第5章 5.3.2 第1课时 函数的极值（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦函数极值这一核心知识点，通过图像观察引导学生发现极值点附近函数值与导数值的关系，进而抽象出极值点、极值的定义，明确极值判定的必要条件与充分条件，构建“概念引入—定义形成—求法步骤—综合应用”的学习支架。 资料以问题链驱动概念生成，如通过图像分析极值点处导数符号规律培养数学抽象，设计求极值、参数取值范围等分层题型提升逻辑推理与数学运算素养。课中助力教师引导学生深化理解，课后通过练习题与变式题帮助学生巩固方法，查漏补缺。

5.3.2　函数的极值与最大(小)值 学业标准 素养目标 1．了解极大值、极小值、最值的概念．(难点) 2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．(重点) 3．会用导数求函数的极值、最值．(重点) 1．通过极值、最值概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助函数极值、最值的求法，提升逻辑推理、数学运算等核心素养. 第1课时　函数的极值 导学1　函数的极值 已知y＝f(x)的图象(如下图)． 　函数y＝f(x)在b，c，d，e点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ [提示]　在b，d点的函数值是这两个点附近的函数值中最大的，而在c，e点的函数值是这两个点附近的函数值中最小的． 　y＝f(x)在b，c，d，e点的导数值是多少？ [提示]　f′(b)＝f′(c)＝f′(d)＝f′(e)＝0. 　在b，c，d，e点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？ [提示]　在b，d点附近的导数的符号是左正右负，而在c，e点附近的导数的符号是左负右正． ◎结论形成 1．极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极值点与极值 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值. 导学2　函数极值的求法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值． (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的极大值一定大于其极小值．(　　) (2)导数为0的点一定是极值点．(　　) (3)函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．(　　) (4)函数的极值点是自变量的值，极值是函数值．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 解析　设y＝f′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值． 答案　C 3．函数y＝1＋3x－x3的极大值点为________，极小值点为________. 解析　y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)， 令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1. 当x<－1时，y′<0，函数是减函数， 当－1<x<1时，y′>0，函数是增函数， 当x>1时，y′<0，函数是减函数， 所以当x＝－1时，函数有极小值． 当x＝1时，函数有极大值． 答案　1　－1 4．已知函数f(x)＝x2－2ln x，则f(x)的极小值是________. 解析　∵f′(x)＝2x－， 且函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， ∴令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－1(舍去)， 当x∈(0,1)时，f′(x)<0， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， ∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1. 答案　1 题型一　求函数的极值 　[教材例5·提升](2024·九省联考)已知函数f＝ln x＋x2＋ax＋2在点处的切线与直线2x＋3y＝0垂直． (1)求a； (2)求f的单调区间和极值． [解析]　(1)对f(x)求导，得f′＝＋2x＋a，则f′＝＋2×2＋a＝＋a， 由题意可得×＝－1， 解得a＝－3. (2)由a＝－3，得f＝ln x＋x2－3x＋2(x>0)， 则f′＝＋2x－3＝ ＝，x>0， 故当0<x<时，f′>0， 当<x<1时，f′(x)<0， 当x>1时，f′>0， 故f的单调递增区间为，，单调递减区间为. 故f有极大值f＝ln＋2－3×＋2＝－ln 2， 有极小值f＝ln 1＋12－3×1＋2＝0. 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)求函数的定义域； (2)求函数的导数f′(x)； (3)令f′(x)＝0，求出全部的根； (4)列表：方程的根将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内； (5)判断得结论：若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．　 [触类旁通] 1．(2025·石嘴山期末)已知函数f＝x2ln x. (1)求f的图象在点处的切线方程； (2)求函数f的极值． 解析　(1)f＝e2ln e＝e2， f′＝2xln x＋x2·＝2xln x＋x＝x， f′＝e＝3e， 故f的图象在点处的切线为y－e2＝3e， 即3ex－y－2e2＝0. (2)f的定义域为， 由(1)知f′＝x， 令f′>0得x>e－， 令f′<0得0<x<e－， 故函数f在上单调递减，在上单调递增， 故当x＝e－时，f(x)取得极小值，极小值为f＝e－1ln e－＝－，无极大值． 题型二　由极值求参数的值或取值范围 　(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________. (2)已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围． [解析]　(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 依题意得 即 解得或 但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以不符合题意，应舍去． 而当时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11. (2)f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6. 因为函数f(x)在区间(1，＋∞)内有两个极值点， 所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示． 所以 解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞)． [答案]　(1)4　－11　(2)略 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．　 [触类旁通] 2．(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax－a3. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 解析　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x －1， 则f′(x)＝ex－1， 则f′(1)＝e－1.f(1)＝e－2， 所以切点坐标为(1，e－2)， 所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)， 即(e－1)x－y－1＝0. (2)易知函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a. 当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在R上单调递增，无极值； 当a>0时，由f′(x)>0，得x>ln a，由f′(x)<0，得x<ln a， 所以函数f(x)在区间(－∞，ln a)上单调递减，在区间(ln a，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(ln a)＝a－aln a－a3. 由题意知a－aln a－a3<0(a>0)， 等价于1－ln a－a2<0(a>0)． 令g(a)＝1－ln a－a2(a>0)， 则g′(a)＝－－2a<0， 所以函数g(a)在(0，＋∞)上单调递减， 又g(1)＝0， 故当0<a<1时，g(a)>0；当a>1时，g(a)<0. 所以实数a的取值范围为(1，＋∞)． 题型三　极值问题的综合应用(一题多变) 　已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围． [解析]　令f′(x)＝3x2－3＝0， 即(x＋1)(x－1)＝0， 解得x1＝－1，x2＝1. 当x<－1时，f′(x)>0； 当－1<x<1时，f′(x)<0； 当x>1时，f′(x)>0. 所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a； 当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a. 因为方程f(x)＝0有三个不同实根， 所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图． 由已知得 解得－2<a<2，故实数a的取值范围是(－2,2)． [母题变式] 1．(变条件)本例中，若方程f(x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？ 解析　由例题知，函数的极大值f(－1)＝2＋a，极小值f(1)＝－2＋a， 若f(x)＝0恰有两个根，则有2＋a＝0或－2＋a＝0， 所以a＝－2或a＝2. 2．(变条件)本例中，若方程f(x)＝0有且只有一个实根，求实数a的范围． 解析　由例题可知，要使方程f(x)＝0有且只有一个实根，只需2＋a＜0或－2＋a＞0， 即a＜－2或a＞2. 故实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． [素养聚焦] 通过极值问题的综合应用，把逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．　 [触类旁通] 3．(2025·北京大兴期末)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　) A．　　　　 B． C． D． 解析　因为f(x)＝x(x>0)，所以f′＝ln x＋1－2ax. 因为函数f有两个极值点，所以f′＝ln x＋1－2ax＝0有两个不同的正的变号根． 由ln x＋1－2ax＝0⇒2a＝(x>0)． 设g＝(x>0)，则g′＝－. 由g′>0⇒0<x<1；由g′<0⇒x>1. 所以g在上单调递增，在上单调递减． 且g＝0，g＝1，当x>时，g>0. 所以要想方程2a＝(x>0)有两个不同的解，须有0<2a<1， 即0<a<. 故选D． 答案　D 知识落实 技法强化 (1)函数极值的定义． (2)函数极值的判定及求法． (3)函数极值的应用. (1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性. 学科网（北京）股份有限公司 $