第十九章二次根式综合单元测试卷 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第十九章二次根式综合单元测试卷 一、单选题 1．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的判断，根据形如的式子叫做二次根式进行判断即可． 【详解】解：A、被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、被开方数，不是二次根式，不符合题意； D、，形式不符合，不是二次根式，不符合题意， 故选：B． 2．下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 被开方数，不是二次根式，不合题意； B. 是三次根式，不合题意； C. 被开方数a不能保证大于或等于0，故不一定是二次根式，不合题意； D. 是二次根式，符合题意． 故选：D 3．计算的结果是（   ） A． B．6 C．8 D．4 【答案】D 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键，利用平方根的性质 计算即可得到答案． 【详解】解：∵ ， 故选：D． 4．计算的结果是（    ） A．3 B．6 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法是解题的关键；利用二次根式的除法性质，将除法转化为根号内的除法进行计算即可． 【详解】解：； 故选C． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算是解题的关键．根据二次根式的运算法则运算即可解答． 【详解】解：A. ，选项计算错误，故不符合题意； B. ，选项计算错误，故不符合题意； C. ，选项计算正确，故符合题意； D. ，选项计算错误，故不符合题意； 故选：C． 6．下列二次根式中与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、与是同类二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 7．下列二次根式中，与 互为有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理化因式，根据有理化因式需满足相乘后结果为有理式，对于，其有理化因式应为本身或相反数，因平方后可得有理式或，即可得出结果． 【详解】解：∵，结果为有理式， ∴ 与 互为有理化因式； 故选A． 8．若x，y都是实数，且，则的值是（   ） A．0 B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数非负，求出的值，再代入方程求出的值，最后计算出的值即可． 【详解】解：∵和 都有意义， ∴ 且， ∴ 且， ∴ ． ∴， ∴， ∴． 故选C． 9．计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 10．已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可． 【详解】设（为非负整数）， 则， 即， ∵为自然数， ∴， 即， 完全平方数的可能值为，对应， 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（对应选项B）； 故选B． 二、填空题 11．写出一个大于2的最简二次根式 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查实数的大小比较，根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴大于2的最简二次根式可以为， 故答案为：（答案不唯一） 12．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质，，再比较和的大小，取绝对值． 【详解】解： 故答案为． 13．比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，熟练掌握“通过平方转化为有理数（或含根式的整式）比较大小”是解题的关键． 通过平方两个根式表达式，比较平方值的大小，进而判断原式的大小关系． 【详解】解：设，． ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 均为正数， ∴ ，即， 故答案为：． 14．已知最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式的定义． 根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式可以合并的条件是被开方数相同． 【详解】解：由题意，与可以合并， 因此它们是同类二次根式， 故被开方数相等， 即， 解方程：， 移项得， 解得． 故答案为：4． 15．已知，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将代数式转化为，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：2025． 16．已知，，则的值为 ． 【答案】8 【分析】此题考查二次根式的化简求值，化简二次根式是解决此题的关键． 将所求表达式化简，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：8． 三、解答题 17．判断下列二次根式是不是最简二次根式．若不是，请化简． ，，，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是二次根式的化简、掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据题意判断即可． 【详解】解：是最简二次根式； 不是最简二次根式，化简为； 是最简二次根式； 不是最简二次根式，化简为； 不是最简二次根式，化简为． 18．已知一个长方形的长为，宽为．求它的面积． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法． 根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：． 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了实数运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）利用二次根式乘除运算法则计算即可求出答案； （）利用化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂、有理数乘方分别化简，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先计算根式、零次幂、负整数幂，再计算加减法； （2）先计算二次根式乘法、去绝对值，利用平方差公式进行化简，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，分母有理化，已知字母的值求代数式的值．正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，则，化简，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ； 把代入， 得． 22．【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题10分） 化简：． 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式． 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】（1）  (2) 【分析】本题主要考查了化简二次根式，数轴，绝对值化简等知识，熟练掌握二次根式有意义的条件和绝对值的化简，是解题的关键． （1）根据二次根式被开方数有意义的条件得出不等式从而解出的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答． （2）由数轴得出、、的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴原式， ， ， ． （2）∵实数在数轴上的位置如图所示， ∴，， ∴原式， ， ． 23．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义． （1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可； （2）把变形为，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． ∵是8的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 24．项目主题：面积公式的实际应用 素材一：古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，） 素材二：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长） 任务一：若一个三角形三边长依次为7，8，9，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形三边长依次为7，6，9，即，，， ∴＝______（填最终结果） 根据海伦公式可得＝______（结果化到最简） 任务二：请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 【答案】任务一：11，；任务二： 【分析】本题考查二次根式的应用，正确计算是关键． 任务一：把数值代入直接计算即可； 任务二：先求出，，，再代入秦九韶公式计算即可． 【详解】解：任务一：∵一个三角形三边长依次为7，6，9，即，，， ∴， 根据海伦公式可得 ， 故答案为：11，； 任务二：设三角形的三边长分别是，，， ，，， 秦九韶公式： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $第十九章二次根式综合单元测试卷 一、单选题 1.下列各式是二次根式的是() A.√4 B.5 C.√2-π D 2.下列式子中，一定是二次根式的是(). A.√-2 B.4 C.a D 3.计算√⑧×√2的结果是() A.16 B.6 C.8 D 4.计算12÷√5的结果是() A.3 B.6 C.2 5.下列计算正确的是() A.⑧+√2=10 B.⑧-2=6 C.√⑧x2=4 D.⑧÷2=2 6.下列二次根式中与√2是同类二次根式的是() A.V12 B. 3 C.阿 0 7.下列二次根式中，与√a+b互为有理化因式的是() A.-a+b B.a-b C.√a-√b D. 8.若x,y都是实数，且V2x-1+V1-2x+y=4,则y的值是() A.0 B. C.2 D 9.计算： 等于() B. c D 10.已知√13-m是整数，则自然数m的值可以是() A.3 B.4 C.5 D. 二、填空题 11.写出一个大于2的最简二次根式·（写出一个即可） 试卷第1页，共3页 9 √7 4 √2 √18 a+√b 不能确定 bab 6 12.计算： 2-= 13.比较大小：√5+√√6+√0（填“>“<”或“=”）. 14.已知最简二次根式√2x-3与5可以合并，则x的值是 15.已知x=√2025-1，则代数式x2+2x+1的值为_ 16.已知a+b=8,ab=1,则， b 的值为一 三、解答题 17.判断下列二次根式是不是最简二次根式.若不是，请化简. ,5,⑧，02, 3 18.已知一个长方形的长为5，宽为5.求它的面积. 19.计算： 22x55N2: 4 ②1-(+2025°++-2. 20.计算： 04+32023--得： (②)2x6+5-2-(5+25-2. Vx2-4x+4 1 21.先化简再求值： ,其中x= x2-4 2+√5 22.【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题.（本题 10分) 化简：(-3x2-1-x. 解：隐含条件1-江≥0，解得x≤写 所以1-x>0. 所以原式=(1-3x)-(1-x)=1-3x-1+x=-2x. 【启发应用】(1)按照上面的解法，试化简：√x2-8x+16-(3-x)2. 试卷第1页，共3页 【类比迁移】(2)实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简Vb2+V(a-b)2-b-a: 23.二次根式√28与最简二次根式√2a+1是同类二次根式，b是8的立方根， (1)求a+3b的平方根： (2)若x=√b-a,求x2+6x+7的值. 24.项目主题：面积公式的实际应用 素材一：古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式 s=Vp(D-a川p-b(P-c(其中a,b,c为三角形的三边长，p=a+b+C) 2 素材二：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式： 其中a,b,c为三角形的三边长) 任务一：若一个三角形三边长依次为7,8,9，求这个三角形的面积.小明利用海伦公式很 快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整. 解：：一个三角形三边长依次为7,6,9，即a=7,b=6,c=9, “·p=2a+b+c=7+6+9)=一（填最终结果） 根据海伦公式可得S=√pp-a)(p-b)(p-c=(结果化到最简) 任务二：请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是√7，√5，√，求这 个三角形的面积. 试卷第1页，共3页