第5章 5.2.1 基本初等函数的导数（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦基本初等函数的导数这一核心知识点，从导数定义出发，通过推导常数函数、幂函数（y=x,y=x²等）的导数，归纳出幂函数导数规律，进而形成完整的基本初等函数导数公式表，为后续导数运算学习搭建基础支架。 资料以问题驱动式导学培养数学思维，通过定义推导提升逻辑推理能力，结合判断正误、分层例题及变式题强化数学运算素养。课中助力教师引导学生自主构建公式，课后练习题与知识总结帮助学生巩固公式应用，有效查漏补缺。

5.2　导数的运算 5.2.1　基本初等函数的导数 学业标准 素养目标 1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数(难点)． 2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用(重点). 1．通过常用导数的推导的学习，培养数学运算等核心素养． 2．借助基本初等函数的导数的计算，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. 导学　基本初等函数的导数公式 已知函数：(1)y＝f(x)＝c；(2)y＝f(x)＝x；(3)y＝f(x)＝x2；(4)y＝f(x)＝；(5)y＝f(x)＝. 　函数y＝f(x)＝c的导数是什么？ [提示]　∵＝＝＝0， ∴y′＝ ＝0. 　函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？ [提示]　由导数的定义得(2)x′＝1，(3)(x2)′＝2x，(4)′＝－，(5)()′＝. 　函数(2)(3)(5)均可表示为y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？ [提示]　∵(2)x′＝1·x1－1，(3)(x2)′＝2·x2－1， (5)()′＝(x)′＝x－1＝， ∴(xα)′＝αxα－1. ◎结论形成 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax f′(x)＝axln_a(a>0，且a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝(a>0，且a≠1) f(x)＝ln x f′(x)＝ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)′＝cos .(　　) (2)因为(ln x)′＝，所以′＝ln x．(　　) (3)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．(　　) (4)函数f(x)图象上在某点处可能存在两条切线．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 答案　C 3．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于(　　) A． B．10 C．10ln 10 D． 答案　C 4．(2025·泰州期末)已知函数f(x)＝sin x，则f′＝(　　) A．－ B． C． D． 解析　由题设f′(x)＝cos x，则f′＝cos ＝. 故选C． 答案　C [对应学生用书P54] 题型一　利用导数公式求函数的导数 　[教材例1·提升]求下列函数的导数． (1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝； (4)y＝3x；(5)y＝log5x. [解析]　(1)y′＝(x12)′＝12x11； (2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－； (3)y′＝()′＝′＝x－； (4)y′＝(3x)′＝3xln 3； (5)y′＝(log5x)′＝. 1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解． 2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误． 3．要特别注意“与ln x”“ax与logax”“sin x与cos x”的导数区别．　 [触类旁通] 1．若f(x)＝x3，g(x)＝log3x, 则f′(x)－g′(x)＝________. 解析　∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝， ∴f′(x)－g′(x)＝3x2－. 答案　3x2－ 题型二　求函数在某点处的导数 　质点的运动方程是s＝sin t. (1)求质点在t＝时的速度； (2)求质点运动的加速度． [解析]　(1)v(t)＝s′(t)＝cos t， ∴v＝cos ＝. 即质点在t＝时的速度为. (2)∵v(t)＝cos t， ∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t. 1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数． 2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．　 [触类旁通] 2．(1)求函数f(x)＝在点(1,1)处的导数； (2)求函数f(x)＝cos x在点处的导数． 解析　(1)∵f′(x)＝′＝(x－)′＝－x－＝－，∴f′(1)＝－＝－. (2)∵f′(x)＝－sin x， ∴f′＝－sin ＝－. 题型三　利用导数公式求曲线的切线方程 (一题多变) 　已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程． [解析]　因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0， 又因为直线PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于直线PQ， 所以k＝2x0＝1，即x0＝， 所以切点为M. 所以所求的切线方程为y－＝x－， 即4x－4y－1＝0. [母题变式] (变结论)在本例中是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，请说明理由． 解析　假设存在与直线PQ垂直的切线， 因为PQ的斜率为k＝＝1， 所以与PQ垂直的切线斜率k′＝－1， 设切点为(x′0，y′0)，则y′|x＝x′0＝2x′0， 令2x′0＝－1， 则x′0＝－，y′0＝， 切线方程为y－＝－， 即4x＋4y＋1＝0. [素养聚焦] 通过利用导数求曲线的切线方程问题，把逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 求曲线方程或切线方程的三点注意 (1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程． (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率． (3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．　 [触类旁通] 3．已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，求c的值． 解析　设切点为(x0，ln x0)， 由y＝ln x得y′＝. 因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线为x－y＋c＝0，其斜率为1. 所以y′|x＝x0＝＝1，即x0＝1， 所以切点为(1,0)． 所以1－0＋c＝0，所以c＝－1. 知识落实 技法强化 (1)常用函数的导数． (2)基本初等函数的导数公式及应用． (3)利用导数研究曲线的切线方程. (1)牢记和运用好导数公式．能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． (2)有些函数可先化简再应用公式求导. 学科网（北京）股份有限公司 $