第三章 勾股定理 期末复习强化练习 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年江苏省八年级上学期数学第三章《勾股定理》期末复习强化练习 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）下列四组数中是勾股数的一组是（　　） A．，， B．，， C．5，， D．，， 2．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）下列条件中不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理 C．三角形全等判定 D．等腰三角形判定 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如果m表示大于1的整数，设，，，，其中任选三个数能构成勾股数的为（   ）． A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的周长为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）勾股定理是数学史上的一颗玻璃珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅瑴成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在中，，四边形，，均为正方形，与相交于点，可以证明点在直线上．若，的面积分别为2和6，则直角边的长为（    ） A． B． C． D．2 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在直角中，，点D是边上一动点，以为直角边，B为直角顶点作等腰直角，交于点F，连接，点B作于点P，交于点下面结论中正确的个数是（   ） ①；②；③；④当时，；⑤当时，． A．2 B．3 C．4 D．5 9．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，是的高，，相交于点，连接，垂直平分，交于点．下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③④ C．①④ D．②③④ 10．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在四边形中，，E是对角线的中点，F是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．5 D．2 二、填空题 11．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，是的角平分线，E是的中点．若，则的长为 ． 12．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且，则的长为 ． 13．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图所示，靠墙放着一个梯子，梯子底端B离墙根的距离为3米，现梯子底端B向右滑动1米到了处，梯子顶端A恰好也向下滑动了1米到了处．则梯子的长度是 米． 14．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（）处时而绳索用尽．则木柱长为 尺． 15．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，把一张面积为的正方形纸片剪成五块（其中⑤是一个小正方形），再拼成一个长方形，该长方形的周长为 ． 16．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，，若点P在边上运动，过点P作，垂足为Q，连接，则的最小值是 ． 17．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，P是线段边上的动点（不与点A，B重合）．将沿所在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为 ． 18．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，，点D、E分别是边上的动点，且，则的最小值 ． 三、解答题 19．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知，如图，在中，， (1)用直尺和圆规在线段上找一点M，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，连接，求的长． 20．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准． 21．（24-25八年级上·江苏常州·期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：________； (2)若第一个数用字母n（n为奇数，且）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为________． 22．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，一辆臂长，底座高的曲臂高空作业车沿着平行于墙面的直线方向行驶到点处，对离地面高的点处（）进行作业，，，作业后，还要到点正上方高的处（）继续作业，若要保持臂长不变，即，那么作业车水平行驶的距离（即的长）为多少米？（图是这辆车两次作业时的主视图） 23．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，．动点从点出发沿向终点运动，同时动点从点出发沿向点运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回．点，运动速度均为每秒1个单位长度，当点到达点时停止运动，点也同时停止．连接，设运动时间为秒． (1)判断的形状，并说明理由； (2)记的面积为，请用含有的代数式来表示； (3)伴随着，两点的运动，线段的垂直平分线为直线．当直线经过点时，求的长． 24．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：在中，若，，，满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，．求的度数． (2)如图2所示，在中，，且．求证：为“类勾股三角形”．小明同学想到可以在上找一点使得，再作． ①探索的形状并说明理由． ②请你帮助小明完成证明过程． 25．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）在中，，点O是的中点，点D是边上一个动点，连接． (1)如图①，当直线恰好垂直平分时，若，． ①连接，求的周长； ②求线段的长； ③如图②，在右侧作，过点A作交BE于点E，求线段的长． (2)如图③，过点B作的垂线，垂足为H，连接，若，，在点D运动的过程中，的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 26．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）综合实践 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”．他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．在一节八上数学复习课上，老师为了弘扬中国的数学文化，和同学们开启对“赵爽弦图”的深度研究． (1)类比“弦图”，证明定理 小明同学利用四张全等的直角三角形纸片（如图1），证明勾股定理． 因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成，即面积表示为：，即，进而勾股定理得到了验证． 善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形的面积，也可证明勾股定理，请你和他一起证明． (2)利用“弦图”，割拼图形 如图3，老师给出由5个小正方形组成的十字形纸板，让同学们尝试剪开，使得剪成的若干块能够拼成一个无缝的大正方形，可以怎么剪？请你画出示意图． (3)构造“弦图”，应用计算 如图4，在等腰直角三角形中，，点是中点，过点作，垂足为点，交于点，若，求的长 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B C A D C B A 1．C 【分析】此题考查了勾股数的知识，满足的三个正整数，称为勾股数，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方，即可求解． 【详解】解：A、因为 ，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意； B、因为，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意； C、因为，所以它们是勾股数，故本选项符合题意； D、因为，，，，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理等知识点，根据勾股定理的逆定理判断A和B即可；根据三角形的内角和定理判断C和D即可． 【详解】解：A．∵， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵， ∴设三边分别为， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵ ∴，则， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵， ∴是最大角， ∴不是直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了勾股定理的证明．根据“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理即可得出． 【详解】解：“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查勾股定理、勾股数，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：∵，，，， ∴；； ； ． A．，因为（当时，），，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； B．，所以，，能构成勾股数，故本选项符合题意； C． ，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； D．，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； 故选：B． 5．C 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，由三角形周长计算公式可推出，设，则，由勾股定理得，解方程可得，由线段垂直平分线的性质可得到，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解；∵的周长为12， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴的周长， 故选：C． 6．A 【分析】由角平分线的定义和性质得，则选项B不符合题意；再证明，得，则选项C不符合题意；然后在中，由勾股定理求出，则，选项D不符合题意；进而证明不是等腰直角三角形，得，则选项A符合题意；即可得出结论． 【详解】解：∵平分， ∴，故选项B不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴，故选项C不符合题意； 在中，由勾股定理得：， ∴，故选项D不符合题意； ∵， ∴不是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴不是等腰直角三角形， ∴， ∴，故选项A符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的判定是解题的关键． 7．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，先证明得，设，，，由勾股定理得，，进而得，，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形，为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 设，，， 由勾股定理得，， 即， , ∴， ∴，即， ∴，即， 故选：D． 8．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．由“”可证，故①正确；由等腰直角三角形的性质和外角的性质可得，故②正确；由等腰三角形的性质可得是的中垂线，可得，由全等三角形的性质可得，由勾股定理可得；故③正确；分别求出的面积，可得，故④错误；根据，结合对顶角，根据等角对等边证得，设，则，可判断⑤． 【详解】解：由题意得：， ， 在和中， ， ，故①正确； ，， ， ，， ， ， ，故②正确； 如图，连接， ，，， 是的中垂线， ， ， ，， ， ， ；故③正确； ， 设，， ， ， ， ， ， 过点作于，在中，， ， ， ，故④错误； 如图，， ，为等腰三角形， ，， ，， ， ， 设，则， ， ，故⑤正确， 故选：． 9．B 【分析】先利用等腰三角形的“三线合一”得到平分，，再利用斜边上的中线性质可对①进行判断；由于垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，则利用可判断，从而得到与不全等，于是可对②进行判断；根据余角的性质可得，，结合对顶角的性质得出，根据等角对等边即可对③进行判断；连接，如图，根据线段垂直平分线的性质得到，在中利用勾股定理得到，然后利用等线段代换可对④进行判断． 【详解】解：∵，，是的高， ∴平分，， ∴为直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴，所以①正确； ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∴与不全等，所以②错误； ∵，， ∴， ， ∴， 又， ∴， 同理，， ∴， 又，， ∴ ∴，即是等腰三角形，所以③正确； 连接，如图， ∵垂直平分， ∴， 在中，， ∵，， ∴，所以④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，勾股定理等． 10．A 【分析】本题考查了垂线段最短，等腰三角形的性质，直角三角形的特征，勾股定理；连接、，由直角三角形的特征得，由垂线段最短得当时，取得最小值，结合等腰三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ， E是对角线的中点， ， 当时，取得最小值， ， ， 的最小值为； 故选：A． 11．6.5 【分析】本题考查的是直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质，勾股定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，，根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边中线性质解答即可． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴，， 由勾股定理得，． ∵E为的中点， ∴． 故答案为：6.5． 12．4 【分析】本题考查了勾股定理以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 先求出，再由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：由正方形的性质得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：4． 13．5 【分析】利用勾股定理可得，， 梯子移动过程中长短不变，建立等式，继而可求出的长，再利用勾股定理即可求出梯子的长度． 本题考查了勾股定理的应用，题中梯子与墙构成了一个直角三角形，可根据勾股定理边长的关系来列方程． 【详解】解：， ， ∴， 得， ∴梯子的长AB（米）． 故答案为：5． 14．/ 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是熟练运用勾股定理解题．设木柱长为x尺，则绳索长为，然后根据勾股定理列式求解即可． 【详解】解：设木柱长为x尺，根据题意得： ， 则， 解得：， 答：木柱长为尺． 故答案为：． 15．12 【分析】本题考查图形的拼剪和定理的应用，由题意，利用勾股定理求出可得结论． 【详解】解：如图， 由题意, ∵， ∴， ∴， ∴拼成一个长方形的周长． 故答案为：12． 16．/4.8/ 【分析】作点B关于的对称点，过点作于点Q，交于点P，此时有最小值，连接，根据轴对称的性质有，求出，然后根据面积法即可求出答案． 【详解】解：如下图，作点B关于的对称点，过点作于点Q，交于点P， 根据轴对称的性质有， ∴， ∴当点，P，Q三点共线时，有最小值，即的长度， 在中，，，， ， ∴， ∵， ， ， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称—最短路线问题、勾股定理等知识，掌握轴对称的性质，勾股定理是解题的关键． 17．/ 【分析】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、两点之间线段最短、角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．根据折叠的性质，得，故，，当点落在上时，，此时的值最小，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， 如图1，由翻折得， ∵， ∴， ∴， ∴当点落在上时，，此时的值最小， 如图2，当点落在上时，则， 作于点F，于点E，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18． 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作，使，且点F与点E在直线的异侧，连接，由，，，求得，，而，则，推导出，可证明，得，由，得，所以的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作，使，且点F与点E在直线的异侧，连接， ∵，，， ∴，， ∵，即， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 19．(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，勾股定理： （1）作的中垂线交于点即可，根据中垂线的性质得到，勾股定理得到，即可得到； （2）设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点M就是所要找的点． （2）∵的垂直平分线交于点M， ． 设，则． 在中，， 由勾股定理得：， 解得， 即的长为． 20．该婴儿车符合安全标准，见解析 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是通过勾股定理求出BD的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直．先在中，根据勾股定理求出，再计算与的值，根据勾股定理的逆定理判断是否为直角． 【详解】解：∵ ∴在中，由勾股定理，得， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，即 ∴该婴儿车符合安全标准． 21．(1)11，60，61 (2)和 【分析】此题考查了勾股数之间的关系，解题的关键是根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可． （1）分析所给四组的勾股数∶3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41，可得下一组勾股数：11、60、61； （2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一． 【详解】（1）解：∵， ∴下一组勾股数为：11、60、61； 故答案为：11，60，61． （2）后两个数表示为和， ∵， ， ∴， 又∵，且为奇数， ∴由n，，三个数组成的数是勾股数． 故答案为：和． 22．作业车水平行驶的距离为米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，则，然后由勾股定理得，由，，求出，然后再由勾股定理和线段和差即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 答：作业车水平行驶的距离为米． 23．(1)是直角三角形，理由见解析 (2)当时，；当时， (3) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理、线段垂直平分线的性质、列代数式等知识，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）根据勾股定理的逆定理求解即可得； （2）分两种情况：①和②，先求出的长，再利用三角形的面积公式求解即可得； （3）分两种情况：①和②，先求出的长，从而可得的长，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：由题意可知，动点从点出发沿运动到终点所需时间为秒，动点从点出发沿运动到点所需时间为秒， ①当时，， 则的面积； ②当时，， 则的面积； 综上，当时，；当时，． （3）解：如图，连接， ①当时，，， ∴， ∵线段的垂直平分线为直线， ∴， 在中，，即， 解得，符合题设， 此时； ②当时，，， 同理可得：， 在中，，即， 解得（不符合题设，舍去）， 综上，的长为． 24．(1)； (2)①等腰三角形，理由见解析；②见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合“类勾股三角形”的定义得到是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）①根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，结合题意得到，根据三角形的定义即可求解； ②根据等腰三角形的性质得到，，在中，，在中，，由此得到，结合“类勾股三角形”的定义即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， 是类勾股三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ； （2）解：①等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， 是等腰三角形 ②由①得， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 是“类勾股三角形”． 【点睛】本题主要考查的新定义，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理的运用，理解新定义，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 25．(1)①5②③ (2)存在， 【分析】（1）①根据中垂线的性质，推出的周长为，即可得出结果；②设，在中，利用勾股定理进行求解即可；③作，设，证明，得到，，等角对等边证明，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）取中点M，连接，易证明是等边三角形，三线合一结合勾股定理，求出的长，斜边上的中线求出的长，根据，进行求解即可． 【详解】（1）①∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； ②设，则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 答：长为． ③作，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 答：为． （2）存在，取中点M，连接， ∵O是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵M是中点， ∴，， ∴， ∵，M是中点， ∴， ∴ 当H、M、C三点共线时，最大为． 【点睛】本题考查中垂线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，是解题的关键． 26．(1)证明见解析 (2)作图见解析， (3)9 【分析】（1）依据题意，四边形的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式进行表示；从组成来看，由三个直角三角形组成．应利用三角形的面积公式来进行表示； （2）由5个小正方形组成的十字形纸板得，拼成的大正方形边长应为，由此可得出要沿宽为1，长为2的长方形对角线剪开，才能形成边长为，然后沿垂直于该对角线的一端点再剪一刀，形成虚线部分的三块，分别将这三块放在实线部分，这样就形成了四个边长为，且有一个角的四边形即符合题意要求的正方形； （3）依据题意，过B作交的延长线于点，先证明，从而，再由是的中点，可得，故，又，可得，取的中点为，的中点为，连，构造中位线，证出，，进而可证出得到，最后结合，求出后即可判断得解． 【详解】（1）证明：由题意，图中的四边形为直角梯形，为等腰直角三角形，和的形状和大小完全一样， 设梯形的面积为，则 ， 又， ， ． （2）由题意，把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图）剪开，可拼成一个大正方形． ， （3）由题意，过B作交的延长线于点G，取的中点为，的中点为，连， ， ， ， ． ． 又，， ． ． 又是的中点， ． ． ， ， 的中点为，的中点为， ，， ，， ，， ， ， 又， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $