5.1.2 第2课时 导数的几何意义 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教A版）

5.1.2 第2课时 导数的几何意义 [课时跟踪检测] 1.函数f(x)在x=x0处导数f'(x0)的几何意义是 (　　) A.在点x=x0处的斜率 B.在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角正切值 C.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率 D.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)) 处的切线的斜率 解析:选D　f'(x0)的几何意义是在切点(x0,f(x0))处的切线斜率.故选D. 2.若曲线y=h(x)在点P(a,h(a))处的切线方程为2x+y+1=0,则 (　　) A.h'(a)=0 B.h'(a)<0 C.h'(a)>0 D.h'(a)不确定 解析:选B　由2x+y+1=0,得y=-2x-1.由导数的几何意义知,h'(a)=-2<0. 3.已知函数f(x)满足f'(x1)>0,f'(x2)<0,则在x=x1和x=x2附近符合条件的f(x)的图象大致是 (　　) 解析:选D　由f'(x1)>0,f'(x2)<0可知,f(x)的图象在x=x1处切线的斜率为正,在x=x2处切线的斜率为负. 4.函数y=(x-1)2的导数是 (　　) A.-2 B.(x-1)2 C.2(x-1) D.2(1-x) 解析:选C　y'= = = =2x-2=2(x-1). 5.已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设=a,则下列不等式正确的是 (　　) A.a<f'(2)<f'(4) B.f'(2)<a<f'(4) C.f'(4)<f'(2)<a D.f'(2)<f'(4)<a 解析:选B　由题图可知,在[2,4]上,函数增长的越来越快,故函数图象的切线斜率越来越大,而(2,f(2)),(4,f(4))两点连线的斜率为,其大小在点(2,f(2))处的切线斜率f'(2)与点(4,f(4))处的切线斜率f'(4)之间,所以f'(2)<a<f'(4). 6.若曲线y=x+上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值范围是 (　　) A.(-∞,-1) B.(-1,1) C.(-∞,1) D.(1,+∞) 解析:选C　y=x+上任意一点P(x0,y0)处的切线斜率k=y'===1-<1.即k<1. 7.(5分)已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x-y-2=0平行,则y'|x=2=　　　　.  解析:因为直线3x-y-2=0的斜率为3,所以由导数的几何意义可知y'=3. 答案:3 8.(5分)过正弦曲线y=sin x上点的切线与y=sin x的图象的交点个数为　　　　　个.  解析:由题意,y=f(x)=sin x,则f'= =.当Δx→0时,cos Δx→1,则f'=0,曲线y=sin x的切线方程为y=1,且与y=sin x的图象有无数个交点. 答案:无数 9.(5分)已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则=　　　　.  解析:∵f'(1)=2,又==(aΔx+2a)=2a,∴2a=2,∴a=1. 又f(1)=a+b=3,∴b=2,∴=2. 答案:2 10.(5分)函数y=在x=1处的导数为　　　.  解析:作出函数y=的图象如图.由导数的几何意义可知,函数y=在x=1处的导数即为半圆在点P(1,)处的切线的斜率.所以kl= -=-=-. 答案:- 11.(5分)若点P是抛物线y=2x2+1上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为　　　　.  解析:由题意知,当点P到直线y=x-2的距离最小时,点P为抛物线y=2x2+1的一条切线的切点,且该切线平行于直线y=x-2.设y=f(x)=2x2+1.由导数的几何意义知y'=f'(x)==4x=1,解得x=,∴P,故点P到直线y=x-2的最小距离d==. 答案: 12.(10分)已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1,1),Q(2,-1),且在点Q处与直线y=x-3相切,求实数a,b,c的值. 解:∵曲线y=ax2+bx+c过点P(1,1),∴a+b+c=1.① ∵y'== = =(2ax+b+aΔx)=2ax+b, ∴y'|x=2=4a+b,∴4a+b=1.② 又曲线过Q(2,-1)点,∴4a+2b+c=-1,③ 联立①②③解得a=3,b=-11,c=9. 13.(10分)试求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程. 解:设所求切线的切点为A(x0,y0), 则f'(x0)===2x0. ∵点A在曲线y=x2上,∴y0=, 又∵A是切点,∴过点A的切线的斜率k=2x0, ∵所求切线过P(3,5)和A(x0,y0)两点, ∴其斜率为=. ∴2x0=,解得x0=1或x0=5. 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25). 当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2. 当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10. ∴所求的切线有两条,方程分别为y-1=2(x-1)和y-25=10(x-5),即y=2x-1和y=10x-25. 14.(10分)已知曲线y=x2+1,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由. 解:∵==2x+Δx, ∴y'==(2x+Δx)=2x.设切点为P(x0,y0),则切线的斜率为k=y'=2x0,由点斜式可得所求切线方程为y-y0=2x0(x-x0). 又∵切线过点(1,a),且y0=+1,∴a-(+1)=2x0(1-x0),即-2x0+a-1=0.∵切线有两条,∴Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2. 故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,a的取值范围是(-∞,2). 学科网（北京）股份有限公司 $