第5章 一元函数的导数及其应用 章末整合提升（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

该高中数学讲义以“概念梳理-应用解析-综合拓展”为主线构建导数单元知识体系，通过定义阐释、例题解析及极值判断表格等工具，系统呈现导数几何意义、单调性、极值最值及综合应用的脉络，突出知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层例题设计，从基础的奇函数切线方程求解，到中档的单调性参数讨论，再到综合的恒成立问题探究，融入数学思维与数学语言培养。极值判断表格辅助学生直观理解，助力分层教学，为教师精准复习提供有效支持。

(一) 导数的几何意义 1．导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率． 2．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)·(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点． 　设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　) A．y＝－2x　　　　　　　 B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x [解析]　法一　因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝ －[x3＋(a－1)x2＋ax]， 所以2(a－1)x2＝0，又因为x∈R， 所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x， 所以f′(x)＝3x2＋1， 所以f′(0)＝1， 所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x. 故选D． 法二　因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数， 所以f(－1)＋f(1)＝0， 所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0， 解得a＝1，经检验，a＝1满足题意， 所以f(x)＝x3＋x， 所以f′(x)＝3x2＋1， 所以f′(0)＝1， 所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x. 故选D． [答案]　D (二) 函数的单调性与导数 借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x，ex，－x3等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点．其特点是导数f′(x)的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体． 　已知函数f(x)＝－2x2＋ln x，其中a为常数且a≠0. (1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围． [解析]　(1)当a＝1时，f(x)＝3x－2x2＋ln x，其定义域为(0，＋∞)， 则f′(x)＝－4x＋3＝＝(x>0)， 当x∈(0,1)时，f′(x)>0，故函数f(x)在区间(0,1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，故函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减． 所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (2)由题意得f′(x)＝－4x＋(x>0)， 因为函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数， 所以在区间[1,2]上，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立， 即－4x＋≥0或－4x＋≤0在x∈[1,2]时恒成立， 即≥4x－或≤4x－(1≤x≤2)， 即≥max或≤min， 其中1≤x≤2. 令h(x)＝4x－(1≤x≤2)，易知函数h(x)在区间[1,2]上单调递增， 故h(1)≤h(x)≤h(2)． 所以≥h(2)或≤h(1)， 即≥4×2－＝或≤4×1－＝3， 解得a<0或0<a≤或a≥1. 故a的取值范围为(－∞，0)∪∪[1，＋∞)． (三) 函数的极值、最值与导数 1．极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质．另函数有极值未必有最值，反之亦然． 2．判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则： (1)确定函数f(x)的定义域． (2)解方程f′(x)＝0的根． (3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号： 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值． 注意：导数的零点未必是极值点，这一点是解题时的主要失分点，学习时务必引起注意． 3．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f(x)在区间(a，b)内的极值． (2)将(1)求得的极值与f(a)，f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值． 　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)在区间[0，t](0＜t＜3)上的最大值和最小值． [解析]　(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a， 即3＋2a＝－3，a＝－3. 又函数图象过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2. f(x)＝x3－3x2＋2. (2)由f(x)＝x3－3x2＋2， 得f′(x)＝3x2－6x. 由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. ①当0＜t≤2时，在区间(0，t)上，f′(x)＜0，f(x)在区间[0，t]上是减函数， 所以f(x)max＝f(0)＝2， f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2. ②当2＜t＜3时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x 0 (0,2) 2 (2，t) t f′(x) 0 － 0 ＋ 3t2－6t f(x) 2 单调递减 －2 单调递增 t3－3t2＋2 f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个． f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)＜0， 所以f(x)max＝f(0)＝2. (四) 导数的综合应用(题点多探、多维探究) 1．解决恒成立问题的方法 (1)若关于x的不等式f(x)≤m在区间D上恒成立，则转化为f(x)max≤m. (2)若关于x的不等式f(x)≥m在区间D上恒成立，则转化为f(x)min≥m. (3)导数是解决函数f(x)的最大值或最小值问题的有力工具． 2．解决优化问题的步骤 (1)首先要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域． (2)其次要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． (3)最后验证数学问题的解是否满足实际意义． 角度1　恒成立问题[规范答题] 　(15分)(2025·邯郸期末)已知函数f＝ln x－ax2. (1)当a＝1时，求f的图象在点处的切线方程； (2)若∀x∈，f<0，求实数a的取值范围． [思维导引] 明知求 求切线方程及利用导数研究恒成立问题 探思路 对参数进行分类讨论 [规范解答]　(1)当a＝1时，f＝ln x－x2，f′＝－2x，2分 f＝ln 1－12＝－1，f′＝－2×1＝－1， 所以f的图象在点处的切线方程为y＋1＝－，即x＋y＝0.5分 (2)f＝ln x－ax2(x>0)，则f′＝－2ax＝，6分 当a≤0时，f′>0，即f在上单调递增.7分 当x＝1时，f＝－a>0，与题意不符.8分 当a>0时，x∈时，f′>0， f在上单调递增；11分 当x∈时，f′<0， f在上单调递减.12分 当x＝时，f取得最大值， 且f(x)max＝f＝－ln－. 由题意可得fmax<0，即－ln (2a)－<0，解得a>.14分 即实数a的取值范围为.15分 角度2　导数在实际问题中的应用 　某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：m)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为 m3.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3万元，半球体部分每平方米建造费用为4万元．设该容器的总建造费用为y万元． (1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域； (2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最少，并求出最少建造费用． [解析]　(1)由题意可知＋πr2l＝， ∴l＝－. 又圆柱的侧面积为2πrl＝－， 两端两个半球的表面积之和为4πr2. 所以y＝×3＋4πr2×4 ＝＋8πr2. 又l＝－＞0⇒r＜2， 所以定义域为. (2)因为y′＝－＋16πr＝， 所以令y′＞0，得2＜r＜2； 令y′＜0，得0＜r＜2. 所以当r＝2 m时，该容器的建造费用最少，为96π万元，此时l＝ m. 学科网（北京）股份有限公司 $