4.1第2课时数列的单调性和周期性以及数列的递推公式同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第2课时　数列的单调性和周期性以及数列的递推公式 基础巩固 1.已知数列{an}满足an＝4an－1＋3（n≥2，n∈N*），且a1＝0，则此数列的第5项是（ ） A.15 B.255 C.16 D.63 2.数列，－，，－，…的第n项an与第n＋1项an＋1的关系是（ ） A.an＋1＝2an B.an＋1＝－2an C.an＋1＝an D.an＋1＝－an 3.已知数列{an}满足an＝＋1（n≥2，n∈N*），若a4＝，则a1等于（ ） A.1 B. C.2 D. 4.已知数列{an}的前n项和Sn＝kn2＋2n，a5＝11，则实数k的值为（ ） A.2 B.－2 C.1 D.－1 5.（多选）下列数列中，为递增数列的是（ ） A.an＝ B.an＝－ C.an＝n2－3n D.an＝2n＋ 6.下列给出的图形中，的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（ ） A.an＋1＝an＋n，n∈N* B.an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2 C.an＋1＝an＋（n＋1），n∈N*，n≥2 D.an＝an－1＋（n－1），n∈N*，n≥2 7.在数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝ . 8.已知数列{an}中，a1a2…an＝n2（n∈N*），则a9＝ . 9.已知数列{an}满足an＋1－an＝n＋2（n∈N*），且a1＝1. （1）求a2，a3，a4的值； （2）令bn＝4an－68n，求数列{bn}的前4项. 10.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－n＋2. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn＝an＋100n－2n，求数列{bn}的最大项是该数列的第几项. 综合运用 11.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，n∈N*，则a2 024等于（ ） A.－2 B.－1 C.1 D.2 12.在数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－，则a2 024等于（ ） A. B.－1 C.2 D.3 13.设an＝＋＋＋…＋（n∈N*），那么an＋1－an等于（ ） A. B. C.＋ D.－ 拔高拓展 14.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，满足an＋2＝an＋1＋an（n≥1），那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022等于（ ） A.a2 021 B.a2 022 C.a2 023 D.a2 024 15.（多选）已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝1，am＋n＝aman，则下列结论正确的是（ ） A.a2 024＝1 B.a2 023＝1 C.若S2 024＝2 024，则a1＝1 D.若S2 023＝－1，则a1＝－1 解析 1.已知数列{an}满足an＝4an－1＋3（n≥2，n∈N*），且a1＝0，则此数列的第5项是（　B　） A.15 B.255 C.16 D.63 解析：∵an＝4an－1＋3，a1＝0，∴a2＝4×0＋3＝3，a3＝4×3＋3＝15，a4＝4×15＋3＝63，a5＝4×63＋3＝255. 2.数列，－，，－，…的第n项an与第n＋1项an＋1的关系是（　D　） A.an＋1＝2an B.an＋1＝－2an C.an＋1＝an D.an＋1＝－an 3.已知数列{an}满足an＝＋1（n≥2，n∈N*），若a4＝，则a1等于（　A　） A.1 B. C.2 D. 解析：∵a4＝，a4＝＋1，∴a3＝， 又∵a3＝＋1，∴a2＝2， 又∵a2＝＋1，∴a1＝1. 4.已知数列{an}的前n项和Sn＝kn2＋2n，a5＝11，则实数k的值为（　C　） A.2 B.－2 C.1 D.－1 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋2，所以a5＝10k－k＋2＝11，解得k＝1. 5.（多选）下列数列中，为递增数列的是（　AD　） A.an＝ B.an＝－ C.an＝n2－3n D.an＝2n＋ 解析：对于A，an＋1－an＝－＝＝＞0，所以an＋1＞an，所以{an}为递增数列，故A正确； 对于B，an＝－＝，所以{an}为递减数列，故B错误； 对于C，因为an＝n2－3n，所以a1＝－2，a2＝－2，所以{an}不单调，故C错误； 对于D，an＋1－an＝2n＋1＋－2n－＝2n－＞0，所以an＋1＞an，所以{an}为递增数列，故D正确. 故选AD. 6.下列给出的图形中，的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（　B　） A.an＋1＝an＋n，n∈N* B.an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2 C.an＋1＝an＋（n＋1），n∈N*，n≥2 D.an＝an－1＋（n－1），n∈N*，n≥2 解析：结合图形易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4，∴an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2. 7.在数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝　19　. 解析：a3＝a2＋a1＝5＋2＝7， a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19. 8.已知数列{an}中，a1a2…an＝n2（n∈N*），则a9＝　　. 解析：a1a2…a8＝82，① a1a2…a9＝92，② ②÷①得，a9＝＝. 9.已知数列{an}满足an＋1－an＝n＋2（n∈N*），且a1＝1. （1）求a2，a3，a4的值； 解：（1）因为an＋1－an＝n＋2，且a1＝1， 所以a2＝4，a3＝8，a4＝13. （2）令bn＝4an－68n，求数列{bn}的前4项. 解：（2）b1＝4a1－68×1＝4×1－68×1＝－64， b2＝4a2－68×2＝4×4－68×2＝－120， b3＝4a3－68×3＝4×8－68×3＝－172， b4＝4a4－68×4＝4×13－68×4＝－220. 10.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－n＋2. （1）求数列{an}的通项公式； 解：（1）当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n2－n＋2）－（2n2－5n＋5）＝4n－3， 当n＝1时，a1＝S1＝3，不满足上式，故数列{an}的通项公式为an＝ （2）若bn＝an＋100n－2n，求数列{bn}的最大项是该数列的第几项. 解：（2）由已知得b1＝3＋100－2＝101， 当n≥2时，bn＝an＋100n－2n＝4n－3＋100n－2n＝104n－3－2n，令n∈N*，n≥2， 即n∈N*，n≥2， 得n∈N*，n≥2，即n＝7， 所以当n≥2时，{bn}的最大项为第7项， 又b7＝104×7－3－27＝597＞b1， 所以数列{bn}的最大项是该数列的第7项. 综合运用 11.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，n∈N*，则a2 024等于（　D　） A.－2 B.－1 C.1 D.2 解析：∵a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1， ∴a3＝1－a1－a2＝1－1－2＝－2， a4＝1－a3－a2＝1－（－2）－2＝1， a5＝1－a4－a3＝1－1－（－2）＝2， …， 依次类推，可得数列{an}是一个周期为3的周期数列，∴a2 024＝a674×3＋2＝a2＝2. 12.在数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－，则a2 024等于（　B　） A. B.－1 C.2 D.3 解析：由题意得，a2＝1－＝－1， a3＝1－＝2， a4＝1－＝＝a1， a5＝1－＝－1＝a2， a6＝1－＝2＝a3，…， 所以数列{an}是一个周期为3的周期数列， 故a2 024＝a3×674＋2＝a2＝－1. 13.设an＝＋＋＋…＋（n∈N*），那么an＋1－an等于（　D　） A. B. C.＋ D.－ 解析：∵an＝＋＋＋…＋， ∴an＋1＝＋＋…＋＋＋， ∴an＋1－an＝＋－ ＝－. 拔高拓展 14.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，满足an＋2＝an＋1＋an（n≥1），那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022等于（　C　） A.a2 021 B.a2 022 C.a2 023 D.a2 024 解析：由于an＋2＝an＋1＋an（n≥1），a1＝1， 故1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a3＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a5＋a6＋…＋a2 022＝a2 021＋a2 022＝a2 023. 15.（多选）已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝1，am＋n＝aman，则下列结论正确的是（　ACD　） A.a2 024＝1 B.a2 023＝1 C.若S2 024＝2 024，则a1＝1 D.若S2 023＝－1，则a1＝－1 解析：在数列{an}中，a2＝1，am＋n＝aman，令m＝n＝1，得＝a2＝1，解得a1＝±1，令m＝2，则an＋2＝ana2＝an，因此a2 024＝a2＝1，a2 023＝a1＝±1，A正确，B错误； 显然a2n＝1，a2n－1＝a1，则S2 024＝1 012a1＋1 012a2＝1 012a1＋1 012＝2 024，解得a1＝1，C正确； S2 023＝1 012a1＋1 011a2＝1 012a1＋1 011＝－1，解得a1＝－1，D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $