第3章勾股定理易错练习-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

第3章勾股定理易错练习-2026-2027学年数学八年级上册苏科版 一．选择题（共10小题） 1．（2026春•黑山县期末）已知△ABC的面积为24，AD是BC边上的高，若AD＝4，CD＝5，则BD的长为（　　） A．1 B．1或11 C．7 D．7或17 2．（2025秋•南京校级月考）下列各组数中，是“勾股数”的一组是（　　） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．7，24，25 D．1，，2 3．（2026春•扎兰屯市期末）以下列各组数据为边长作三角形，其中不能构成直角三角形的是（　　） A．4，6，8 B．1，， C．2，3， D．7，24，25 4．（2026春•桐城市期末）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，若AB＝2CD＝4，则AD2+BC2的值为（　　） A．20 B．24 C．28 D．30 5．（2026春•和平区校级期末）一直角三角形两直角边的长度分别为6和8，则斜边的长为（　　） A．5 B．7 C．9 D．10 6．（2026•定安县一模）如图，△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边AB，AC相交于点D，E，连接BE．则线段CE的长为（　　） A．1 B． C． D．3 7．（2025秋•公主岭市期末）如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 8．（2025秋•明水县期末）如图，在3×3正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（　　） A． B．∠B＝90° C．只有两条边长为无理数 D．AC边上的高为 9．（2025秋•伊川县期末）如图，长方体的高为4cm，底面长为3cm，宽为1cm，一只蚂蚁从长方体的表面点A2爬到点C1．则蚂蚁爬行的最短路程是（　　） A．5cm B．cm C．cm D．cm 10．（2026春•巢湖市校级期中）在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若c＝5，则a2+b2+c2的值为（　　） A．10 B．15 C．25 D．50 二．填空题（共6小题） 11．（2025秋•梅州校级月考）Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10，BC＝6，则AC＝_________________ ． 12．（2025秋•罗湖区校级期中）△ABC中，BD⊥AB，AD＝BC，∠DCB＝∠ADB，CD＝2，，BC＝ _________________ ． 13．（2025秋•梅州校级月考）如图，正方形内的数字代表所在正方形的面积，则A所在的正方形的面积为_____ ． 14．（2025秋•辽阳校级期中）如图，嘉琪坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，之后靠外力在B、A、C之间往复，若OB⊥OC，点O到地面的距离是3米，点C到OA的距离CE＝1.9米，过点B作BD⊥OA，垂足为D，则点D到地面的距离为________ 米． 15．（2025秋•泗县月考）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，AB＝6，动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，到达点B后停止． （1）AC＝_____ ； （2）设运动时间为t秒，当△ABP是以AB为腰的等腰三角形时，t的值为__________ ． 16．（2025春•辽宁校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，AC＝2，D为斜边AB上一动点，连接CD，过点D作DE⊥CD交边BC于点E，若△BDE为等腰三角形，则△CDE的周长为_____ ． 三．解答题（共6小题） 17．（2025秋•雁塔区校级期末）如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m． （1）求边BC的长； （2）连接AC，判断△ADC的形状； （3）求这块空地的面积． 18．（2025秋•恩施市期末）如图，△ABC≌△DEC，BC＝3，CD＝5，点B，C，D在同一直线上，点E在AC上，延长DE交AB于点F． （1）求AE的长； （2）求证：DF⊥AB． 19．（2026春•盂县期末）如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． （1）AB＝ _______________ ，AD＝ ________________ ； （2）连接BD，判断△BCD是什么三角形，并说明理由． 20．（2026秋•市南区校级月考）问题探究 （1）如图1，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且AC⊥BD． 求证：BC2+AD2＝AB2+CD2； 问题解决 （2）如图2，△ABC是某小区的局部示意图，其中∠B＝90°，AB＝600米，AD，DE是两条小道，D为BC的中点，DE⊥AC于点E．该小区物业计划在AC的下方修一条骑行小道AF，且满足EF＝EC，∠AFE＝90°．请根据上述条件，直接写出骑行小道AF的长． 21．（2025秋•南京期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． （1）经测量，BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m，小明判断△BCD是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； （2）若小明沿水平方向移动2m到点F处，此时风筝垂直下降到点C′处，测得FC′＝17m，求风筝垂直下降的高度． 22．（2025秋•兴隆县期末）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当t＝2秒时，求PQ的长； （2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？ （3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 第3章勾股定理易错练习-2026-2027学年数学八年级上册苏科版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026春•黑山县期末）已知△ABC的面积为24，AD是BC边上的高，若AD＝4，CD＝5，则BD的长为（　　） A．1 B．1或11 C．7 D．7或17 【解答】解：如图1，∵△ABC的面积为24，AD是BC边上的高，AD＝4，CD＝5， ∴， ∴BD＝7； 如图2，∵△ABC的面积为24，AD是BC边上的高，AD＝4，CD＝5， ∴， ∴BC＝12， ∴BD＝BC+CD＝12+5＝17， 综上所述，BD的长为7或17， 故选：D． 2．（2025秋•南京校级月考）下列各组数中，是“勾股数”的一组是（　　） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．7，24，25 D．1，，2 【解答】解：A、42+52＝16+25＝41≠62，不是勾股数，不符合题意； B、1.5，2.5是小数，不是勾股数，不符合题意； C、72+242＝625＝252，且均为正整数，是勾股数，符合题意； D、不是正整数，不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 3．（2026春•扎兰屯市期末）以下列各组数据为边长作三角形，其中不能构成直角三角形的是（　　） A．4，6，8 B．1，， C．2，3， D．7，24，25 【解答】解：A、∵42+62≠82， ∴不能构成直角三角形，符合题意； B、∵，而， ∴能构成直角三角形，不符合题意； C、∵22+32＝13，而， ∴能构成直角三角形，不符合题意； D、∵72+242＝625，而252＝625， ∴能构成直角三角形，不符合题意． 故选：A． 4．（2026春•桐城市期末）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，若AB＝2CD＝4，则AD2+BC2的值为（　　） A．20 B．24 C．28 D．30 【解答】解：∵AC⊥BD， ∴△AOD、△AOB、△BOC、△COD都是直角三角形， ∴AB2＝AO2+BO2，CD2＝OC2+OD2，BC2＝BO2+CO2，AD2＝OA2+OD2， ∴AB2+CD2＝BC2+AD2， ∵AB＝2CD＝4，则CD＝2， ∴AD2+BC2＝AB2+CD2＝42+22＝20， 故选：A． 5．（2026春•和平区校级期末）一直角三角形两直角边的长度分别为6和8，则斜边的长为（　　） A．5 B．7 C．9 D．10 【解答】解：由勾股定理得，斜边的长为， 故选：D． 6．（2026•定安县一模）如图，△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边AB，AC相交于点D，E，连接BE．则线段CE的长为（　　） A．1 B． C． D．3 【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AB＝5， ∴AC4， 设CE＝x，则AE＝AC﹣CE＝4﹣x， 由题意得：DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB＝4﹣x， 在Rt△BCE中，BC2+CE2＝BE2， ∴32+x2＝（4﹣x）2， 解得：x， ∴线段CE的长为， 故选：C． 7．（2025秋•公主岭市期末）如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 【解答】解：Rt△ACD中，ACAB＝4cm，CD＝3cm； 根据勾股定理，得：AD5（cm）； ∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）； 故橡皮筋被拉长了2cm． 故选：A． 8．（2025秋•明水县期末）如图，在3×3正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（　　） A． B．∠B＝90° C．只有两条边长为无理数 D．AC边上的高为 【解答】解：，A说法正确，不符合题意； ，，则三边长均为无理数，C说法错误，符合题意； 则，即∠B＝90°，B说法正确，不符合题意； 设AC边上的高为h，则，解得，D说法正确，不符合题意； 故选：C． 9．（2025秋•伊川县期末）如图，长方体的高为4cm，底面长为3cm，宽为1cm，一只蚂蚁从长方体的表面点A2爬到点C1．则蚂蚁爬行的最短路程是（　　） A．5cm B．cm C．cm D．cm 【解答】解：按照正面和上面展开，如下， ∴A2B2＝1cm，B2C1＝B1B2+B1C1＝4+3＝7（cm）， ∴； 按照正面和右面展开，如下， ∴C1C2＝4cm，A2C2＝1+3＝4（cm）， ∴； 按照上面和左面展开，如图， ∴A2B1＝A1A2+B1A1＝4+1＝5（cm），B1C1＝3cm， ∴； ∵， ∴需要爬行的最短距离是， 故选：B． 10．（2026春•巢湖市校级期中）在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若c＝5，则a2+b2+c2的值为（　　） A．10 B．15 C．25 D．50 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边， ∴a2+b2＝c2， ∴a2+b2+c2＝2c2， ∵c＝5， ∴a2+b2+c2＝2×52＝50， 故选：D． 二．填空题（共6小题） 11．（2025秋•梅州校级月考）Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10，BC＝6，则AC＝　2　 ． 【解答】解：在RtABC中，∠B＝90°，AB＝10，BC＝6， ∴AC2； 故答案为：2． 12．（2025秋•罗湖区校级期中）△ABC中，BD⊥AB，AD＝BC，∠DCB＝∠ADB，CD＝2，，BC＝ 　2　 ． 【解答】解：延长CD至点E，使得CE＝BD，连接BE，如图， ∵AD＝BC，∠DCB＝∠ADB，CE＝BD， ∴△ABD≌△BEC， ∴AB＝BE＝2，∠E＝∠ABD＝90°， 设DE＝x，则CE＝BD＝x+2， 在Rt△BDE中，BE2+DE2＝BD2， ∴（2）2+x2＝（x+2）2， 解得x＝4， ∴BD＝4+2＝6， 在Rt△ABD中，AD， ∴BC＝AD2． 故答案为：2． 13．（2025秋•梅州校级月考）如图，正方形内的数字代表所在正方形的面积，则A所在的正方形的面积为　9　 ． 【解答】解：，设长直角边的平方为A，短直角边的平方为16，斜边的平方为25， 根据勾股定理有，A+16＝25， 即A所代表的正方形的面积为9． 故答案为：9． 14．（2025秋•辽阳校级期中）如图，嘉琪坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，之后靠外力在B、A、C之间往复，若OB⊥OC，点O到地面的距离是3米，点C到OA的距离CE＝1.9米，过点B作BD⊥OA，垂足为D，则点D到地面的距离为　1.1　 米． 【解答】解：由题意得，OB＝OC． ∵CE⊥OE，BD⊥OD， ∴∠BDO＝∠OEC＝90°， ∴∠OBD+∠BOD＝90° ∵OB⊥OC， ∴∠BOC＝90°， ∴∠BOD+∠COE＝90°， ∴∠OBD＝∠COE． ∵∠OBD＝∠COE，OB＝OC， ∴△OBD≌△COE（AAS）， ∴OD＝CE． ∵CE＝1.9米， ∴OD＝1.9米． 设点O到地面的距离为OM，由题意得，OM＝3米， 则点D到地面的距离为DM＝OM﹣OD＝3﹣1.9＝1.1（米）． 故答案为：1.1． 15．（2025秋•泗县月考）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，AB＝6，动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，到达点B后停止． （1）AC＝　8　 ； （2）设运动时间为t秒，当△ABP是以AB为腰的等腰三角形时，t的值为　4或2.8　 ． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，AB＝6， 由勾股定理得：， 故答案为：8； （2）当AB＝BP时， ∵动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，到达点B后停止，运动时间为t秒， ∴BP＝BC﹣CP＝10﹣t， ∵AB＝6， ∴10﹣t＝6， 解得：t＝4； 当AB＝AP时， 如图，过点A作AD⊥BP，则BD＝PD， ∵， ∴6×8＝10•AD， 解得：AD＝4.8， 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：， ∴BD＝PD＝3.6， ∴PC＝BC﹣BP＝10﹣3.6﹣3.6＝2.8， ∴t＝2.8， 综上所述，t的值为4或2.8， 故答案为：4或2.8． 16．（2025春•辽宁校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，AC＝2，D为斜边AB上一动点，连接CD，过点D作DE⊥CD交边BC于点E，若△BDE为等腰三角形，则△CDE的周长为　5　 ． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，，AC＝2， ∴， ∵DE⊥CD， ∴∠CDE＝90°， ∴∠DEB＞∠CDE＝90° 又∵△BDE为等腰三角形， ∴∠BDE＝∠B， ∴DE＝BE， 又∵∠EDB+∠CDA＝∠B+∠A＝90°， ∴∠CDA＝∠A， ∴CD＝CA， ∴△CDE的周长为CD+DE+CE＝CA+CE+EB＝CA+CB＝2+3＝5， 故答案为：5． 三．解答题（共6小题） 17．（2025秋•雁塔区校级期末）如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m． （1）求边BC的长； （2）连接AC，判断△ADC的形状； （3）求这块空地的面积． 【解答】解：（1）∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°． 在Rt△ABE中， ∵AB＝15m，AE＝12m， ∴． ∵E是BC的中点， ∴BC＝2BE＝18m． （2）∵AE⊥BC，E是BC的中点， ∴AC＝AB＝15m． ∵AD＝17m，CD＝8m， ∴CD2+AC2＝AD2， ∴∠ACD＝90°， ∴△ADC是直角三角形． （3）由（2）可知，△ADC是直角三角形，AC＝15m， ∴， 由（1）可知，BC＝18m， ∴ ∴这块空地得面积为：． 18．（2025秋•恩施市期末）如图，△ABC≌△DEC，BC＝3，CD＝5，点B，C，D在同一直线上，点E在AC上，延长DE交AB于点F． （1）求AE的长； （2）求证：DF⊥AB． 【解答】（1）解：∵△ABC≌△DEC，BC＝3，CD＝5，点B，C，D在同一直线上， ∴AE＝AC﹣EC ＝5﹣3 ＝2； （2）证明：∵△ABC≌△DEC， ∴∠ACB＝∠DCE， ∠A＝∠D， ∵∠ACB+∠DCE＝180°， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠D+∠B＝90° ∴∠BFD＝180°﹣90°＝90°， ∴DF⊥AB． 19．（2026春•盂县期末）如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． （1）AB＝ 　　 ，AD＝ 　2　 ； （2）连接BD，判断△BCD是什么三角形，并说明理由． 【解答】解：（1）由勾股定理得：AB，AD2， 故答案为：，2； （2）△BCD是等腰直角三角形，理由如下： 如图，由勾股定理得：BC， BD， CD2， ∴BC＝BD，BC2+BD2＝CD2， ∴△BCD是等腰直角三角形，且∠CBD＝90°． 20．（2026秋•市南区校级月考）问题探究 （1）如图1，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且AC⊥BD． 求证：BC2+AD2＝AB2+CD2； 问题解决 （2）如图2，△ABC是某小区的局部示意图，其中∠B＝90°，AB＝600米，AD，DE是两条小道，D为BC的中点，DE⊥AC于点E．该小区物业计划在AC的下方修一条骑行小道AF，且满足EF＝EC，∠AFE＝90°．请根据上述条件，直接写出骑行小道AF的长． 【解答】（1）证明：∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝90°， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2＝OA2+OD2， 在Rt△COD中，由勾股定理得：CD2＝OC2+OD2， 在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC2＝OB2+OC2， ∴AD2+BC2＝（OA2+OD2）+（OC2+OB2） ＝（OA2+OB2）+（OC2+OD2） ＝AB2+CD2， ∴BC2+AD2＝AB2+CD2； （2）解：∵∠B＝90°，DE⊥AC，∠AFE＝90°， ∴∠B＝∠AED＝∠AFE＝90°， ∴AD2＝AB2+BD2＝AE2+DE2＝（AF2+EF2）+DE2， ∵EF＝EC，DE2+EC2＝CD2， ∴AB2+BD2＝AF2+CE2+DE2＝AF2+CD2， ∵点D为BC的中点， ∴BD2＝CD2， ∴AB2＝AF2， ∴AF＝AB＝600米， 答：骑行小道AF的长为600米． 21．（2025秋•南京期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． （1）经测量，BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m，小明判断△BCD是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； （2）若小明沿水平方向移动2m到点F处，此时风筝垂直下降到点C′处，测得FC′＝17m，求风筝垂直下降的高度． 【解答】解：（1）他的说法正确． 理由如下： ∵BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m， ∴根据勾股定理得，BD2+CD2＝102+242＝100+576＝676＝262＝BC2． ∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°； （2）根据题意得，BF＝2m， ∵BD＝10m， ∴FD＝10﹣2＝8（m）． ∵FC′＝17m， ∴在Rt△FDC′中，． ∴CC′＝DC﹣DC′＝24﹣15＝9（m）， 即风筝垂直下降的高度为9m， 答：风筝垂直下降的高度为9m． 22．（2025秋•兴隆县期末）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当t＝2秒时，求PQ的长； （2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？ （3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 【解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm， BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm， ∵∠B＝90°， PQ2（cm）； （2）解：根据题意得：BQ＝BP， 即2t＝8﹣t， 解得：t； 即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形； （3）解：分三种情况： ①当CQ＝BQ时，如图1所示： 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°， ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ ∴BQ＝AQ， ∵∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm， ∴AC10（cm）， ∴CQ＝AQAC＝5（cm）， ∴BC+CQ＝11（cm）， ∴t＝11÷2＝5.5秒． ②当CQ＝BC时，如图2所示： 则BC+CQ＝12（cm）， ∴t＝12÷2＝6秒． ③当BC＝BQ时，如图3所示： 过B点作BE⊥AC于点E， 则BE4.8（cm） ∴CE3.6cm， ∴CQ＝2CE＝7.2cm， ∴BC+CQ＝13.2cm， ∴t＝13.2÷2＝6.6秒． 由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时， △BCQ为等腰三角形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $