四川省仁寿第一中学校南校区2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2024级高二12月月考 数学试题 本试卷满分150分,考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前,务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效． 5．考试结束后,只将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的． 1．某种细菌在生长过程中,每分钟分裂一次（由一个分裂为两个）,经过50分钟后,此细菌可由一个分裂成 A．个 B．个 C．个 D．个 2．已知随机变量X服从正态分布,则 参考数据：, A．0.3413 B．0.4772 C．0.6826 D．0.9544 3．已知数列满足对任意的,都有．若,则 A．1 B．2 C．3 D．4 4．曲线在点处的切线斜率为 A．2 B．1 C． D． 5．已知随机变量服从二项分布,且,则 A．10 B．16 C．18 D．20 6．抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子,在已知甲骰子的点数为偶数的条件下,乙骰子的点数小于甲骰子的点数的概率为 A． B． C． D． 7．一植物园的参观路径如图所示,若要全部参观并且路线不重复,则不同的参观路线共有 A．8种 B．48种 C．192种 D．384种 8．已知数列满足,,,若数列的前项和为,不等式恒成立,则的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分． 9．下面说法正确的是 A．若,,…,是等差数列,则这些数的中位数与平均数相等 B．已知是随机变量,则 C．在残差图中,残差点分布的水平带状区域越窄,说明模型的拟合精度越高 D．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强,则线性相关系数r的值越接近于1 10．已知,若,则下列选项正确的是 A． B． C．除以6所得余数为5 D． 11．已知,下列说法正确的是 A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为 C．的极大值为 D．方程有两个不同的解 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分． 12．已知为等差数列,,则 ． 13．已知某地市场上供应的一种电子产品中,甲厂产品占80%,乙厂产品占20%,甲厂产品的合格率是70%,乙厂产品的合格率是80%,则从该地市场上买到一个合格产品的概率是 ． 14．若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立,则当取最大值时,实数 ． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知等差数列的公差不为零,,且,,成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为,数列的前项和为,若,求的最大值． 16．（15分） 某种机械设备随着使用年限的增加,它的使用功能逐渐减退,使用价值逐年减少,通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用,称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限（单位：年） 2 4 5 6 8 失效费（单位：万元） 3 4 5 6 7 （1）根据上表数据,计算与的相关系数,并说明与的线性相关性的强弱． （已知：,则认为与线性相关性很强；,则认为与线性相关性一般；,则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001） （2）求关于的线性回归方程,并估算该种机械设备使用10年的失效费． 附：样本的相关系数,经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为,． 17．（15分） 据世界田联官方网站消息,原定于2023年5月13、14日在中国广州举办的世界田联接力赛延期至2025年4月至5月举行．据了解,甲、乙、丙三支队伍将会参加2025年4月至5月在广州举行的米接力的角逐．接力赛分为预赛､半决赛和决赛,只有预赛､半决赛都获胜才能进入决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和． （1）甲、乙、丙三队中,谁进入决赛的可能性最大； （2）设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为,求的分布列． 18．（17分） 已知（e为自然对数的底数）． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时,恒成立； （3）已知,如果当时,恒成立,求的最大值． 19．（17分） 马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名,其过程具备“无记忆”的性质,即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关,为了避免就餐聚集和减少排队时间,某校开学后,食堂从开学第一天起,每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择,已知他第一天选择米饭套餐的概率为,而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为,前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为,如此往复． （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为； ① 证明：为等比数列； ② 当时,恒成立,求取值范围． 试卷第2页，共7页 数学试题 第1页（共4页） 数学试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二12月月考 数学 参考答案 一、选择题：（每小题5分,共40分） 1．D; 2．B; 3．D; 4．A; 5．D; 6．C; 7．D; 8．D． 二、选择题：（每小题6分,共18分） 9．AC; 10．ACD; 11．BC． 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分． 12．2; 13．0.72（或者填：）; 14．． 7．解：由题意，若要全部参观并且路线不重复，可得分为四步： 第1步，选择四个“环形”路线中的一个，有4种选法，再按顺时针和逆时针方向参观有2种选法，共有； 第2步，选择三个“环形”路线中的一个，有3种选法，再按顺时针和逆时针方向参观有2种选法，共有； 第3步，选择两个“环形”路线中的一个，有2种选法，再按顺时针和逆时针方向参观有2种选法，共有； 第4步，最后一个“环形”路线，按顺时针和逆时针方向参观有2种选法，共有， 由分步计数原理，则不同的参观路线共有种不同的路线. 8．解：因为数列满足，， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以，记， 则，即 当为偶数时，， 当为奇数时，， 因为不等式恒成立，即， 所以， 所以，， 所以解得，所以的取值范围为. 14．解：由题意可知，令， 当时，研究函数与的图象， 因为，当时，，所以函数单调递减， 当时，，所以函数单调递增， 所以函数有最小值为， 而为单调递减的直线，如图， 此时不恒成立，不符合题意； 当时，， 令，， 易知在上单调递减，在上单调递增， 且由于函数有最小值为，所以当时，方程有解， 设解为，则，且， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 由题意恒成立，所以， 所以， 当且仅当时取等号，此时. 方法二：即恒成立， 考虑函数图象，的几何意义是直线的横截距， 显然，直线经过点且与曲线相切时取最小，取最大值， 此时． 四、解答题：（共77分） 15．解：（1）设的公差为，则 ，解得或（舍去） 即的通项公式为； （2），， 由，即，解得 的最大值为98． 16．解：（1）由表知，，， ， ，， ， 故，认为与线性相关性很强. （2）由（1）知，， 又，， 故关于的线性回归方程为， 当时，，即10年的失效费用为8.5万元. 17．解：（1）甲队进入决赛的概率为， 乙队进入决赛的概率为， 丙队进入决赛的概率为， 显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大． （2）由（1）可知：甲､乙､丙三队进入决赛的概率分别为， 的可能取值为， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 18．解：（1）由已知， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）， 设，， 则，所以在上单调递增， 所以，即， 所以当时，恒成立； （3）当，时，， 令，，则， 令，则，所以在上单调递增， 令，得，令，得， 当，即时，在上单调递增， 所以，即恒成立， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，不符合恒成立， 所以， 所以当时，恒成立，的最大值为. 19．解：（1）设为“第天选择米饭套餐”，为“第天选择米饭套餐”，则为“第1天不选择米饭套餐”， 根据题意， 由全概率公式得：. （2）①设为“第天选择米饭套餐”，则， 根据题意， 由全概率公式得： ， 因此，因为， 所以是以为首，为公比的等比数列． ②由①可得， 当为大于的奇数时， 当为正偶数时， 因此，当时，，所以． 试卷第2页，共7页 数学 参考答案 第1页（共4页） 数学 参考答案 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $