第4章 4.1 第2课时 数列的递推公式与数列的和（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第4章　4.1　第2课时 [必备知识·基础巩固] 1．(多选题)已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，那么(　　) A．30是数列{an}的一项 B．45是数列{an}的一项 C．66是数列{an}的一项 D．90是数列{an}的一项 解析　分别令2n2－n的值为30,45,66,90，可知只有当2n2－n＝45时，n＝5；当2n2－n＝66时，n＝6，故45,66是数列{an}的一项． 答案　BC 2．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为(　　) A．5　　　 B．6　　　 C．7　　　 D．8 解析　因为a1＝2，an＋1＝an＋n， 所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3， a3＝a2＋2＝3＋2＝5， a4＝a3＋3＝5＋3＝8. 答案　D 3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于(　　) A．36　　 B．35 C．34　　 D．33 解析　a2＝S2－S1＝(22－2×2)－(12－2×1)＝1， a18＝S18－S17＝182－2×18－(172－2×17)＝33. ∴a2＋a18＝34. 答案　C 4．(多选题)已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，则下列说法正确的是(　　) A．a1＝3 B．an＝2n(n≥2) C．an＝2n D．an＝2n(n≥2) 解析　Sn＝2n＋1－1， 当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3； 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n. 当n＝1时，不符合上式，故an＝ 答案　AD 5．数列{an}中，a1＝2，an＝an＋1－3，则14是{an}的第________项． 解析　a1＝2，a2＝a1＋3＝5，a3＝a2＋3＝8，a4＝a3＋3＝11，a5＝a4＋3＝14. 答案　5 6．黑、白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖________块． 解析　第1个图案中有白色地面砖6块，第2个图案中有白色地面砖10块，第3个图案中有白色地面砖14块，…，后一个图案总比前一个图案多4块白色地面砖，从而第n个图案中有4n＋2块白色地面砖． 答案　4n＋2 7．已知在数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N*)，则a9＝________. 解析　a1a2…a8＝82，　① a1a2…a9＝92，　② 由①②得a9＝＝. 答案　 8．已知数列{an}的第1项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项． 解析　∵a1＝1，an＋1＝，∴a2＝＝， a3＝＝＝，a4＝＝＝， a5＝＝＝. 故该数列的前5项为1，，，，. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则下列是数列{an}的项的是(　　) A．－1 B． C．1 D．2 解析　因为数列{an}满足an＋1＝， 且a1＝，则a2＝＝＝2， a3＝＝＝－1， a4＝＝＝，…， 以此类推可知，an＋3＝an.故选ABD． 答案　ABD 10．(2025·武汉期末)数列满足a1＝，an＋1＝(n＝1,2,3，…)，则a1＋a2＋a3＋…＋a2024＋a2025＝(　　) A．2024 B．2025 C．2024＋ D．2024－ 解析　因为a1＝，an＋1＝(n＝1,2,3，…)， 所以a2＝＝2＋，a3＝＝－，a4＝＝2－，a5＝＝＝a1，a6＝＝2＋，… 则该数列的周期为4， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a2024＋a2025 ＝506＋a1 ＝506×(＋2＋－＋2－)＋ ＝2024＋. 故选C． 答案　C 11．根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点． 解析　观察图形可知，第n个图有n个分支，每个分支上有(n－1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n(n－1)＋1＝n2－n＋1个点． 答案　n2－n＋1 12．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝________. 解析　法一(累乘法) 把(n＋1)a－na＋an＋1an＝0分解因式， 得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0. ∵an>0，∴an＋1＋an>0， ∴(n＋1)an＋1－nan＝0， ∴＝， ∴···…· ＝×××…×＝(n≥2)， ∴＝. 又∵a1＝1，∴an＝a1＝. 又a1＝1也适合上式， ∴an＝，n∈N*. 法二(迭代法) 同方法一，得＝， ∴an＋1＝an， ∴an＝·an－1＝··an－2 ＝···an－3 … ＝···…·a1＝a1. 又∵a1＝1，∴an＝. 法三(构造特殊数列法) 同方法一，得＝， ∴(n＋1)an＋1＝nan，∴数列{nan}是常数列， ∴nan＝1·a1＝1，∴an＝(n∈N*)． 答案　 13．数列{an}满足a1＝1，an＋1＋2anan＋1－an＝0. (1)写出数列的前5项； (2)由(1)写出数列{an}的一个通项公式． 解析　(1)由已知可得a1＝1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝. (2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1,3,5,7,9，…，所以它的一个通项公式为an＝. [核心素养·探索创新] 14．(2025·杭州期末)我们把由0和1组成的数列称为0－1数列，0－1数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列(F1＝F2＝1，Fn＋2＝Fn＋Fn＋1)中的奇数换成0，偶数换成1可得到0－1数列，若数列的前n项和为Sn，且Sk＝10，则k的值可能是(　　) A．35 B．32 C．29 D．26 解析　斐波那契数列中的项如下表： n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … Fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 … 由题意可得数列中的项如下表： n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … an 0 0 1 0 0 1 0 0 1 … 所以数列的最小正周期为3，一个周期内三项的和为1， 由Sk＝10，则×3>k≥×3，解得30≤k<33. 故选B． 答案　B 15．已知数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2)，求数列{an}的通项公式． 解析　∵anan－1＝an－1－an，∴－＝1. ∴＝＋＋＋…＋＝2＋＝n＋1. ∴＝n＋1，∴an＝(n≥2)． 又∵n＝1时，a1＝，符合上式，∴an＝. 学科网（北京）股份有限公司 $