为－6＝64. 答案　n－4　64 15．设关于x的一元二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1,2,3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3. (1)试用an表示an＋1； (2)求证：数列是等比数列； (3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式． (1)解析　根据根与系数的关系， 有 代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3， 得－＝3， 所以an＋1＝an＋. (2)证明　因为an＋1＝an＋， 所以an＋1－＝， 所以数列是以为公比的等比数列． (3)解析　当a1＝时，a1－＝， 故数列是首项为，公比为的等比数列，所以an＝＋(n＝1,2,3，…). 学科网（北京）股份有限公司 $