第5章 5.1.2 第2课时 导数的几何意义（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦导数的几何意义核心知识点，前承平均变化率的几何意义（割线斜率），通过Δx→0时割线到切线的动态转化，定义曲线在某点处的切线，明确导数f′(x0)即切线斜率，导函数f′(x)为斜率随x变化的函数，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以问题链导学（如“Δx变化时直线如何变化”）引导学生用数学眼光观察动态过程，通过题型分类（求切线方程、切点坐标等）和一题多变（如切线与曲线公共点讨论）培养逻辑推理的数学思维，步骤化解析与符号表达（如f′(x0)的应用）强化数学语言。课中助力教师引导探究，课后练习题与总结助学生查漏补缺，巩固知识。

第2课时　导数的几何意义 导学1　导数的几何意义 　函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δ x]的平均变化率为，你能说出它的几何意义吗？ [提示]　表示过P0(x0，f(x0))和P(x0＋Δ x，f(x0＋Δ x))两点的割线P0P的斜率． 　当Δ x变化时，直线如何变化？ [提示]　直线P0P绕点P转动． 　当Δ x→0时，直线变化到哪里？ [提示]　直线过点P与曲线y＝f(x)相切位置． ◎结论形成 1．切线的定义 如图，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线． 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线的斜率. 导学2　导数 对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0) 是一个唯一确定的数．当x变化时，f′(x) 就是x的一个函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ . 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数．(　　) (2)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．(　　) (3)函数f(x)＝0没有导函数．(　　) (4)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为(　　) A．4　　　　　　　　 B．16 C．8 D．2 答案　C 3．已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 解析　由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)<f′(xB)，故选B． 答案　B 4．曲线y＝在点P(1,1)处的切线方程为________. 答案　x＋y－2＝0 题型一　求曲线在某点处切线的方程 (一题多变) 　已知曲线C：y＝x3.求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程． [解析]　将x＝1代入曲线C的方程得y＝1， ∴切点P(1,1)． ∴y′＝ ＝ ＝ [3＋3Δ x＋(Δ x)2]＝3. ∴k＝3. ∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为 y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0. [母题变式] (变结论)例题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？ 解析　由 解得或 从而求得公共点为P(1,1)或M(－2，－8)， 即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)． 1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 (1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)． (2)写出切线方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)． [注意]　若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为，此时所求的切线平行于y轴，所以直线的切线方程为x＝x0. 2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个　 [触类旁通] 1．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________. 解析　∵切线的斜率为k＝－1. ∴点A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋y－3＝0. 答案　x＋y－3＝0 题型二　求切点坐标 　已知曲线f(x)＝x2＋6在点P处的切线平行于直线4x－y－3＝0，求点P的坐标． [解析]　设切点P的坐标为(x0，y0)． f′(x)＝ ＝ ＝ (2x＋Δ x) ＝2x. 所以点P在(x0，y0)处的切线的斜率为2x0. 因为切线与直线4x－y－3＝0平行， 所以2x0＝4，x0＝2，y0＝x＋6＝10，即切点为(2,10)． 求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0)． (2)求导函数f′(x)． (3)求切线的斜率f′(x0)． (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0. (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标．　 [触类旁通] 2．若抛物线y＝4x2上的点P到直线y＝4x－5的距离最短，则点P的坐标为________. 解析　由点P到直线y＝4x－5的距离最短知，抛物线y＝4x2在点P处的切线与直线y＝4x－5平行． y′＝ ＝ ＝ (8x＋4Δ x)＝8x. 由得 故点P的坐标为. 答案　 题型三　求曲线过某点的切线方程 　已知曲线f(x)＝. (1)求曲线过点A(1,0)的切线方程； (2)求满足斜率为－的曲线的切线方程． [解析]　(1)f′(x)＝ ＝－＝－. 设过点A(1,0)的切线的切点为P， 则f′(x0)＝－， 即该切线的斜率为k＝－. 因为点A(1,0)，P在切线上， 所以＝－， 解得x0＝.故切线的斜率k＝－4. 故曲线过点A(1,0)的切线方程为y＝－4(x－1)， 即4x＋y－4＝0. (2)设斜率为－的切线的切点为Q， 由(1)知，k＝f′(a)＝－＝－，得a＝±. 所以切点坐标为或. 故满足斜率为－的曲线的切线方程为 y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)， 即x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0. [素养聚焦] 利用“在切点”与“过切点”的切线方程的求解，把逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 1．注意区分“在点A”与“过点A”，“过点A”其切点未必是点P. 2．“过点A(a，b)”时，设出切点坐标M(x0，y0)，利用切点M既在曲线上，又在切线上，联立方程组，即求出切点M.　 [触类旁通] 3．求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1,0)的切线方程． 解析　设切点为Q(a，a2＋1)， ＝＝2a＋Δ x， 所以所求切线的斜率为k＝li (2a＋Δ x)＝2a. 因此，＝2a， 解得a＝1±， 所求的切线方程为y＝(2＋2)x－(2＋2)或y＝(2－2)x－(2－2)． 知识落实 技法强化 (1)导数的几何意义． (2)求曲线在某点处的切线方程和切点坐标． (3)求曲线过某点的切线方程. 利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，或利用已知直线上两点坐标的斜率公式，求出切点. 学科网（北京）股份有限公司 $