第4章 4.1 第2课时 数列的递推公式与数列的和（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦数列的递推公式与前n项和这一核心知识点，在数列概念及通项公式基础上，通过剧场座位等现实情境引入递推关系，结合前n项和定义及Sn与an的关系（an=Sn-Sn-1，n≥2），构建从具体到抽象的学习支架，为后续数列学习奠定基础。 以“导学”情境激发兴趣，培养用数学眼光观察现实世界的意识。通过判断正误辨析易错点、母题变式（如Sn加常数后an的分段表示）引导严谨推理，发展用数学思维思考现实世界的能力。课中助力教师突破重难点，课后学生可借触类旁通练习查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　数列的递推公式与数列的和 导学1　数列的递推关系 　某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位． (1)写出前五排座位数； (2)第n排与第n＋1排座位数有何关系？ (3)第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式表示吗？ [提示]　(1)20,22,24,26,28. (2)第n＋1排比第n排多2个座位． (3)能．an＋1＝an＋2. ◎结论形成 数列的递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. 导学2　数列的前n项和Sn与an的关系 　已知一个数列的前9项的和为90，前10项的和为120，你能求出第10项吗？ [提示]　能.第10项是30. ◎结论形成 1．数列的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．数列中an与Sn的关系：an＝ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)递推公式也是表示数列的一种方法．(　　) (2)所有数列都有递推公式．(　　) (3)仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列．(　　) (4)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4) × 2．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝＋1，则这个数列的第2项是(　　) A．　　 B．3　　 C．　 　 D．6 答案　B 3．数列，，，，…的递推公式可以是(　　) A．an＝(n∈N*) B．an＝(n∈N*) C．an＋1＝an(n∈N*) D．an＋1＝2an(n∈N*) 解析　数列从第2项起，后一项是前一项的，故递推公式为an＋1＝an(n∈N*)． 答案　C 4．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋5，则a2＝________. 答案　2 [对应学生用书P6] 题型一　数列中项的判断 　已知数列{an}的通项公式是an＝. (1)写出该数列的第4项和第7项； (2)试判断和是否是该数列中的项，若是，求出它是第几项；若不是，请说明理由． [解析]　(1)由通项公式an＝可得a4＝＝，a7＝＝. (2)令＝，得n2＝9，所以n＝3(n＝－3舍去)，故是该数列中的项，并且是第3项；令＝，得n2＝，所以n＝±，由于±都不是正整数，因此不是数列中的项． 1．数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项；反过来，判断一个数是不是一个数列中的项，要看以n为未知数的方程有没有正整数解，有正整数解就是，否则就不是． 2．解决是否存在型问题，可先假设存在，然后代入条件或参数的值或范围，若符合题意，则存在，若不符合题意，则不存在．　 [触类旁通] 1．已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出此数列的第4项和第6项； (2)问－49是否是该数列的项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的项呢？ 解析　(1)a4＝3×42－28×4＝－64， a6＝3×62－28×6＝－60. (2)由3n2－28n＝－49解得n＝7或n＝(舍去)， 所以－49是该数列的第7项； 由3n2－28n＝68解得n＝－2或n＝，均不合题意，所以68不是该数列的项． 题型二　数列的递推公式 　[教材例5·提升](1)已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第3项是(　　) A．1　　　　　　　　 B． C． D． (2)已知数列中，a1＝2，且满足an＋1＝，则a2025＝(　　) A．2 B．－1 C． D． [解析]　(1)a1＝1，a2＝a1＋＝1， a3＝a2＋＝. (2)因为a1＝2且an＋1＝， 所以a2＝＝＝－1， a3＝＝＝， a4＝＝＝2， 所以是周期为3的周期数列，所以a2025＝a3×675＝a3＝， 故选C． [答案]　(1)C　(2)C 由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可． (2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． (3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式． [注意]　由递推公式写出数列的项时，易忽视数列的周期的判断，导致陷入思维误区．　 [触类旁通] 2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an. (1)写出数列{an}的前5项； (2)猜想数列{an}的通项公式； (3)画出数列{an}的图象． 解析　(1)a1＝1，a2＝×1＝， a3＝×＝， a4＝×＝， a5＝×＝， (2)猜想：an＝. (3)图象如图所示： 题型三　由递推公式求通项公式 　(1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an； (2)设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an. [解析]　(1)∵an＋1－an＝， ∴a2－a1＝；a3－a2＝；a4－a3＝； … an－an－1＝(n≥2)． 以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋＝＋＋…＋ ＝1－(n≥2)． ∴an＋1＝1－(n≥2)， ∴an＝－(n≥2)． 又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式， ∴an＝－(n∈N*)． (2)∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)， ∴＝(n≥2)， an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝(n≥2)． 又∵n＝1时，a1＝1，符合上式， ∴an＝(n∈N*)． 由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即： (1)累加法：当an＝an－1＋f(n)(n≥2)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式． (2)累乘法：当＝g(n)(n≥2)时，常用an＝··…··a1求通项公式．　 [触类旁通] 3．已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求an. 解析　因为ln an－ln an－1＝1， 所以ln ＝1，即＝e(n≥2)． 所以an＝··…··a1 ＝＝en－1(n≥2)， 又a1＝1也符合上式， 所以an＝en－1，n∈N*. 题型四　利用Sn与an 的关系求通项公式 (一题多变) 　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝n2－10n.求a1及an. [解析]　因为Sn＝n2－10n，所以当n＝1时， a1＝S1＝12－10×1＝－9， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11. 经验证当n＝1时上式成立， 所以an＝2n－11. [母题变式] (变条件)将本例的条件“Sn＝n2－10n”改为“Sn＝n2－10n＋1”，其他条件不变，求an. 解析　因为Sn＝n2－10n＋1，所以当n＝1时， a1＝S1＝12－10×1＋1＝－8， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n＋1－[(n－1)2－10(n－1)＋1]＝2n－11. 经验证当n＝1时上式不成立， 所以an＝ [素养聚焦] 通过利用Sn与an 的关系求通项公式，把逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤： (1)当n＝1时，a1＝S1. (2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1. (3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝　 [触类旁通] 4．已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an. (1)Sn＝2n2＋3n＋2； (2)Sn＝3n－1. 解析　(1)当n＝1时，a1＝S1＝7， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n＋2)－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1， 又a1＝7不适合上式， 所以an＝ (2)当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1， 显然a1适合上式， 所以an＝2×3n－1(n∈N*)． 知识落实 技法强化 (1)数列的递推公式． (2)数列的前n项和Sn与an的关系. 累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式；由Sn求an时忽略验证n＝1时的情况. 学科网（北京）股份有限公司 $