专题09 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换（期末复习讲义，13大重难题型+3阶分层过关）高一数学上学期人教A版

该高中数学期末复习讲义以三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换为核心，通过表格系统梳理8个核心考点的复习目标与考情规律，按“概念推广-定义-关系-公式-变换”的逻辑递进呈现知识脉络，突出同角关系、诱导公式等重难点的内在联系。 讲义亮点在于13类题型的精细分类，如终边相同的角、扇形面积计算、辅助角公式应用等，典例结合变式题组强化方法迁移，分层练习（基础通关、重难突破、综合拓展）覆盖不同难度。通过“拼凑角”“降幂公式”等技巧指导，培养学生数学思维与运算能力，既助力基础薄弱学生掌握方法，也为优秀学生提供拓展空间，支持教师实施精准化复习教学。

专题09 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 （期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 9.1 角的概念推广与弧度制 能理解任意角的概念，掌握角度与弧度的互化，并能计算弧长与扇形面积。 基础概念题，常与后续三角函数结合考查。 9.2 任意角的三角函数定义（单位圆定义与坐标定义） 能根据角终边上点的坐标或单位圆上的点求三角函数值。 定义理解题，易错在于符号判断。 9.3 同角三角函数的基本关系（sin²θ + cos²θ = 1，tanθ = sinθ/cosθ） 能利用同角关系进行求值、化简和证明。 高频计算题，常与齐次式结合考查。 9.4 诱导公式的理解与应用（奇变偶不变，符号看象限） 能利用诱导公式化简三角函数式或求值。 必考点，符号判断是易错点。 9.5 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 能熟练运用公式进行化简、求值与证明。 中档题，公式记忆与变形是关键。 9.6 二倍角公式及其变形 能利用二倍角公式进行化简、求值与证明。 常与三角恒等变换综合考查。 9.7 简单的三角恒等变换（辅助角公式、降幂公式） 能将 asinx + bcosx 化为 Rsin(x + φ) 形式，或利用降幂公式化简。 中档难点，常见于解答题中。 9.8 三角函数式的化简与求值 能综合运用各种公式进行三角函数式的化简与求值。 综合性较强，常作为中等解答题出现 知识点01 特殊角的三角函数值 知识点02 同角三角函数的基本关系 平方关系： 商数关系： 知识点03 正弦的和差公式 ， 知识点04 余弦的和差公式 ， 知识点05 正切的和差公式 ， 知识点06 正弦的倍角公式 知识点07 余弦的倍角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 知识点08 正切的倍角公式 知识点09 推导公式 知识点10 辅助角公式 ，，其中， 题型一 终边相同的角 【典例1】（24-25高一上·山西·期末）与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据终边相同的角的知识来确定正确答案. 【详解】与角终边相同的角一定可以写成的形式，其中， 令，可得与终边相同，其他选项均不符合． 故选：D 【典例2】（24-25高一上·湖南邵阳·期末）用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将化成弧度结合选项即可求解； 【详解】用弧度制可表示为， 所以与角的终边相同的角构成的集合为 故选：D． 【变式1】（24-25高一下·辽宁辽阳·月考）下列各角中，与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据终边相同的角的表示方式进行选择. 【详解】因为与终边相同的角为：，. 当时，. 故选：B 【变式2】（24-25高一上·上海·期末）在平面直角坐标系中，两个角与的终边重合，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知有，即可判断可能值. 【详解】由题设，可得， 所以各选项中只有满足. 故选：B 【变式3】（24-25高一下·四川成都·月考）与角终边相同的角的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出在中与角终边相同的角，再写成集合的形式即可判断. 【详解】因， 故与角终边相同的角的集合可表示为，C项正确， 而A，B，D项中的角都与终边不同. 故选：C. 题型二 象限角与轴线角 【典例1】（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据题意可得，进而分析象限角即可. 【详解】因为，且为第二象限角， 所以的终边在第二象限. 故选：B. 【典例2】（24-25高一上·贵州毕节·期末）若是钝角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【分析】利用钝角的取值范围得出的范围即可得出其对应象限. 【详解】若是钝角可得，因此； 显然此时是第一象限角. 故选：A 【变式1】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知角，那么的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据终边相同角的定义计算确定角的象限即可. 【详解】因为，其中，故的终边在第四象限． 故选:D． 【变式2】（24-25高一上·宁夏固原·期末）若是第三象限角，则是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 【答案】C 【分析】首先利用不等式写出的范围，即可求解. 【详解】由题意可知， 所以， 所以是第二或第四象限角. 故选：C. 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）设集合，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合中角的特征分析集合间的关系即可得解. 【详解】表示终边落在轴非正半轴上角的集合，表示终边落在轴上角的集合， 表示终边落在轴上角的集合，故. 故选：A. 题型三 扇形中的弧长与面积公式 【典例1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将角度转换为弧度后借助扇形面积公式计算即可得. 【详解】设该扇形的圆心角弧度为，则， 则. 故选：A. 【典例2】（25-26高一上·全国·期末）如图所示的图形形似水滴，它是由线段和圆的优弧围成的，其中恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】欲求封闭图形的面积，需要作辅助线对图形进行分割，分割成三角形、扇形等易求面积的图形，再求解． 【详解】如图，取优弧所在圆的圆心，连接， 则，则， 所以，则， 故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为． 而， 故， 所以该封闭图形的面积为． 故选：C.    【变式1】（24-25高一下·河北保定·期末）在某中学2025年“创意之光”文创设计大赛中，一名学生设计了一把“紫堡文创”扇子．其扇面可以近似的理解为扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇面的近似面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形的面积公式进行求解即可. 【详解】因为，，， 所以扇面的近似面积为， 故选：C 【变式2】（24-25高一上·湖北·期末）已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】先表示出扇形的面积得到圆心角与半径的关系，再利用基本不等式求出周长的最小值，进而求出圆心角的度数. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为， 则由题意可得， ∴ ， 当且仅当时 , 即时取等号， ∴当扇形的圆心角为2时 , 扇形的周长取得最小值8. 故选：D. 【变式3】（24-25高一上·江苏无锡·期末）如图所示，省锡中数学社团用数学软件制作的“蚊香”图.画法如下：作一个边长为1的等边，然后以B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧，再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……，以此类推，当得到的“蚊香”恰好有5段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由弧长公式得到每段的弧长，相加后得到答案. 【详解】由题意知，每段圆弧的圆心角均为，第一段圆弧长度为， 第二段圆弧长度为，第三段圆弧长度为， 第四段圆弧长度为，第五段圆弧长度为， 所以“蚊香”的长度为. 故选：B. 题型四 任意角的三角函数 【典例1】（24-25高一上·贵州毕节·期末）（多选）已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据三角函数的定义列式，求得，再根据正切函数的定义即可求解. 【详解】由题意角的终边经过点，且，可知， 解得，故A正确，B错误； 所以角的终边经过点，所以，故C正确，D错误. 故选：AC. 【典例2】（24-25高一上·安徽宿州·期末）点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】判断、的符号，即可得出结论. 【详解】因为，，即为第二象限角，为第四象限角， 所以，，所以点在平面直角坐标系中位于第三象限. 故选：C. 【典例3】（24-25高一上·山东德州·期末）已知命题为锐角；命题且；则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】当为锐角时，且； 当且时，为第一象限的角，此时不一定为锐角， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 【典例4】（24-25高一上·江苏·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求证，结合作商法和倍角公式即可求解判断的大小； 【详解】如图，设圆为单位圆，，， 点B在x轴上的射影点为T，过点A作x轴的垂线角射影于点P， 则， 由图知，故， 所以， 所以，即， ，即， 所以. 故选：A. 【点睛】方法点睛：是比较三角函数值大小的一个有力工具. 【变式1】（24-25高一上·河北承德·期末）（多选）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D．为第四象限角 【答案】AC 【分析】根据任意角三角函数的定义，结合象限角的定义，可得答案. 【详解】由题意得，AC正确，B错误． 易得为第二象限角，D错误． 故选：AC. 【变式2】（24-25高一上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由任意角三角函数定义可得答案. 【详解】注意到，则在单位圆上，则. 故选：A 【变式3】（24-25高一上·广东广州·期末）已知命题，命题为第三象限或第四象限的角，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由确定角终边的位置，结合充分条件和必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】当时，则角的终边位于第三、第四象限或轴的负半轴上， 而当终边位于第三、第四象限时，, 所以，且，所以，是的必要不充分条件. 故选：A. 【变式4】（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知角满足，，且，则角属于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据题意，由三角函数在各个象限符号的正负，即可判断. 【详解】由，，得出为第四象限角， 所以， 则为第二象限角或第四象限角，又因为， 所以，则为第二象限角. 故选：B. 【变式5】（2024·全国·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可证，，得结论. 【详解】先证明：当时，.    如图，角终边为OP，其中点P为角的终边与单位圆的交点，轴，交x轴于点M， A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，轴，交角终边于点T， 则有向线段MP为角的正弦线，有向线段AT为角的正切线， 设弧长， 由图形可知：，即， 所以，即. 则，所以． 而，所以， 所以. 故选：D． 题型五 同角三角函数的基本关系 【典例1】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知α为锐角，若，则（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系，已知角的余弦值，求正切值. 【详解】已知知α为锐角，则， 则. 故选：C. 【典例2】（23-24高一上·贵州黔南·期末）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】A将题干中的式子平方即可；B结合的范围和可得为锐角，再利用计算即可；C利用AB选项的结果可计算；D利用两角和差的余弦公式即可. 【详解】由题意可得，，则，故A正确； 因，则， 因，则，即，则， 又， 则，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：AD 【典例3】（24-25高一上·天津·期末）已知，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】整体代入所求式子计算即可. 【详解】整体代入所求式子，得到. 故选：C. 【典例4】（24-25高一上·广东·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】齐次化变形，代入求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知，且是第三象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数关系即可求得结果. 【详解】因为，且是第三象限角，所以. 故选：D. 【变式2】（24-25高一上·内蒙古·期末）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由已知得的值，由此即可判断AB；求出的值即可判断C；再结合已知求出和的值，求出的值，由此即可判断 【详解】由已知可得，则，所以，故AB正确； 则①，故C正确； 又②，联立①②解得，则，故D错误. 故选：ABC. 【变式3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点在角的终边上，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义可得，即可根据弦切互化以及齐次式求解. 【详解】由题得， 所以原式. 故选：C 【变式4】（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角的正余弦平方关系化为齐次式可求值. 【详解】 . 故选：D. 题型六 诱导公式 【典例1】（24-25高一上·湖南岳阳·期末）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简，再代入特殊角的三角函数值即得. 【详解】. 故选：C. 【典例2】（24-25高一上·广东深圳·期末）是第四象限角，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，再由诱导公式计算可得. 【详解】由为第四象限角，，由诱导公式，， 故选：B． 【典例3】（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知角是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）在等式两边平方可得出的值，推导出，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值； （2）联立方程组解出、的值，利用同角三角函数的商数关系可求得的值； （3）利用诱导公式化简的表达式，结合（1）中的结论可得出的值. 【详解】（1）由得，则， 所以. 又因为角是第三象限角，则，， 所以，，所以. （2）由（1）可得解得，所以. （3）， 所以. 【典例4】（24-25高一上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点，已知. (1)若的纵坐标为，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）结合诱导公式进行化简，然后结合同角基本关系进行化简即可求解； （2）结合和差角公式及同角基本关系进行化简即可求解. 【详解】（1） ， ， 若的纵坐标为，则， 当时，时，； 当时，； 综上，或； （2）因为， 所以， ， . 【变式1】（24-25高一上·广东汕头·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式化简即可求出. 【详解】 , 故选： 【变式2】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正切的二倍角公式即可求解， （2）先用诱导公式化简，即可求解. 【详解】（1）由 （2） 【变式3】（24-25高一上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点． (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角函数的定义求出，再由齐次式化切得解； （2由同角三角函数的基本关系，弦化切得解. 【详解】（1）因为角的终边过点，所以， 原式. （2）原式 【变式4】（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数，其中. (1)化简； (2)若，求 的值； (3)若，求的值. 【答案】(1)且； (2)； (3)； 【分析】（1）应用诱导公式化简函数式即可； （2）由平方关系，将目标式化为关于正余弦的齐次式，再由弦化切，即可求值； （3）由已知得，两侧平方并化为，即可得. 【详解】（1）由且； （2）由题设及（1）知，而 （3）由题设，即， 所以，可得， 所以，即， 所以，即. 题型七 两角和差的直接应用 【典例1】（24-25高一上·河南洛阳·期末）（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】先应用诱导公式，再逆用两角和的正弦公式即可求值. 【详解】. 故选：C. 【典例2】（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式及正弦和角公式逆用可求值. 【详解】 . 故选：B. 【变式1】（24-25高一下·广东汕尾·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逆用差角的正弦公式求解. 【详解】. 故选：B 【变式2】（23-24高一上·广东深圳·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式结合两角和的正弦求解即可. 【详解】由诱导公式与两角和的正弦可得： . 故选：A 【变式3】（24-25高一上·浙江杭州·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两角和的正切公式的逆用结合诱导公式求解即可. 【详解】， 故选：D 题型八 拼凑思想的应用 【典例1】（2025·湖南·二模）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得的取值，结合角的范围以及平方和为1可计算，由两角和的余弦配凑角可求出结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以 . 故选：C 【典例2】（24-25高一上·河北沧州·期末）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据同角三角函数关系式和差角公式计算即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 因为，所以．所以， 所以，则． 故选：A. 【典例3】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）若角，满足，，且，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可得，，，，则，应用余弦倍角公式可得、，再应用正弦和角公式求，即可确定角的大小. 【详解】由，，则，， 由，，则，， 所以，，， ， 而，故. 故选：C 【变式1】（24-25高一上·广东广州·期末）已知则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先要根据已知角的范围求出相关角的余弦值，然后利用两角差公式将所求的转化为已知角的三角函数组合来求解. 【详解】已知，那么. 因为，根据，可得： . 把变形为. 由两角差公式可得： . 把，，，代入上式得： . 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为整体，可得，根据展开计算得到答案. 【详解】因为，则， 且，可得， 所以. 故选：A. 【变式3】（24-25高一下·上海青浦·期末）若、都是锐角，且，，则 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系计算，由，利用两角差的正弦公式即可求解. 【详解】由题意有，所以，又，， 所以， 所以 ，又，所以， 故答案为：. 【变式4】已知，均为锐角，且，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角差的正切公式求得正确答案. 【详解】∵β为锐角，且，∴，， 故， ∴，， 又， ∴. 故答案为： . 题型九 倍角公式 【典例1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式及逆用二倍角的余弦公式求解即可． 【详解】由． 故选：D． 【典例2】（24-25高一下·辽宁·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两边平方，可求得，再利用二倍角公式，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 即得，则， 故， 故选：A 【变式1】（24-25高一上·河南三门峡·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将已知等式进行化简，得到关于的表达式，再换元利用二倍角公式求出的值. 【详解】由可得. 因为，变形为.得到. 两边同时平方得，即. 设，则，即.解得或. 当时，，得到，. 当时，，得到， 由于，这种情况舍去. 故选：D. 【变式2】（2025·四川泸州·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令 ，联立，解出的值，再利用诱导公式以及倍角公式即得. 【详解】令 ，则 ， 由 ，可得 ，进而 ， 因此，， 利用诱导公式，， 联立 ，解得： 或. 当时， ， ， 则， 代入得； 当时， ， ， . 故选：B 【变式3】（24-25高一上·山东滨州·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用和角正弦公式及已知可得、，再由差角正弦公式得，最后利用二倍角余弦公式求函数值. 【详解】由， 由，则， 所以，又， 而， 所以. 故选：C 题型十 降幂公式 【典例1】已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合降幂公式、诱导公式进行求解即可. 【详解】解：由，，得， 所以． 故答案为： 【典例2】若，则 等于（    ） A．cos α－sin α B．cos α＋sin α C．－cos α＋sin α D．－cos α－sin α 【答案】D 【分析】利用降次公式化简求得表达式，求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：D 【变式1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用降幂公式和诱导公式化简可得答案. 【详解】，解得：， 故选：D 【变式2】已知，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据正弦二倍角公式，化简可得，结合降幂公式及诱导公式，代入即可求得的值. 【详解】由及正弦二倍角公式可知 由余弦降幂公式及诱导公式化简可得 故选：B. 【点睛】本题考查了正弦二倍角公式的简单应用，余弦降幂公式及诱导公式化简求三角函数的值，属于基础题. 【变式3】函数的最小正周期为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用降幂公式化简函数解析式，得出，再由周期公式求解即可. 【详解】 故最小正周期 故选：B 【点睛】本题主要考查了求余弦型函数的最小正周期，涉及降幂公式，属于基础题. 题型十一 半角公式 【典例1】已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出． 【详解】因为，而为锐角， 解得：． 故选：D． 【典例2】（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式得出，，根据半角公式求出，从而得出的值. 【详解】因为，， 所以. 根据半角公式， 所以. 故选：D. 【典例3】设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助，得出与所处区间及象限，结合三角恒等变换公式即可得. 【详解】，，， 故，又， . 故选：D. 【变式1】（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用半角公式，结合角的范围进行求解，得到答案. 【详解】，故，故， 所以. 故选：D 【变式2】数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如下图，点为半圆上一点，，垂足为，记，则由可以直接证明的三角函数公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形中的定义写出，用表示出，然后分析可得． 【详解】由已知，，则， 又，，，， 即，， 所以. 故选：B． 【变式3】已知，， 则= （    ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件切化弦，再利用二倍角的正余弦公式变形计算作答. 【详解】因，，则， 所以. 故选：D 题型十二 辅助角公式 【典例1】（24-25高一下·上海·月考）若函数在时取到最大值，则 ． 【答案】 【分析】根据辅助角公式，对函数进行恒等变换，判断何时取得最大值，再根据正余弦两角和差公式，和同角三角函数关系，求出角的正弦值，再根据二倍角公式，求出结果. 【详解】已知，其中， 当时，取得最大值，且， 可知， 则， 同理可得， 则. 故答案为：. 【典例2】（24-25高一上·安徽合肥·期末）若时，取得最大值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用二倍角公式和辅助角公式，化简，再代入求值. 【详解】因为（其中，） 所以. 当时取“”. 此时； ， 所以. 故选：A 【典例3】（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）函数在时函数取得最大值，则 ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式计算可得时满足题意，再利用诱导公式计算可得结果. 【详解】易知， 其中； 当时，取得最大值，此时需满足， 即可得，所以； 可知. 故答案为： 【变式1】（24-25高一下·山东济宁·期中）已知，函数的最大值为1，则 . 【答案】/ 【分析】根据两角和的余弦公式，结合辅助角公式可得，再根据辅助角性质求解即可. 【详解】由函数 其中，， 所以的最大值为，可得， 又，所以. 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·湖北十堰·期中）设当时，函数取得最大值，则 . 【答案】 【分析】根据题意利用辅助角公式可得，结合正弦函数最值分析求解. 【详解】因为， 令，， 则， 当，，即，时，取最大值， 此时，，所以. 故答案为：. 【变式3】24-25高一下·河南南阳·期末）设，已知，则 【答案】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数取最大值的条件求出辅助角的正余弦，利用差角的余弦求得答案. 【详解】依题意，，其中锐角由确定， 当且仅当，即时，取得最大值， 因此，， 所以. 故答案为： 【变式4】（24-25高一下·湖北·月考）已知函数在处取得最小值，则 . 【答案】 【分析】根据辅助角公式化简，其中，再利用和角的正弦公式可求值. 【详解】因为， 其中 因为函数在处取得最小值，则 则 ，即 ， 所以 故答案为： 题型十三 积化和差、和差化积 【典例1】 ． 【答案】 【分析】利用和差化积公式即可求解． 【详解】由． 故答案为：． 【典例2】（24-25高一下·河南南阳·期末）已知锐角满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用和差化积公式得到，再结合余弦函数性质求解不等式即可. 【详解】由和差化积公式得， 欲求，则求即可， 因为是锐角，所以，且， 故求即可，解得， 则，当时，， 而，得到，故B正确. 故选：B 【变式1】（22-23高二上·贵州·开学考试）设，，则 ． 【答案】 【分析】利用和差化积公式和正切的二倍角公式计算即可. 【详解】， ． 故答案为：. 【变式2】已知，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用和差化积公式及切化弦求解即得. 【详解】依题意，，则， 又，则 所以. 故选：B 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知扇形面积为1，圆心角为1弧度，则扇形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由弧长公式，扇形面积公式直接求解. 【详解】设扇形的弧长为，半径为， 则扇形的面积，又， 解得， 所以扇形的周长. 故选：C. 2．（24-25高一上·重庆·期末）已知扇形的周长为6，则该扇形的面积最大值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，即可得到，再由扇形面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为， 则，所以，由，可得， 所以扇形的面积为， 当且仅当, 即时，扇形的面积最大此时. 故选：A 3．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角的终边按逆时针方向旋转后落在射线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由角的定义和三角函数定义得，接着由诱导公式得，再由两角和余弦公式即可计算求解. 【详解】角的终边按逆时针方向旋转后落在射线上， 则， 则. 故选：A 4．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知角的终边过点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的定义即可求解； 【详解】由角的终边过点，可得：， 所以， 故选：D. 5．（24-25高一上·山西·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值和充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】由，解得，所以“”不是“”的充分条件； 若，则，故“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 6．（24-25高一上·四川广元·期末）已知角的终边经过点，则（   ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数定义得到正弦和余弦值，利用诱导公式化简，代入求值. 【详解】角的终边经过点，故，， 所以. 故选：A 7．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用弦化切可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】因为，解得. 故选：D. 8．（24-25高一上·重庆·期末）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：D 9．（25-26高一上·全国·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】. 故选：D 10．（24-25高一上·福建莆田·期末）的值为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用辅助角公式求解即可. 【详解】 . 故选：D. 二、多选题 11．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知，则下列说法正确的有（    ） A．为锐角 B．点在的终边上 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题中条件及平方关系式，解得，结合角的范围判断A；进而求得，可判断B，C；继而利用二倍角公式及两角差的正弦公式计算即可判断D. 【详解】由和， 解得，因为， 则，所以为锐角，A正确； 则，即，C正确； 可得， 由，可知点在的终边上，B错误； 由,， 所以，D正确. 故选：ACD. 12．（24-25高一上·甘肃·期末）若角的终边在第四象限，则的值可能为（    ） A．0 B．4 C．6 D． 【答案】CD 【分析】根据终边角的定义确定为第二象限角或第四象限角.分类讨论是第二、四象限角，结合三角函数的符号判断即可求解. 【详解】由角的终边在第四象限，得， 则，因此是第二象限角或第四象限角. 当是第二象限角时，； 当是第四象限角时，. 故选：CD. 三、解答题 13．（24-25高一上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点为点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点 (1)求的值； (2)求的值、 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据单位圆上的点的坐标特征列式计算求出，再根据角的定义计算即可； （2）先应用诱导公式化简，最后根据弦化切计算即可. 【详解】（1）因为角的终边与单位圆交于点 所以解得． 因为，所以． 由三角函数的定义知，． （2）原式= 14．（24-25高一上·广东广州·期末）（1）化简：； （2）已知是第三象限角，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）直接利用诱导公式化简得到答案； （2）先逆用两角和的正弦公式结合诱导公式得到的值，再利用同角三角函数关系结合所在象限角求得的值，最后通过两角和的余弦求即可. 【详解】（1） （2）由，得， ∴，即, ∵是第三象限角，∴. 所以 15．（24-25高一上·广东广州·期末）已知，且． (1)求，的值； (2)求的值； (3)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2); (3). 【分析】（1）利用同角平方公式及象限角确定符号来求值； （2）利用诱导公式化简，即可求值； （3）利用变单角为双角差，再用两角差余弦公式求值即可. 【详解】（1）因为，且，所以， 即； （2）由； （3）因为，，所以， 又因为，所以， 则. 期末重难突破练（测试时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·河北邯郸·期末）折扇在中国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化(如图1)，也是“运筹帷幄”“决胜千里”“大智大勇”的象征，图2为其结构简化图.若在圆形纸张上剪下一把扇形的扇子(扇形的半径和圆形纸张的半径相同)，记该扇形的面积为，剩下的图形面积为，若与的比值满足黄金分割值，则扇子的圆心角大约为（    ）（参考数据） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设扇形的圆心角为，半径为r，利用扇形及圆的面积公式化简求解． 【详解】设扇形的圆心角为，半径为r，则，， 所以，解得. 故选：C 2．（24-25高一上·陕西西安·期末）在单位圆中，已知角的终边上与单位圆的交点为，位于第几象限（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，可得． 【详解】在单位圆中，已知角的终边上与单位圆的交点为， 可得，， 则，， 即位于第一象限. 故选：A 3．（25-26高三上·黑龙江·月考）角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用任意角三角函数的定义得到，，再结合二倍角公式对目标式合理变形，进而求值即可. 【详解】由题意得角的终边经过点， 由任意角三角函数的定义得， ，，则， 由二倍角公式得 ，故C正确. 故选：C 4．（24-25高一下·湖南·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和角的余弦公式化简求出，再利用二倍角公式及齐次式法求解. 【详解】依题意，，整理得，即， 所以. 故选：C 5．（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）如图正方形ABCD的边长为1，，分别为边AB，DA上的点．当的周长为2时，（    ）（提示：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，，，则，，且的周长为2，即，利用三角函数的和差角公式计算即可. 【详解】设，，，，则，， 于是， 又的周长为2，即，变形得， 则，又，因此， 所以. 故选：C 6．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用积化和差公式得到，代入求值即可. 【详解】， 由积化和差得， 即， 故，解得. 故选：C 7．（23-24高一下·江苏南京·期末）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由知，由两角和的正弦公式展开并整理得到，再利用得到，由基本不等式得. 【详解】若，则， 所以， 所以，即， ， 若使得取得最大值，不妨设， 则， 当且仅当，即时取等号. 故选：D. 【点睛】方法点睛：三角函数中的凑角技巧 ； ； . 8．（25-26高二上·山西·开学考试）若，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用“平方关系”可得，，注意符号看象限，再根据变形结合两角和差公式即可得出． 【详解】因为，则，且， 可得，且； 又因为，则， 且，可得； 所以 ． 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高一上·山西长治·期末）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】通过诱导公式化简可判断AB，通过齐次式法求值可判断C，将已知等式平方可判断D. 【详解】，故A错误，B正确； 若，则，故C正确； 若，两边取平方，整理得：，即， 即，故D正确； 故选：BCD. 10．（24-25高一上·山东德州·期末）已知角满足，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由已知条件可得，然后利用同角三角函数的关系求出，再化简计算即可得答案 【详解】由，得， 所以，则， 化简整理得， 所以，或， 当时，， 所以当时，， 当时，， 当时，， 故选：ACD 11．（24-25高一上·浙江金华·期末）已知实数满足，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A，由条件变形即可得；对于B，由条件得x的范围，进而构造三角函数求值域即可得；对于C，分析与大小，作差即可得；对于D，通过余弦函数单调性质比较大小即可得. 【详解】对于A，因为，得，即，A正确； 对于B，，因为， 得，， ，，B正确； 对于C，由B分析可知：， ， ，即大小不定，C错误； 对于D，由B，，，， 从而得， 在递减，，D正确. 故选：ABD. 12．（24-25高一下·江苏南通·期中）下列式子中正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对A，利用正切的二倍角公式化简；对B，利用两角和的正切公式化简；对C和D，利用二倍角公式和辅助角公式化简. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD. 13．（24-25高一下·山东临沂·期末）已知，为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用三角函数的两角和差公式和同角三角函数的基本关系逐项计算即可. 【详解】对于A，，故， 则，故故A错误； 对于B，故B正确； 对于C， ，故， 因为，为锐角，所以，故， 故 所以故C正确； 对于D，由B知，，故 所以 故，故D正确. 故选：BCD 三、解答题 14．（25-26高三上·辽宁大连·期中）计算求值. (1)已知，求的值. (2)若，且，求下列式子的值. （i）；（ii）. 【答案】(1). (2)（i），（ii）. 【分析】（1）由诱导公式化简原式，然后代入求值； （2）由同角三角函数的关系求出，（i）分子分母同除，得到关于的代数式，然后代值求结果；（ii）由诱导公式化简代数式，然后代值求结果. 【详解】（1） （2）∵ ∴， 则 （i） （ii） 15．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知角α的终边经过点． (1)求，，的值； (2)求的值； (3)已知α、β是锐角，且满足，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）应用三角函数的定义计算求解； （2）应用诱导公式结合弦化切计算求值； （3）应用两角和正弦公式结合同角三角函数关系计算求值. 【详解】（1）由三角函数的定义：，， （2）原式 （3）因为α，，所以 因为，所以， 所以 所以 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出． 【详解】因为，而为锐角， 解得：． 故选：D． 二、填空题 7．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解. 【详解】因为，， 所以的终边关于轴对称，且不与轴重合， 故且， 即， 故取可满足题设要求； 故答案为：；（答案不唯一） 8．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ． 【答案】 【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解. 【详解】因为在上单调递增，若，则， 取， 则，即， 令，则， 因为，则， 即，则. 不妨取，即满足题意. 故答案为：. 9．（2023·上海·高考真题）已知，则= . 【答案】/ 【分析】由正切的倍角公式求解 【详解】已知，则. 故答案为： 10．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ． 【答案】 【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果. 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 （期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 9.1 角的概念推广与弧度制 能理解任意角的概念，掌握角度与弧度的互化，并能计算弧长与扇形面积。 基础概念题，常与后续三角函数结合考查。 9.2 任意角的三角函数定义（单位圆定义与坐标定义） 能根据角终边上点的坐标或单位圆上的点求三角函数值。 定义理解题，易错在于符号判断。 9.3 同角三角函数的基本关系（sin²θ + cos²θ = 1，tanθ = sinθ/cosθ） 能利用同角关系进行求值、化简和证明。 高频计算题，常与齐次式结合考查。 9.4 诱导公式的理解与应用（奇变偶不变，符号看象限） 能利用诱导公式化简三角函数式或求值。 必考点，符号判断是易错点。 9.5 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 能熟练运用公式进行化简、求值与证明。 中档题，公式记忆与变形是关键。 9.6 二倍角公式及其变形 能利用二倍角公式进行化简、求值与证明。 常与三角恒等变换综合考查。 9.7 简单的三角恒等变换（辅助角公式、降幂公式） 能将 asinx + bcosx 化为 Rsin(x + φ) 形式，或利用降幂公式化简。 中档难点，常见于解答题中。 9.8 三角函数式的化简与求值 能综合运用各种公式进行三角函数式的化简与求值。 综合性较强，常作为中等解答题出现 知识点01 特殊角的三角函数值 知识点02 同角三角函数的基本关系 平方关系： 商数关系： 知识点03 正弦的和差公式 ， 知识点04 余弦的和差公式 ， 知识点05 正切的和差公式 ， 知识点06 正弦的倍角公式 知识点07 余弦的倍角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 知识点08 正切的倍角公式 知识点09 推导公式 知识点10 辅助角公式 ，，其中， 题型一 终边相同的角 【典例1】（24-25高一上·山西·期末）与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·湖南邵阳·期末）用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·辽宁辽阳·月考）下列各角中，与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·期末）在平面直角坐标系中，两个角与的终边重合，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一下·四川成都·月考）与角终边相同的角的集合是（   ） A． B． C． D． 题型二 象限角与轴线角 【典例1】（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例2】（24-25高一上·贵州毕节·期末）若是钝角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式1】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知角，那么的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（24-25高一上·宁夏固原·期末）若是第三象限角，则是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）设集合，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三 扇形中的弧长与面积公式 【典例1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·全国·期末）如图所示的图形形似水滴，它是由线段和圆的优弧围成的，其中恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·河北保定·期末）在某中学2025年“创意之光”文创设计大赛中，一名学生设计了一把“紫堡文创”扇子．其扇面可以近似的理解为扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇面的近似面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·湖北·期末）已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 【变式3】（24-25高一上·江苏无锡·期末）如图所示，省锡中数学社团用数学软件制作的“蚊香”图.画法如下：作一个边长为1的等边，然后以B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧，再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……，以此类推，当得到的“蚊香”恰好有5段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ） A． B． C． D． 题型四 任意角的三角函数 【典例1】（24-25高一上·贵州毕节·期末）（多选）已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·安徽宿州·期末）点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例3】（24-25高一上·山东德州·期末）已知命题为锐角；命题且；则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例4】（24-25高一上·江苏·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·河北承德·期末）（多选）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D．为第四象限角 【变式2】（24-25高一上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·广东广州·期末）已知命题，命题为第三象限或第四象限的角，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4】（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知角满足，，且，则角属于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5】（2024·全国·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 题型五 同角三角函数的基本关系 【典例1】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知α为锐角，若，则（ ） A． B．2 C． D． 【典例2】（23-24高一上·贵州黔南·期末）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高一上·天津·期末）已知，则（   ） A． B． C． D．3 【典例4】（24-25高一上·广东·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知，且是第三象限角，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·内蒙古·期末）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点在角的终边上，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式4】（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 题型六 诱导公式 【典例1】（24-25高一上·湖南岳阳·期末）的值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·广东深圳·期末）是第四象限角，，则（   ）． A． B． C． D． 【典例3】（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知角是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值. 【典例4】（24-25高一上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点，已知. (1)若的纵坐标为，求的值； (2)若，求的值. 【变式1】（24-25高一上·广东汕头·期末）（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【变式3】（24-25高一上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点． (1)求的值； (2)求的值 【变式4】（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数，其中. (1)化简； (2)若，求 的值； (3)若，求的值. 题型七 两角和差的直接应用 【典例1】（24-25高一上·河南洛阳·期末）（   ） A． B． C． D．1 【典例2】（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·广东汕尾·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·广东深圳·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·浙江杭州·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 题型八 拼凑思想的应用 【典例1】（2025·湖南·二模）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·河北沧州·期末）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）若角，满足，，且，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·广东广州·期末）已知则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一下·上海青浦·期末）若、都是锐角，且，，则 ． 【变式4】已知，均为锐角，且，，则的值是 ． 题型九 倍角公式 【典例1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一下·辽宁·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·河南三门峡·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·四川泸州·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·山东滨州·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型十 降幂公式 【典例1】已知，，则 ． 【典例2】若，则 等于（    ） A．cos α－sin α B．cos α＋sin α C．－cos α＋sin α D．－cos α－sin α 【变式1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则 A． B． C． D． 【变式3】函数的最小正周期为（    ）. A． B． C． D． 题型十一 半角公式 【典例1】已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【典例2】（   ） A． B．0 C． D． 【典例3】设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如下图，点为半圆上一点，，垂足为，记，则由可以直接证明的三角函数公式是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，， 则= （    ） A．2 B．-2 C． D． 题型十二 辅助角公式 【典例1】（24-25高一下·上海·月考）若函数在时取到最大值，则 ． 【典例2】（24-25高一上·安徽合肥·期末）若时，取得最大值，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）函数在时函数取得最大值，则 ． 【变式1】（24-25高一下·山东济宁·期中）已知，函数的最大值为1，则 . 【变式2】（24-25高一下·湖北十堰·期中）设当时，函数取得最大值，则 . 【变式3】24-25高一下·河南南阳·期末）设，已知，则 【变式4】（24-25高一下·湖北·月考）已知函数在处取得最小值，则 . 题型十三 积化和差、和差化积 【典例1】 ． 【典例2】（24-25高一下·河南南阳·期末）已知锐角满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二上·贵州·开学考试）设，，则 ． 【变式2】已知，则（    ） A． B． C． D．1 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知扇形面积为1，圆心角为1弧度，则扇形的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆·期末）已知扇形的周长为6，则该扇形的面积最大值为（    ） A． B． C．2 D．1 3．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角的终边按逆时针方向旋转后落在射线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知角的终边过点，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·山西·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．（24-25高一上·四川广元·期末）已知角的终边经过点，则（   ） A．8 B． C． D． 7．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·重庆·期末）已知，则（ ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·全国·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·福建莆田·期末）的值为（ ） A．1 B． C． D．2 二、多选题 11．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知，则下列说法正确的有（    ） A．为锐角 B．点在的终边上 C． D． 12．（24-25高一上·甘肃·期末）若角的终边在第四象限，则的值可能为（    ） A．0 B．4 C．6 D． 三、解答题 13．（24-25高一上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点为点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点 (1)求的值； (2)求的值、 14．（24-25高一上·广东广州·期末）（1）化简：； （2）已知是第三象限角，求的值. 15．（24-25高一上·广东广州·期末）已知，且． (1)求，的值； (2)求的值； (3)已知，且，求的值． 期末重难突破练（测试时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·河北邯郸·期末）折扇在中国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化(如图1)，也是“运筹帷幄”“决胜千里”“大智大勇”的象征，图2为其结构简化图.若在圆形纸张上剪下一把扇形的扇子(扇形的半径和圆形纸张的半径相同)，记该扇形的面积为，剩下的图形面积为，若与的比值满足黄金分割值，则扇子的圆心角大约为（    ）（参考数据） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西西安·期末）在单位圆中，已知角的终边上与单位圆的交点为，位于第几象限（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26高三上·黑龙江·月考）角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·湖南·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）如图正方形ABCD的边长为1，，分别为边AB，DA上的点．当的周长为2时，（    ）（提示：） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·江苏南京·期末）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·山西·开学考试）若，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·山西长治·期末）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．（24-25高一上·山东德州·期末）已知角满足，则（   ） A．0 B． C． D． 11．（24-25高一上·浙江金华·期末）已知实数满足，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·江苏南通·期中）下列式子中正确的是（    ）. A． B． C． D． 13．（24-25高一下·山东临沂·期末）已知，为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题 14．（25-26高三上·辽宁大连·期中）计算求值. (1)已知，求的值. (2)若，且，求下列式子的值. （i）；（ii）. 15．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知角α的终边经过点． (1)求，，的值； (2)求的值； (3)已知α、β是锐角，且满足，求的值． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ． 8．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ． 9．（2023·上海·高考真题）已知，则= . 10．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $