第4章 4.3.1 第1课时 等比数列的概念与通项公式（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第4章　4.3　4.3.1　第1课时 [必备知识·基础巩固] 1．(2025·昆明期末)已知等比数列的公比为2，a2＋a4＝10，则a5－a1＝(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 解析　由a2＋a4＝10， 可得2a1＋8a1＝10，所以a1＝1， 所以a5＝16， 则a5－a1＝15. 故选C． 答案　C 2．2＋和2－的等比中项是(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．2 解析　设2＋和2－的等比中项为G， 则G2＝(2＋)(2－)＝1，∴G＝±1. 答案　C 3．(多选题)下面四个选项正确的有(　　) A．由第1项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列 B．常数列b，…，b一定为等比数列 C．等比数列{an}中，若公比q＝1，则此数列各项相等 D．等比数列中，各项与公比都不能为零 解析　A错误，当乘以的常数为零时，不是等比数列；B错误，b＝0时不是等比数列；C、D正确，故选CD． 答案　CD 4．(多选题)下列说法正确的有(　　) A．等比数列中的项不能为0 B．等比数列的公比的取值范围是R C．若一个常数列是等比数列，则公比为1 D．22,42,62,82，…成等比数列 解析　A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错误；C显然正确；由于≠，故不是等比数列，D错误． 答案　AC 5．等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝________. 解析　∵＝q2，∴q2＝＝4，即q＝±2. 当q＝－2时，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n； 当q＝2时，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n. 答案　(－2)n或－2n 6．数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________. 解析　设等差数列的公差为d， 则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d， ∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)， 解得d＝－1， ∴q＝＝＝1. 答案　1 7．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________. 解析　由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)， 解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6， 所以q＝＝＝， 所以an＝a1qn－1＝4×n－1. 答案　4×n－1 8．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式． 证明　∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1) ＝2an＋1－2an. ∴an＋1＝2an，又∵S1＝2a1＋1＝a1， ∴a1＝－1≠0. 又由an＋1＝2an知an≠0， ∴＝2，∴{an}是等比数列， ∴an＝－1×2n－1＝－2n－1. [关键能力·综合提升] 9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　因为a，b，c是△ABC的三边，所以a，b，c均不为0， 则由b2＝ac，可得＝， 所以a，b，c成等比数列，反之，当a，b，c成等比数列，可得b2＝ac， 所以“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件． 答案　C 10．若2a，b,2c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．0或2 解析　由题意，得b2＝4ac，故函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相切． 答案　B 11．(2023·全国乙卷)已知为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________. 解析　设的公比为q， 则a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q，显然an≠0， 则a4＝q2，即a1q3＝q2，则a1q＝1， 因为a9a10＝－8，则a1q8·a1q9＝－8， 则q15＝3＝－8＝3， 则q5＝－2，则a7＝a1q·q5＝q5＝－2， 故答案为－2. 答案　－2 12．已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________. 解析　依题意设原来的三个数依次为，a，aq. ∵·a·aq＝512，∴a＝8. 又第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，∴＋(aq－2)＝2a， ∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝， ∴原来的三个数为4,8,16或16,8,4. ∵4＋8＋16＝16＋8＋4＝28， ∴原来的三个数的和等于28. 答案　28 13．数列{an}是公差不为零的等差数列，且a5，a8，a13是等比数列{bn}中相邻的三项，若b2＝5，求bn. 解析　∵{an}是等差数列， ∴a5＝a1＋4d，a8＝a1＋7d，a13＝a1＋12d， 又a5，a8，a13是等比数列{bn}中相邻的三项， ∴a＝a5a13， 即(a1＋7d)2＝(a1＋4d)·(a1＋12d)， 解得d＝2a1. 设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，则q＝＝＝，又b2＝b1q＝5，即b1＝5， 解得b1＝3， ∴bn＝3·n－1. [核心素养·探索创新] 14．已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________. 解析　设公差为d， 由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，　① 由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列， 得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)， 解得d＝3或d＝0，　② 当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92＝3×92－1＝275. 当d＝0时，an＝8，a92＝8. 答案　275或8 15．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N*)． (1)求a2，a3的值； (2)证明数列{an－2n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式． (1)解析　由已知得a2＝3a1－4＋2＝3×－4＋2＝5， a3＝3a2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9. (2)证明　∵an＋1＝3an－4n＋2， ∴an＋1－2n－2＝3an－6n， 即an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n)． 由(1)知a1－2＝－2＝， ∴an－2n≠0，n∈N*. ∴＝3， ∴数列{an－2n}是首项为，公比为3的等比数列． ∴an－2n＝×3n－1，∴an＝3n－2＋2n. 学科网（北京）股份有限公司 $