精品解析：陕西省洛南中学2025-2026学年高一上学期第二次月考（12月）数学试题

陕西省洛南中学 2025—2026学年度第一学期第二次月考 高一数学试题 一、单选题（本题共8.小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列各角中，与终边相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 已知，则（ ） A. -1 B. -3 C. D. 5. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则，，的大小关系是（ ）. A. B. C. D. 7. 已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，函数，若任意的，均存在，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. “”的一个充分不必要条件可以是（　　） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 函数与的图象关于对称 C. 为奇函数 D. 函数单调递增区间为， 11. 已知定义在上的函数满足且，若时，，则下列选项正确的有（ ） A. 满足 B. 的图象关于对称 C. D. 函数在区间上所有的零点之和为2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则________． 13. 若，则_____. 14. 函数，若a，b，c，d互不相同，且，则abcd的取值范围是________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）求值：.（注意：第一项的指数是，不是） （2）化简：. 16. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 17. 已知函数，. （1）若，求函数的单调递减区间； （2）若函数的定义域为，求实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）求方程的解； （2）若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围； （3）若将区间划分成2025个小区间，且满足，使得和式恒成立，试求出实数的最小值并说明理由. 19. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是.给定函数. （1）证明函数图象的对称中心为； （2）求不等式的解集； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省洛南中学 2025—2026学年度第一学期第二次月考 高一数学试题 一、单选题（本题共8.小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据集合交集与补集的运算定义进行求解即可. 【详解】已知， 由，得：. 故选：A 2. 下列各角中，与终边相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据终边相同的角的定义可得答案. 【详解】对于A，因，故A错误； 对于B，因，故B正确； 对于C，因，故C错误； 对于D，因，故D错误. 故选：B 3. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式计算求解. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号． 故选：B． 4. 已知，则（ ） A. -1 B. -3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用弦切互化可求三角函数的值. 【详解】， 故选：D. 5. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 对于选项,差的符号不确定，所以该选项不正确； 对于选项,，所以该选项不正确； 对于选项,，所以该选项正确. 【详解】对于选项，符号不确定，所以该选项不正确； 对于选项，符号不确定，所以该选项不正确； 对于选项,，所以，所以该选项不正确； 对于选项,，所以，所以，所以该选项正确. 故选：D 【点睛】方法点睛：比较实数大小常用的方法有：（1）作差比较法（作差化简差与零比下结论）；（2）作商比较法（作商化简差与1比下结论）. 6. 设，，，则，，的大小关系是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质比较大小. 【详解】依题意，，所以. 故选：B 7. 已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数是上的增函数，每一段函数都为增函数，且在断点处，右边的函数值不小于左边的函数值求解. 【详解】由题意，， 在中，函数在上是增函数， ， 解得. 故选：A. 8. 已知函数，函数，若任意的，均存在，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出在上的值域及在上的值域，则可得，计算即可得解. 【详解】， 由，则， 当时，则， 则， 由任意的，均存在，使得， 则有，即. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. “”的一个充分不必要条件可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】解分式不等式结合充分条件、必要条件的概念判定选项即可. 【详解】由，得， 根据充分不必要条件的定义可知AB符合题意. 故选：AB 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 函数与的图象关于对称 C. 为奇函数 D. 函数单调递增区间为， 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据命题与命题的否定直接判断即可；对于B，根据互为反函数的两个函数图象关于原点对称判断即可；对于C，根据奇函数定义判断即可；对于D，根据二次函数单调性判断即可； 【详解】因为命题“，”的否定是“，”，故A错误； 函数与互为反函数， 故其图象关于对称，故B正确； 因为，可求得定义域为关于原点对称， 又，故函数为奇函数，故C正确； 因为， 所以函数的单调递增区间为，和，故D正确． 故选：BCD． 11. 已知定义在上的函数满足且，若时，，则下列选项正确的有（ ） A. 满足 B. 的图象关于对称 C. D. 函数在区间上所有的零点之和为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用已知条件结合函数奇偶性即可推出选项A，利用函数周期性与对称性分析即可得出选项B，利用已知条件结合函数的周期性和对数运算性质即可得出选项C，令函数，问题转化为函数图象交点问题，结合函数对称性、单调性、奇偶性分析得出即可. 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以， 又定义在上的函数满足， 即，所以函数为奇函数， 所以， 所以，故A选项正确； 由，所以函数的周期为， 所以， 即， 所以的图象关于对称，故B选项正确； 由函数的周期为，， 当时，函数， 所以 ，故C选项正确； 当时，函数单调递增且值域为， 因为， 所以函数的图象关于对称， 所以函数在上单调递减且值域为， 又因为函数是奇函数， 所以函数在上的图象关于对称且值域为， 令函数， 则函数与函数在区间上有两个不同交点， 且两个交点的横坐标关于对称， 所以， 即函数在区间上所有的零点之和为，故D选项不正确； 故选：ABC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据对数函数单调性确定的范围，即可根据分段函数的求值得出答案. 【详解】根据对数函数单调性可得：， ， 故答案为：6. 13. 若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由诱导公式求解． 【详解】， 故答案为： 14. 函数，若a，b，c，d互不相同，且，则abcd的取值范围是________. 【答案】． 【解析】 【分析】 作出函数的图象，得出的单调性，作出一直线与的图象有四个交点，得的关系，由此可求得的范围． 【详解】由的解析式知在和上递减，在和上递增，作函数的图象，再作一直线与的图象有四个交点，横坐标从小到大依次为， 由图知，，，，， ∴，此函数在上递增， ∴，即． 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题考查函数零点与方程根的问题，解题方法是数形结合思想方法，作出函数图象，确定函数的性质，得出四个数的关系及范围，由此易求得结论． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）求值：.（注意：第一项的指数是，不是） （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由指数对数运算公式化简可得答案. （2）由诱导公式化简可得答案. 【详解】（1） （2）原式为： 由诱导公式得， ，，， ， ， 代入原式可得 16. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）代入计算后得到集合，再根据交集含义即可得到答案； （2）根据求出集合，再根据集合的包含关系求解即可. 【小问1详解】 ，所以 当时，，解得，则. 【小问2详解】 若，则， 若，则. 17. 已知函数，. （1）若，求函数的单调递减区间； （2）若函数的定义域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先求出函数的义域为或，再利用复合函数的单调性原理求函数的单调减区间；（2）等价于在R上恒成立，利用一元二次函数的图象和性质分析得解. 【详解】（1）若，, 函数的定义域为或， 由于函数是定义域上的增函数， 所以的单调递减区间等价于函数或的减区间， 或的减区间为， 所以函数的单调递减区间. （2）由题得在R上恒成立， 当时，2＞0恒成立，所以满足题意； 当时，，所以. 综合得 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性和二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18. 已知函数. （1）求方程的解； （2）若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围； （3）若将区间划分成2025个小区间，且满足，使得和式恒成立，试求出实数的最小值并说明理由. 【答案】（1） （2） （3）6，理由如下： 由题，在区间上是严格增函数，    对任意划分， ，                                                                  实数的最小值为. 【解析】 【分析】（1）解方程即可； （2）将问题转化为在上有实数解，求函数在上的值域即可得解； （3）根据函数单调性分析最值即可得解. 【小问1详解】 由得 得. 【小问2详解】 由题可得在上有实数解， 函数在上是严格增函数     又   . 【小问3详解】 6，理由略. 19. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是.给定函数. （1）证明函数图象的对称中心为； （2）求不等式的解集； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） 因为 ， 所以函数图象的对称中心为. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）利用函数单调性的定义即可判断函数单调递增，且，则不等式可以转化为，解二次不等式即可； （3）根据函数的单调性可得在上的值域为，问题转化为在上的值域，求出，列不等式组求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 任取， 则 ， 由于，所以， 所以， 故函数在递增. 因为，且， 所以，即，解得或， 故不等式的解集为. 【小问3详解】 由已知，的值域为值域的子集， 由（2）知在上递增，且， 故在上的值域为. 于是原问题转化为在上的值域. 的对称轴为, 因为，所以 ， 所以在上单调递增，且. 因为函数的图象关于点对称， 所以在上亦单调递增，而， 所以在上单调递增. 因为函数的图象关于点对称， 所以， 所以，得， 所以. 因为， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $