第5章 5.1.2 第1课时 导数的概念（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦导数的概念这一核心知识点，以平均变化率（函数y=f(x)的Δy/Δx）为起点，通过Δx趋近于0引导学生理解瞬时变化率，进而构建导数定义，形成“平均变化率—瞬时变化率—导数定义”的递进式学习支架，衔接函数变化率基础与后续导数应用。 资料以实例驱动概念生成，如通过函数y=8-3x²和航天飞机高度问题，培养学生用数学眼光观察现实世界。结合定义推导（如求f(x)=-x²+x在x=-1处的导数）提升数学运算能力，变式训练（如极限式转化）强化逻辑推理。课中例题与母题变式助力分层教学，课后练习题与知识落实板块帮助学生巩固定义应用，有效查漏补缺。

5.1.2　导数的概念及其几何意义 学业标准 素养目标 1．了解导数概念的实际背景． 2．掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数．(重点) 3．理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程．(重点、难点) 1．通过导数概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助导数的定义求函数在某点处的导数，提升数学运算等核心素养． 3．通过导数的几何意义求切线方程，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. 第1课时　导数的概念 导学1　函数的平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δ x，相应地，函数值y从f(x0)变为f(x0＋Δ x)，这时，x的变化量为Δ x，y的变化量为Δ y＝f(x0＋Δ x)－f(x0). 我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δ x的平均变化率. 导学2　导数的定义 　已知函数y＝8－3x2. (1)试求函数在[1,1＋Δ x]这段时间内的平均变化率． (2)当Δ x趋近于0时，问题(1)中的平均变化率趋近于何值？如何理解这一变化率？ [提示]　(1)＝ ＝－6－3Δ x. (2)当Δ x趋近于0时，趋近于－6.这时的平均变化率即x＝1时的瞬时变化率． ◎结论形成 如果当Δ x→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)曲线上给定一点P，过点P可以作该曲线的无数条割线．(　　) (2)Δ y表示f(x2)－f(x1)，Δ y的值可正可负，也可以为零．(　　) (3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δ x的正、负无关．(　　) (4)若f′(x0)＝1，则 ＝2.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δ x,2＋Δ y)，则的值为(　　) A．4　　　　　　　　 B．4x C．4＋2Δ x2 D．4＋2Δ x 解析　＝＝4＋2Δ x. 答案　D 3．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________. 解析　∵f(x)＝x2， ∴在x＝1处的瞬时变化率是 ＝ ＝ ＝ (2＋Δ x)＝2. 答案　2 4．函数y＝2x＋1在x＝1处的导数为________. 答案　2 题型一　函数在某点处的导数 　[教材例1·提升](1)求函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数； (2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数． [解析]　(1)∵Δ y＝f(－1＋Δ x)－f(－1)＝－(－1＋Δ x)2＋(－1＋Δ x)＋2＝3Δ x－(Δ x)2， ∴＝＝3－Δ x， ∴f′(－1)＝ ＝ (3－Δ x)＝3. (2)∵Δ y＝f(1＋Δ x)－f(1)＝3(1＋Δ x)2－3＝6Δ x＋3(Δ x)2， ∴＝6＋3Δ x， ∴f′(1)＝ ＝ (6＋3Δ x)＝6. 求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤 简称：一差、二比、三极限．　 [触类旁通] 1．利用导数的定义求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数． 解析　Δ y＝3(1＋Δ x)2－2(1＋Δ x)－(3×12－2×1)＝3(Δ x)2＋4Δ x， ∵＝＝3Δ x＋4， ∴y′|x＝1＝ ＝ (3Δ x＋4)＝4. 题型二　导数概念的理解(一题多变) 　 已知函数y＝f(x)在点x0处可导，试求下列各极限的值． (1) ； (2) . [解析]　(1)原式＝lim ＝－ (Δ x→0时，－Δ x→0) ＝－f′(x0)． (2)原式＝ ＝ ＝[f′(x0)＋f′(x0)]＝f′(x0)． [母题变式] (变条件、变结论)若将(1)改为“函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且＝1，求f′(x0)．” 解析　∵ ＝ ＝－3f′(x0)＝1， ∴f′(x0)＝－. 在导数的定义中，Δ x是一个相对的量，当Δ x→0时，kΔ x→0，只要保证f(x＋kΔ x)－f(x)与kΔ x一致，即可将其作为一个整体，利用导数的概念进行求解．　 [触类旁通] 2．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δ x)－f(x0)＝aΔ x＋b(Δ x)2(a，b为常数)，则(　　) A．f′(x)＝a　　　　　 B．f′(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b 解析　因为＝＝a＋bΔ x， 所以f′(x0)＝ ＝ (a＋bΔ x)＝a. 答案　C 题型三　导数的实际意义 　[教材例2·迁移]航天飞机发射后的一段时间内，第t s时的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s. (1)h(0)，h(1)分别表示什么？ (2)求第1 s内高度的平均变化率； (3)求第1 s末高度的瞬时变化率，并说明它的意义． [解析]　(1)h(0)表示航天飞机未发射时的高度，h(1)表示航天飞机发射1 s后的高度． (2)＝＝80(m/s)，即第1 s内高度的平均变化率为80 m/s. (3)h′(1)＝ ＝ ＝ [5(Δ t)2＋45Δ t＋120]＝120， 即第1 s末高度的瞬时变化率为120 m/s. 它说明在第1 s末附近，航天飞机的高度大约以120 m/s的速度增加． [素养聚焦] 利用导数的实际意义，把数学运算、逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 1．平均速度可反映物体在某一段时间内的平均变化状态，而瞬时速度反映物体在某一时刻的运动变化状态，瞬时速度是平均速度当Δ t趋于0时的极限值． 2．已知运动物体在s＝s(t)解析式的前提下才可求某一时刻的瞬时速度．　 [触类旁通] 3．某一运动物体，在x(s)时离开出发点的距离(单位：m)是f(x)＝x3＋x2＋2x. (1)求在第1 s内的平均速度； (2)求在第1 s末的瞬时速度； (3)经过多少时间该物体的运动速度达到14 m/s? 解析　(1)物体在第1 s内的平均变化率(即平均速度)为＝(m/s)． (2)＝ ＝ ＝6＋3Δ x＋(Δ x)2. ＝6， 所以物体在第1 s末的瞬时速度为6 m/s. (3)＝ ＝ ＝2x2＋2x＋2＋(Δ x)2＋2x·Δ x＋Δ x. ＝2x2＋2x＋2， 令2x2＋2x＋2＝14，解得x＝2， 即经过2 s该物体的运动速度达到14 m/s. 知识落实 技法强化 (1)导数的概念． (2)导数定义的直接应用． (3)导数在实际问题中的意义. 在导数的定义中，增量Δ x的形式是多种多样的，但不论Δ x选择哪种形式，Δ y也必须选择相应的形式，利用函数f(x)在点x0处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式. 学科网（北京）股份有限公司 $