专题10 三角函数 期末专题复习讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学三角函数复习讲义以思维导图系统梳理知识体系，按“三类特殊角-弧度扇形-定义求值-同角关系-诱导公式-图象性质-伸缩平移”题型递进呈现，清晰构建三角函数概念、公式及应用的逻辑脉络，突出象限角判断、诱导公式等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“方法点拨+分层练习”设计，如用“奇变偶不变，符号看象限”口诀培养数学思维，通过扇形草坪面积计算、筒车距离水面高度等实例发展数学眼光。变式突破题分层设置，基础题巩固概念，综合题提升能力，助力教师精准教学，学生自主复习时高效突破薄弱点。

专题10 三角函数 基础知识与题型（思维导图） 基础题型 题型一 三类特殊角 方法点拨： 象限角与终边相同角的关系:终边相同的角一定在同一象限（或轴线位置），但同一象限的角不一定终边相同（如30°和390°终边相同，30°和150°同属第一、二象限但终边不同）。 例题解析： 例1.（25-26高一上·山东聊城·月考）下列与的终边相同的角的集合中正确的是（    ） A． B． C． D． 例2.（24-25高一下·陕西汉中·月考）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 例3.（22-23高一下·江西吉安·期中）已知角β与α的终边关于y轴对称，则下列关于β，α表达式中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 例4.（25-26高一上·湖北·月考）已知是第三象限角，那么是（        ） A．第二象限角 B．第四象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 例5.（23-24高一上·河北保定·期中）设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 例6.（22-23高一下·江西吉安·期中）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 变式突破： 1.（25-26高一上·山西朔州·月考）下列四个结论正确的是（    ） A．角是第四象限角 B．角是第三象限角 C．角是第三象限角 D．角是第一象限角 2.（25-26高一上·四川·月考）若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.（23-24高一上·河北保定·期中）设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4.（21-22高一下·江西新余·开学考试）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴非正半轴上 5.（25-26高一上·江苏扬州·月考）（1）用弧度制写出与角终边相同的角的集合； （2）________（换算成角度制）； （3）如图，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是________． 题型二 弧度、扇形问题 方法点拨： 1.角度制与弧度制的换算: 2. 扇形的弧长与面积计算 例题解析： 例1.（25-26高一上·云南昆明·月考）弧度化成角度为（   ） A． B． C． D． 例2.（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知扇形的弧长为，圆心角为2rad，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 例3.（2025高一上·吉林长春·专题练习）已知扇形的面积为，半径为r，扇形的周长为7，则该扇形圆心角的弧度数 ． 例4.（25-26高一上·湖南长沙·月考）已知某扇形的周长为16，则当此扇形的面积最大时，圆心角的弧度数为 ． 例5.（25-26高一上·江苏南通·月考）某圆形广场中央有一处圆形喷泉，喷泉外沿到广场边缘之间铺设了一圈扇形草坪，已知喷泉的半径为4米，广场的半径为6米，若其中某块草坪所对应的圆心角为，则这块扇形草坪的面积为（    ） A． B． C． D． 变式突破： 1.（25-26高三上·河北保定·期中）密位制是度量角度的一种方法，我国在航海和军事领域采用的是6000密位制，即把一个周角等分为6000份，每一等份是1密位，则120密位等于（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·云南昆明·月考）折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值．如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面对应扇形圆心角的弧度数为 ． 3.（24-25高一下·河南·期中）与角终边相同的最小正角是（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）扇子是引风用品，夏令必备之物：我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分．历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品．扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇，如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或线绢做扇面而制成的．完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中，、分别在、上，，的长为，则该折扇的扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数为 ． 6．（2025·江苏·模拟预测）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧的长为，则此扇面的面积为 ． 7．（25-26高一上·河南安阳·期中）用一根长度为的绳子围成一个扇形，则该扇形面积的最大值为 ． 题型三 三角函数定义求值、求参数 方法点拨： 1. 三角函数定义：从坐标到比值的桥梁 例题解析： 例1.（2025高一上·吉林长春·专题练习）（   ） A． B． C． D． 例2.（25-26高三上·上海·期中）已知，，则 . 例3.（25-26高一上·重庆江北·月考）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 例4.（25-26高三上·山东淄博·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例5.（2025高三上·江苏·学业考试）已知角的终边经过点，且，则实数（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 变式突破： 1.（25-26高一上·天津·月考）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（24-25高一下·河南驻马店·期末）（   ） A． B． C．1 D． 3.（2025高一上·广东茂名·专题练习）已知角的终边经过点，且与的终边关于轴对称，则下列结论正确的是（   ） A． B．为钝角 C． D．点在第一象限 4.（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）下列代数式的值为1的有（   ） A．sin180° B．cos360° C．tan225° D． 题型四 同角三角函数的关系与运算 方法点拨： 齐次化：当三角函数式中各项的次数相同（如都是一次、二次），或分子分母次数相同（分式齐次）时，可通过除以余弦函数的对应次数，将式子转化为只含tanθ的代数式，从而简化计算. 例题解析： 例1.（25-26高一上·浙江·月考）已知，则（    ） A． B．1 C．3 D． 例2.（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 例3.（25-26高一上·浙江杭州·月考）已知，则“”是“”的（　　） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 例4.（23-24高一上·江苏常州·月考）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 变式突破： 1.（25-26高一上·北京平谷·月考）如果，那么 2.（25-26高一上·江苏·月考）已知，则（   ） A．-6 B． C．8 D．-8 3.（25-26高一上·浙江嘉兴·月考）若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知，且，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·河北衡水·期中）若，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知，则（ ） A． B． C． D． 8．（2025·辽宁葫芦岛·二模）已知 满足，则（   ） A． B． C． D． 9．（2025高三上·广东广州·专题练习）已知，都是第二象限角，且，，则（   ） A． B．1 C． D． 题型五 诱导公式 方法点拨： 诱导公式的核心是 “将任意角的三角函数转化为锐角三角函数”，通过角的终边对称性推导得出。记住下面的口诀，就能快速掌握所有公式：“奇变偶不变，符号看象限” “奇变偶不变”：指的是 π/2的倍数（如 π/2,3π/2 等）中，系数为奇数时函数名改变，系数为偶数时函数名不变。 “符号看象限”：假设原角为锐角，判断转化后的角所在象限，根据原函数在该象限的符号确定结果的正负。 例题解析： 例1.（25-26高一上·北京平谷·月考）求值： ． 例2.（23-24高一下·上海杨浦·期中）若，则的值是 . 例3.（23-24高一下·福建福州·期末）已知，则 ． 例4.（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 例5.（25-26高一上·江苏扬州·月考）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 变式突破： 1.（25-26高一上·北京通州·月考）的值为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·陕西咸阳·月考）的值是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·北京·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高一上·陕西西安·月考）已知，则 ． 5.（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知，则的值是 . 5.（2025·湖南永州·模拟预测）若为偶函数，则（    ） A． B． C．0或 D． 题型六 三角函数的图象与性质 方法点拨： 1.分数 例题解析： 例1.（多选）（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．的其中一条对称轴为 C．函数在上的值域为 D．函数的图象向右平移单位长度后可以得到函数的图像 例2.（多选）（2025·广东肇庆·一模）已知函数，其中，若的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．的定义域为 C．在上单调递增 D．若，且，则a的最大值为 例3.（多选）（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知函数，则下列说法中正确的有（    ） A．函数关于轴对称 B．曲线的对称轴为， C．在区间单调递增 D．曲线在点处的切线方程为 例4.（25-26高三上·江西抚州·期中）将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于原点对称，则最小时，（ ） A． B． C． D． 例5.（2025高二·全国·专题练习）函数恰好有两个零点，则的范围是 ． 例6.（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知函数的图象关于直线对称，且周期为. (1)求函数在上的单调递增区间. (2)求函数在上最大值和最小值及取最值时相应的值. 例7.（25-26高三上·福建·月考）已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)若函数在区间上有4个零点，求实数m的取值范围． 例8.（25-26高三上·湖南·月考）图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（   ） A． B． C． D． 变式突破： 1.（多选）（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于点对称 2.（多选）（2025·四川成都·一模）已知函数，下列说法正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．在上单调递增 D．将函数的图象向右平移个单位长度后可以得到函数的图象 3.（安徽省多校2025-2026学年高三上学期12月质量检测数学试题）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．6 4.（25-26高一上·北京平谷·月考）设函数，其中．已知的最小正周期为，且． (1)求的解析式及的对称轴； (2)若在区间上的值域为，求的取值范围 5.（25-26高一上·北京平谷·月考）已知函数． (1)求最小正周期及在上的单调递增区间； (2)当时，求的最大值和最小值． 6.（25-26高一上·河北·月考）已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)求在区间上的最值及取得最值时的x的值． 7.（25-26高一上·浙江金华·月考）如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心距离水面米.以圆心为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. (1)当，点在转动过程中第一次使得时，记水轮与轴交于点，求此时的值； (2)当时，求点距离水面的高度米，表示为时间秒的函数，并求点第一次到达最高点所需要的时间. 题型七 伸缩平移变换 方法点拨： 例题解析： 例1.（多选）（25-26高三上·重庆·月考）下列说法正确的是（    ） A．函数图象上的点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍可得到的图象 B．函数图象上的点向右平移个单位可得到的图象 C．函数图象上的点向左平移个单位可得到的图象 D．函数图象上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位可得到的图象 变式突破： 1.（2025·四川泸州·一模）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·北京·开学考试）要得到函数的图象，需要把函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 易错点 1.角度与弧度混用 核心问题： 2.“奇变偶不变，符号看象限”口诀要点理解不牢固 核心问题： 3.正切函数的定义域、复合函数的单调性、图像平移理解混淆 核心问题： 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 三角函数 基础知识与题型（思维导图） 基础题型 题型一 三类特殊角 方法点拨： 象限角与终边相同角的关系:终边相同的角一定在同一象限（或轴线位置），但同一象限的角不一定终边相同（如30°和390°终边相同，30°和150°同属第一、二象限但终边不同）。 例题解析： 例1.（25-26高一上·山东聊城·月考）下列与的终边相同的角的集合中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】找出终边相同的角 【分析】利用终边相同的角的关系即可求解. 【详解】易知， 对于，集合表达式中混合使用了角度制与弧度制，表示错误，故错误； 对于D，当时，不成立，故D错误； 与的终边相同的角的集合为： ，故C正确. 故选：C. 例2.（24-25高一下·陕西汉中·月考）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【知识点】由已知角所在的象限确定某角的范围 【分析】根据象限角的定义及其范围，进行计算即可. 【详解】因为是第二象限角， 所以， 所以 从而， 所以是第四象限角． 故选：D. 例3.（22-23高一下·江西吉安·期中）已知角β与α的终边关于y轴对称，则下列关于β，α表达式中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】找出终边相同的角、任意角的概念 【分析】根据角与角的终边关系逐项分析求解. 【详解】A表示角β和α的终边相同； B表示角β和α的终边关于原点对称； C表示角β和α的终边关于x轴对称； D表示角β和α的终边关于y轴对称. 故选：D 例4.（25-26高一上·湖北·月考）已知是第三象限角，那么是（        ） A．第二象限角 B．第四象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】D 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】由已知有，，再求出的范围，即可得. 【详解】由，，则，， 为奇数时，在第四象限， 为偶数时，在第二象限， 所以在第二或第四象限. 故选：D 例5.（23-24高一上·河北保定·期中）设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】CD 【知识点】确定n倍角所在象限 【分析】为第二象限角，得到，得到答案. 【详解】为第二象限角，故， 所以， 所以可能是第三象限角，也可能是第四象限角,或轴的负半轴. 故选：CD 例6.（22-23高一下·江西吉安·期中）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】根据图形，找出边界对应的角，即可写出集合. 【详解】由图象知，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是， 故选：C 变式突破： 1.（25-26高一上·山西朔州·月考）下列四个结论正确的是（    ） A．角是第四象限角 B．角是第三象限角 C．角是第三象限角 D．角是第一象限角 【答案】ABD 【知识点】确定已知角所在象限 【分析】根据象限角的定义依次判断各个选项，从而得到结果. 【详解】终边位于第四象限 ，为第四象限角，故A正确； 终边位于第三象限 ，为第三象限角，B正确； ，终边位于第二象限，为第二象限角，C错误； ，终边位于第一象限， 为第一象限角，D正确 故选：ABD 2.（25-26高一上·四川·月考）若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限、确定n分角所在象限 【分析】先得到与 终边相同，都位于第三象限；则，整理得到，因此与终边相同都在第二象限. 【详解】因为，所以因此与终边相同，都位于第三象限； 由题意得，因此， 即，因此与终边相同都在第二象限. 故选：B 3.（23-24高一上·河北保定·期中）设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】CD 【知识点】确定n倍角所在象限 【分析】为第二象限角，得到，得到答案. 【详解】为第二象限角，故， 所以， 所以可能是第三象限角，也可能是第四象限角,或轴的负半轴. 故选：CD 4.（21-22高一下·江西新余·开学考试）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴非正半轴上 【答案】BD 【知识点】确定已知角所在象限、确定n倍角所在象限、确定n分角所在象限 【分析】由已知可得，然后逐个分析判断即可 【详解】因为是第二象限角，所以可得． 对于A，，则是第三象限角，所以A错误; 对于B，可得，当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．所以B正确; 对于C，，即，所以是第一象限角，所以C错误; 对于D，，所以的终边位于第三象限或第四象限或y轴非正半轴上，所以D正确． 故选：BD． 5.（25-26高一上·江苏扬州·月考）（1）用弧度制写出与角终边相同的角的集合； （2）________（换算成角度制）； （3）如图，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是________． 【答案】（1） （2） （3） 【知识点】找出终边相同的角、根据图形写出角（范围）、弧度化为角度 【分析】（1）根据终边相同的角的定义，结合角度制与弧度制互化公式进行求解即可； （2）根据角度制与弧度制互化公式进行求解即可； （3）根据终边相同的角的定义进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以与角终边相同的角的集合； （2）因为， 所以； （3）根据图象可得：终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是. 题型二 弧度、扇形问题 方法点拨： 1.角度制与弧度制的换算: 2. 扇形的弧长与面积计算 例题解析： 例1.（25-26高一上·云南昆明·月考）弧度化成角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】弧度化为角度 【分析】利用弧度制与角度制的互化关系进行互化. 【详解】根据角度制与弧度制的互化关系，得. 故选：A 例2.（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知扇形的弧长为，圆心角为2rad，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】根据给定条件，求出扇形所在圆的半径，进而求出扇形面积. 【详解】由扇形的弧长为，圆心角为2rad，得该扇形所在圆的半径， 所以该扇形的面积为. 故选：B 例3.（2025高一上·吉林长春·专题练习）已知扇形的面积为，半径为r，扇形的周长为7，则该扇形圆心角的弧度数 ． 【答案】5或 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】设出扇形的弧长，根据扇形面积和周长得到方程组，求出或，从而求出圆心角的弧度数. 【详解】设扇形的弧长为，由题意得，，解得或， 当时，，当时，. 故答案为：5或 例4.（25-26高一上·湖南长沙·月考）已知某扇形的周长为16，则当此扇形的面积最大时，圆心角的弧度数为 ． 【答案】2 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形中的最值问题 【分析】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得，结合扇形面积公式和二次函数求最值，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得， 所以扇形的面积为， 于是，当时，扇形的面积最大，此时，角度 故答案为：2 例5.（25-26高一上·江苏南通·月考）某圆形广场中央有一处圆形喷泉，喷泉外沿到广场边缘之间铺设了一圈扇形草坪，已知喷泉的半径为4米，广场的半径为6米，若其中某块草坪所对应的圆心角为，则这块扇形草坪的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】结合扇形面积公式，用包含喷泉和草坪的大扇形面积减去只含喷泉的小扇形面积即可. 【详解】设广场的半径为，喷泉的半径为，圆心角为，包含喷泉和草坪的大扇形面积为,只含喷泉的小扇形面积为,扇形草坪的面积为. 则. 故选：D. 变式突破： 1.（25-26高三上·河北保定·期中）密位制是度量角度的一种方法，我国在航海和军事领域采用的是6000密位制，即把一个周角等分为6000份，每一等份是1密位，则120密位等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角度化为弧度、弧度的概念 【分析】根据弧度的定义求解120密位占6000密位的比例再乘以即可. 【详解】由题意可得120密位等于. 故选：C 2.（25-26高一上·云南昆明·月考）折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值．如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面对应扇形圆心角的弧度数为 ． 【答案】/ 【知识点】弧长的有关计算 【分析】利用弧长公式，结合已知条件，即可得方程组求解圆心角. 【详解】 如图，延长交于点，设，扇形圆心角， 则根据题意知：，解得， 故答案为： 3.（24-25高一下·河南·期中）与角终边相同的最小正角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】找出终边相同的角、弧度的概念 【分析】先把化成弧度制，再写成，的形式， 确定选项. 【详解】因为. 所以与角终边相同的最小正角是. 故选：B 4．（2025高三·全国·专题练习）扇子是引风用品，夏令必备之物：我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分．历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品．扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇，如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或线绢做扇面而制成的．完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中，、分别在、上，，的长为，则该折扇的扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】求出扇形的半径，可求出扇形的面积，求出扇形的半径，可得出扇形的面积，由此可得出该折扇的扇面的面积为，即为所求. 【详解】因为，的长为，， 设扇形的半径为，则，所以， 所以扇形的面积为， ， 所以扇形的面积， 所以折扇的扇面的面积． 故选：D． 5．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数为 ． 【答案】/ 【知识点】弧度的概念 【分析】由圆心角定义得解. 【详解】根据圆心角定义可知，， 故答案为： 6．（2025·江苏·模拟预测）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧的长为，则此扇面的面积为 ． 【答案】 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】利用弧长公式求出的长，利用扇形面积公式求出大、小扇形面积，最后作差求出扇面面积. 【详解】设，因为圆心角，弧的长为，代入弧长公式可得，解得. 由扇形面积公式可得：， ， 所以此扇面的面积为. 故答案为：. 7．（25-26高一上·河南安阳·期中）用一根长度为的绳子围成一个扇形，则该扇形面积的最大值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】设扇形的半径为，则该扇形的弧长为，其中，利用扇形的面积公式与基本不等式可求得该扇形面积的最大值. 【详解】设扇形的半径为，则该扇形的弧长为，其中， 故该扇形的面积为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故该扇形面积的最大值为. 故答案为：. 题型三 三角函数定义求值、求参数 方法点拨： 1. 三角函数定义：从坐标到比值的桥梁 例题解析： 例1.（2025高一上·吉林长春·专题练习）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式一 【分析】根据诱导公式和特殊角的函数值得到答案. 【详解】. 故选：A 例2.（25-26高三上·上海·期中）已知，，则 . 【答案】或 【知识点】特殊角的三角函数值 【分析】根据特殊角的三角函数值计算可得. 【详解】因为，所以或， 又，所以或. 故答案为：或 例3.（25-26高一上·重庆江北·月考）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】特殊角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由正切函数的定义计算可得. 【详解】由题意可得. 故选：C. 例4.（25-26高三上·山东淄博·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】特殊角的三角函数值、判断命题的充分不必要条件 【分析】利用推出关系来确定充要关系即可. 【详解】因为，所以，即“”是“”的充分条件， 因为，所以，即“”不是“”的必要条件， 故选：A 例5.（2025高三上·江苏·学业考试）已知角的终边经过点，且，则实数（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据正切的定义求解即可. 【详解】因为角的终边经过点， 所以，因为，所以， 解得. 故选：B. 变式突破： 1.（25-26高一上·天津·月考）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知三角函数值求角 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合正弦函数的性质判断得解. 【详解】由，得；反之当时，或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2.（24-25高一下·河南驻马店·期末）（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】正切函数的诱导公式 【分析】借助正切函数的诱导公式计算即可得. 【详解】. 故选：C. 3.（2025高一上·广东茂名·专题练习）已知角的终边经过点，且与的终边关于轴对称，则下列结论正确的是（   ） A． B．为钝角 C． D．点在第一象限 【答案】ACD 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数的定义逐项判断即可. 【详解】角的终边经过点，，所以，A正确； 与的终边关于轴对称，由题意得α的终边经过点， 为第二象限角，不一定为钝角， B错误， ，C正确； 因为， ，所以点在第一象限，D正确. 故选：ACD 4.（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）下列代数式的值为1的有（   ） A．sin180° B．cos360° C．tan225° D． 【答案】BCD 【知识点】正切函数的诱导公式、特殊角的三角函数值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据特殊三角函数值及平方关系确定各式对应值，即可得答案. 【详解】由. 故选：BCD 题型四 同角三角函数的关系与运算 方法点拨： 齐次化：当三角函数式中各项的次数相同（如都是一次、二次），或分子分母次数相同（分式齐次）时，可通过除以余弦函数的对应次数，将式子转化为只含tanθ的代数式，从而简化计算. 例题解析： 例1.（25-26高一上·浙江·月考）已知，则（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】分子分母同时除以可得. 【详解】. 故选：A. 例2.（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】由同角三角函数的关系化简求解． 【详解】， 解得． 故选：D． 例3.（25-26高一上·浙江杭州·月考）已知，则“”是“”的（　　） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】由，结合求解，再由充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】（1）因为，所以， 又，由，可得， 所以； （2）因为，又， 当时，，由，可得，此时， 当时，，由，可得，此时， 综上，，则“”是“”的充分不必要条件， 故选：C 例4.（23-24高一上·江苏常州·月考）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据已知条件利用完全平方公式以及同角三角函数关系式平方和为1求出的值，再结合，解得即可得出的值. 【详解】， ， ， ， 从而， ，可得， ，则且， ，与联解， 可得， 因此. 故选：B. 变式突破： 1.（25-26高一上·北京平谷·月考）如果，那么 【答案】/ 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用平方关系和商数关系将化为，代入即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 2.（25-26高一上·江苏·月考）已知，则（   ） A．-6 B． C．8 D．-8 【答案】D 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】由得，结合诱导公式，利用同角三角函数的平方和关系及商数关系即可求解. 【详解】由得， 故 . 故选：D 3.（25-26高一上·浙江嘉兴·月考）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】由，则， 由， 两边平方可得， 即，则. 故选：D 4．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知，且，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式 【分析】由，通过平方得到，再结合通过三角函数关系得到，，进而逐项判断即可. 【详解】因为，两边平方，得，即，所以，故B错误． 由上及二倍角正弦公式，得，因为， 所以，，，又， 所以．结合，解得，，故A错误． 因为，所以，故C正确，，故D错误． 故选：C． 5．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据条件，利用平方关系，得，再结合条件，即可求解. 【详解】因为， 又，则， 又因为，则，所以， 故选：B. 6．（25-26高三上·河北衡水·期中）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、由条件等式求正、余弦 【分析】将已知条件两侧平方整理得，结合求出，即可得. 【详解】由题设， 所以，即， 而，则， 所以，即. 故选：A 7．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】根据正弦与余弦的两角和与两角差，以及余弦的二倍角公式。 【详解】由，得， 由，得， 联立解得，， 因为， 所以， 故选：A 8．（2025·辽宁葫芦岛·二模）已知 满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】先由得到，再利用正弦两角和公式展开得到，联立方程得到. 【详解】因为，所以，即 设，则； 由得到，即， 即，解得 ，所以； 故选：D 9．（2025高三上·广东广州·专题练习）已知，都是第二象限角，且，，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据同角三角函数关系和余弦和角公式得到，结合角的范围，得到. 【详解】，即， 所以，， 又，都是第二象限角，故， ，故， 所以 故选：A 题型五 诱导公式 方法点拨： 诱导公式的核心是 “将任意角的三角函数转化为锐角三角函数”，通过角的终边对称性推导得出。记住下面的口诀，就能快速掌握所有公式：“奇变偶不变，符号看象限” “奇变偶不变”：指的是 π/2的倍数（如 π/2,3π/2 等）中，系数为奇数时函数名改变，系数为偶数时函数名不变。 “符号看象限”：假设原角为锐角，判断转化后的角所在象限，根据原函数在该象限的符号确定结果的正负。 例题解析： 例1.（25-26高一上·北京平谷·月考）求值： ． 【答案】/ 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】原式利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值. 【详解】原式 . 故答案为： 例2.（23-24高一下·上海杨浦·期中）若，则的值是 . 【答案】2 【知识点】正切函数的诱导公式、诱导公式二、三、四 【分析】直接利用诱导公式计算即可. 【详解】根据诱导公式知：. 故答案为：2. 例3.（23-24高一下·福建福州·期末）已知，则 ． 【答案】 【知识点】正切函数的诱导公式、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正切公式 【分析】用诱导公式和二倍角公式化简求值即可. 【详解】根据诱导公式得， 由题设，可得， . 故答案为：. 例4.（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】结合角的范围，运用诱导公式、同角三角函数的基本关系与二倍角公式，即可得解. 【详解】， 又因为，得， 又，，故，因此. 故选：B. 例5.（25-26高一上·江苏扬州·月考）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、诱导公式五、六 【分析】利用诱导公式得出，结合同角三角函数的基本关系可得出的表达式. 【详解】因为，且为锐角，则， 所以，因此. 故选：A. 变式突破： 1.（25-26高一上·北京通州·月考）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】特殊角的三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】运用诱导公式，结合特殊角的余弦值求解即可. 【详解】， 故选：C 2.（25-26高一上·陕西咸阳·月考）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】特殊角的三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据诱导公式化简求解即可. 【详解】， 故选：A 3.（25-26高一上·北京·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】诱导公式五、六、给值求值型问题 【分析】利用诱导公式化简求值. 【详解】， 故选：A. 4.（25-26高一上·陕西西安·月考）已知，则 ． 【答案】/ 【知识点】诱导公式五、六 【分析】根据结合诱导公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 5.（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知，则的值是 . 【答案】 【知识点】诱导公式五、六 【分析】根据条件，利用诱导公式，即可求解. 【详解】因为，则， 故答案：. 5.（2025·湖南永州·模拟预测）若为偶函数，则（    ） A． B． C．0或 D． 【答案】A 【知识点】特殊角的三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据为偶函数，得到方程，求出或，分两种情况，结合诱导公式得到答案. 【详解】若为偶函数，又，则或，解得或， 若，则， 若，则，所以. 故选：A 题型六 三角函数的图象与性质 方法点拨： 1.分数 例题解析： 例1.（多选）（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．的其中一条对称轴为 C．函数在上的值域为 D．函数的图象向右平移单位长度后可以得到函数的图像 【答案】BCD 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据图象可求出周期，利用周期求判断A，根据图象过点，代入解析式求出，代入验证，判断B，根据正弦函数的性质求值域判断C，利用图象平移判断D. 【详解】A中，由图，得，解得，故A错误； B中，因为函数的图象经过点，所以，即. 因为，所以，解得，所以， 当时，， 所以的其中一条对称轴为，故B正确； C中，当时，，故C正确； D中，函数的图象向右平移个单位长度后可以得到，故D正确. 故选：BCD 例2.（多选）（2025·广东肇庆·一模）已知函数，其中，若的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．的定义域为 C．在上单调递增 D．若，且，则a的最大值为 【答案】BCD 【知识点】正切函数的定义、求正切型三角函数的单调性、由正切函数的周期求值、求正切（型）函数的定义域 【分析】利用正切函数的周期性求得判断A；利用正切函数的定义域求解判断B；利用正切函数的单调性求解判断C；利用正切函数的性质解不等式判断D. 【详解】∵，∴，∴，故A错误； ∵，∴， ∴的定义域为，故B正确； 由，解得， ∴的单调增区间为，， 时，单调增区间为，显然，故C正确； 由得，， ∴，， ∵，∴时，a取最大值为，故D正确. 故选：BCD 例3.（多选）（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知函数，则下列说法中正确的有（    ） A．函数关于轴对称 B．曲线的对称轴为， C．在区间单调递增 D．曲线在点处的切线方程为 【答案】ABD 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】对于A，先利用和角公式化简函数得，利用函数奇偶性定义即可判断；对于B，C，利用正弦函数的图象性质即可计算判断；对于D，利用导数的几何意义求出切线斜率，再由直线的点斜式方程求得切线方程判断. 【详解】对于A，依题意，则， 设，则，即函数为偶函数，其图象关于轴对称，故A正确； 对于B，由，可得，即曲线的对称轴为，，故B正确； 对于C，由，可得，而函数在上单调递减，故函数在区间单调递减，即C错误； 对于D，由求导得，则， 故曲线在点处的切线方程为，即，故D正确. 故选：ABD. 例4.（25-26高三上·江西抚州·期中）将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于原点对称，则最小时，（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】先进行图象变换，再由函数的对称性求解． 【详解】解析：平移后，， 所以. 所以，因为，所以最小值为. 所以. 故选：B 例5.（2025高二·全国·专题练习）函数恰好有两个零点，则的范围是 ． 【答案】 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数 【分析】分和两种情况结合正弦函数性质得出参数范围. 【详解】①，，结合正弦函数性质知： ，解得． ②，，结合正弦函数性质知： ，解得． 综上有． 故答案为：． 例6.（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知函数的图象关于直线对称，且周期为. (1)求函数在上的单调递增区间. (2)求函数在上最大值和最小值及取最值时相应的值. 【答案】(1)； (2),此时；，此时. 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）先求出函数的解析式，再根据正弦函数的性质求单调区间； （2）由题意可得，结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为函数的周期为， 所以，解得， 又因为函数的图象关于直线对称， 所以, 则， 又因为， 所以， 所以， 由， 得， 又因为， 所以或， 所以函数在上的单调递增区间为； （2）当时，， 所以当，即时，函数取最小值，为； 当，即时，函数取最大值，为； 所以,此时；，此时. 例7.（25-26高三上·福建·月考）已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)若函数在区间上有4个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）先用二倍角公式与和差倍角的正弦公式化简，然后化简，结合二次函数的性质判断单调性，进而求出值域. （2）先求出正弦函数的零点，然后列出原点周围的零点，进而根据零点个数列出不等式，最后求出解集即可. 【详解】（1）函数． 所以. 因为，所以，所以.令， 根据二次函数的性质，在上单调递减，所以. 因为，. 所以在区间上的值域为. （2）令，则，所以. 列出零点为， 因为函数在区间上有4个零点， 所以，解得. 所以的取值范围为. 例8.（25-26高三上·湖南·月考）图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】根据题设，结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，则， 所以， 由题意可得，则， 此时， 又时，，则， 即，而，则. 故选：A 变式突破： 1.（多选）（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于点对称 【答案】BCD 【知识点】由图象确定正切（型）函数解析式、求正切（型）函数的对称中心、由正切函数的周期求值、正切函数图象的应用 【分析】A选项，由图象可以看出函数的最小正周期，求出；B选项，将代入，结合得到；C选项，计算出，C正确；D选项，计算出，得到D正确. 【详解】A选项，由图象可以看出的最小正周期为， 又故，A错误； B选项，将代入得，解得， 因为，所以只有时，满足要求， 故，B正确； C选项，， 的图象与轴的交点坐标为，C正确； D选项，时，， 由于的一个对称中心为， 故函数的图象关于点对称，D正确. 故选：BCD 2.（多选）（2025·四川成都·一模）已知函数，下列说法正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．在上单调递增 D．将函数的图象向右平移个单位长度后可以得到函数的图象 【答案】ABD 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式 【分析】应用辅助角公式化简函数式，结合正弦型函数的性质依次判断A、B、C，由图象平移写出解析式判断D. 【详解】由，其最小正周期为，A对， 由，则的值域为，B对， 由，则，显然不单调，C错， 函数的图象向右平移个单位长度， 则，D对. 故选：ABD 3.（安徽省多校2025-2026学年高三上学期12月质量检测数学试题）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】先写出平移后的解析式，结合对称轴可得答案. 【详解】把函数的图象向左平移个单位长度后， 得到的函数解析式为， 因为其图象关于直线对称，所以， 解得，，又，所以时，的最小值为. 故选：B 4.（25-26高一上·北京平谷·月考）设函数，其中．已知的最小正周期为，且． (1)求的解析式及的对称轴； (2)若在区间上的值域为，求的取值范围 【答案】(1)； (2) 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）根据最小正周期求出，根据求出，即可得到的解析式，令即可求出的对称轴. （2）根据求得，结合正弦函数图象即可求出答案. 【详解】（1）因为的最小正周期为， 所以，解得， 又因为，即，且， 所以， 所以的解析式为， 令，解得， 所以的对称轴为. （2）由（1）知， 当时，， 因为在区间上的值域为， 所以，解得， 所以的取值范围. 5.（25-26高一上·北京平谷·月考）已知函数． (1)求最小正周期及在上的单调递增区间； (2)当时，求的最大值和最小值． 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为和； (2). 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据最小正周期公式求的最小正周期，以为整体，结合正弦函数单调性分析求解； （2）以为整体，结合正弦函数有界性分析求解. 【详解】（1）因为，所以的最小正周期； 令，解得， 又，所以在上的单调递增区间为和. （2）因为，则，可得， 当，即时，取得最大值1； 当或，即或时，取得最小值. 6.（25-26高一上·河北·月考）已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)求在区间上的最值及取得最值时的x的值． 【答案】(1)； (2)时，；或时，. 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据正弦函数的性质，使用整体代入法求解可得； （2）由的范围求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）由，解得， 所以的单调减区间为； （2）当时，， 所以，所以 当，即时，取得最小值，即； 当或，即或时，取得最大值， 即. 7.（25-26高一上·浙江金华·月考）如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心距离水面米.以圆心为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. (1)当，点在转动过程中第一次使得时，记水轮与轴交于点，求此时的值； (2)当时，求点距离水面的高度米，表示为时间秒的函数，并求点第一次到达最高点所需要的时间. 【答案】(1) (2)，4秒 【知识点】由单位圆求三角函数值、求含sinx(型)函数的值域和最值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据任意角定义可得，再由三角函数定义计算可得； （2）由水轮旋转速度求出其角速度，再由三角函数定义求出表达式，解方程可求出相应时间. 【详解】（1）由，得， ， ， 又由，则， 故. （2）水轮每分钟逆时针转动5圈，则每秒逆时针转动， 由，可得， 可知秒后点， 则点到水面的高度为， 当第一次到达最高点时，即时，， 即可得 故点第一次到达最高点所需要的时间为4秒. 题型七 伸缩平移变换 方法点拨： 例题解析： 例1.（多选）（25-26高三上·重庆·月考）下列说法正确的是（    ） A．函数图象上的点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍可得到的图象 B．函数图象上的点向右平移个单位可得到的图象 C．函数图象上的点向左平移个单位可得到的图象 D．函数图象上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位可得到的图象 【答案】AC 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】利用三角函数图象变换，逐项分析判断得解. 【详解】对于A，函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍可得到，故A正确； 对于B，函数图象上的点向右平移个单位可得到的图象，故B错误； 对于C，函数图象上的点向左平移个单位可得的图象，故C正确； 对于D，函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的得， 再向右平移个单位可得，故D错误. 故选：AC 变式突破： 1.（2025·四川泸州·一模）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、相位变换及解析式特征 【分析】利用三角函数图象变换规则，先对函数进行伸长变换，再对所得图象进行向右平移变换，最终得出函数解析式． 【详解】若把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 则需将替换为，即， 再把所得图象向右平移个单位长度，则需将替换为， 即， 最终得到的函数解析式为，故D正确． 故选：D． 2.（25-26高一上·北京·开学考试）要得到函数的图象，需要把函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程、求图象变化前（后）的解析式 【分析】直接利用函数的图象变换规律，可得结论． 【详解】要得到函数的图象， 要得到函数的图象， 需要把函数的图象向左平移个单位长度； 故选：C 易错点 1.角度与弧度混用 核心问题： 2.“奇变偶不变，符号看象限”口诀要点理解不牢固 核心问题： 3.正切函数的定义域、复合函数的单调性、图像平移理解混淆 核心问题： 学科网（北京）股份有限公司 $