第4章 4.2.1 第1课时 等差数列的概念及简单表示（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第4章　4.2　4.2.1　第1课时 [必备知识·基础巩固] 1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差为(　　) A．2　　　　　　　　 B．3 C．－2 D．－3 解析　∵an＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)， ∴d＝－2，故选C． 答案　C 2．(2025·昌吉期末)在等差数列中，an>0，a5＝11，a11＝5，则a1等于(　　) A．－15 B．15 C．25 D．－25 解析　设等差数列的公差为d， 因为a5＝11，a11＝5， 则解得a1＝15，d＝－1. 故选B． 答案　B 3．(2025·天津和平区期末)已知数列为等差数列，a3，a11是方程x2－6x＋8＝0的两个实数根，则a7＝(　　) A．3 B．±3 C．4 D．±4 解析　由题意可得a3＋a11＝2a7＝6，解得a7＝3. 故选A． 答案　A 4．(多选题)下列命题中，正确的是(　　) A．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列 B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列 C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列 D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列 解析　A项中，∵a，b，c为等差数列， ∴2b＝a＋c，∴2·(2b)＝2a＋2c， ∴2a,2b,2c成等差数列，故A正确． C项中，∵a，b，c成等差数列， ∴2b＝a＋c， ∴2·(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)， ∴a＋2，b＋2，c＋2成等差数列，故C正确． 答案　AC 5．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________. 解析　设等差数列{an}的公差为d， 由题意，得 解得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)×2＝2n＋1. ∴a6＝2×6＋1＝13. 答案　13 6．若2，a，b，c,9成等差数列，则c－a＝________. 解析　由题意得该等差数列的公差d＝＝，所以c－a＝2d＝. 答案　 7．在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为________. 解析　因为＝＋，a1＝8， 所以 －＝，＝2， 所以数列{}是以2为首项，为公差的等差数列，所以＝2＋(n－1)×＝(n＋1)，所以an＝2(n＋1)2. 答案　an＝2(n＋1)2 8．已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式． (1)a3＝5，a7＝13； (2)前三项为a,2a－1,3－a. 解析　(1)设首项为a1，公差为d， 则解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)由等差中项公式得2×(2a－1)＝a＋(3－a)，解得a＝，所以等差数列首项为，公差为2a－1－a＝a－1＝－1＝，所以an＝＋(n－1)×＝＋1. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)若一个等差数列的首项a1＝1，末项an＝41(n≥3)，且公差为整数，则项数n的取值可以是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析　由an＝a1＋(n－1)d， 得41＝1＋(n－1)d，解得d＝. 又d为整数，n≥3，则n＝3,5,6,9,11,21,41. 故选AD． 答案　AD 10．已知数列{an}中，a3＝2，a5＝1，若是等差数列，则a11等于(　　) A．0 B． C． D． 解析　∵＝，＝， 设数列的公差为d， 则解得 ∴＝＋(n－1)·， ∴＝＋＝＝1，∴a11＝0. 答案　A 11．△ABC的三内角A，B，C成等差数列，且A－C＝40°，则A＝________. 解析　∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A＋C． 又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°，A＋C＝120°. 又A－C＝40°，∴A＝80°. 答案　80° 12．数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n，则实数a＝________. 解析　∵{an}是等差数列，∴an＋1－an＝常数． ∴[a(n＋1)2＋(n＋1)]－(an2＋n)＝2an＋a＋1＝常数．∴2a＝0，∴a＝0. 答案　0 13．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2，且∈N*)． (1)求a2，a3； (2)证明：数列是等差数列； (3)求数列{an}的通项公式an. (1)解析　a2＝2a1＋22＝6，a3＝2a2＋23＝20. (2)证明　∵an＝2an－1＋2n(n≥2，且n∈N*)， ∴＝＋1(n≥2，且n∈N*)， 即－＝1(n≥2，且n∈N*)， ∴数列是首项为＝，公差d＝1的等差数列． (3)解析　由(2)，得＝＋(n－1)×1＝n－，∴an＝·2n. [核心素养·探索创新] 14．(多选题)在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{an}为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有(　　) A．若{an}是等方差数列，则{a}是等差数列 B．数列{(－1)n}是等方差数列 C．若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，则数列{an}一定是常数列 D．若数列{an}是等方差数列，则数列{akn}(n∈N*，k为常数)不是等方差数列 解析　根据等方差数列的定义易知A正确；因为(－1)2n－(－1)2(n－1)＝0，所以数列{(－1)n}是等方差数列，B正确； 若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，设公差为d，则a－a＝(an－an－1)·(an＋an－1)＝d[2a1＋(2n－3)d]＝2a1d＋(2n－3)d2＝p. 又p为常数，所以d＝0，C正确； 若数列{an}是等方差数列，则a－a＝p， a－a＝(a－a)＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝kp为常数，D错误． 答案　ABC 15．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2, … )，λ是常数． (1)当a2＝－1时，求λ及a3的值； (2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ值及数列 {an}的通项公式；若不存在，请说明理由． 解析　(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)， 且a1＝1. 所以当a2＝－1时， 得－1＝2－λ，故λ＝3. 从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3. (2)数列 {an}不可能为等差数列， 理由如下： 由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an， 得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)， a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)． 若存在λ，使{an}为等差数列， 则a3－a2＝a2－a1， 即(5－λ)(2－λ)＝1－λ， 解得λ＝3. 于是a2－a1＝1－λ＝－2， a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24. 这与{an}为等差数列矛盾．所以，不存在λ使{an}是等差数列． 学科网（北京）股份有限公司 $