微专题4　三角中的最值、范围问题讲义——2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习资料聚焦三角中的最值与范围这一高考热点，整合三角函数性质、基本不等式、数形结合等核心方法，按三角函数式最值、三角形面积及边长等相关量范围的逻辑层次构建知识体系。通过高考真题引入、典型例题分类精讲、方法规律总结、分层练习巩固的教学环节，帮助学生系统突破三角最值问题的解题难点。 资料以数学思维培养为核心，创新采用“真题引领—类型突破—模型构建”教学策略，如在三角形面积最值讲解中，结合余弦定理与基本不等式推导面积表达式，引导学生用数学眼光分析变量关系。设置基础到综合的分层练习，配合真题实战训练，培养学生的抽象能力与模型意识，助力学生高效提升解题效率，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

微专题4　三角中的最值、范围 近几年高考：以三角函数、三角形为背景的最值及范围问题是高考的热点,常用的方法主要有:函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等. 一、高考真题 1.(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=. (1)若C=,求B; (2)求的最小值. 二．典型例题 1.三角函数式的最值或范围 例1 （2025·吉林松原·模拟预测）已知向量，其中． (1)若，求图象的对称轴； (2)记的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)已知为锐角三角形，内角的对边分别为，若，求的取值范围． 训练1 （2025·湖北·模拟预测）已知分别为锐角三个内角的对边，满足. (1)求角的大小； (2)若的面积，求的取值范围. 2.三角形中有关量的最值或范围 （1）、三角形面积的最值或范围 例2 (2025·郑州调研)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 已知b-ccos A=2acos Bcos C,其中C≠. (1)求角B的大小; (2)若b2+3c2=12-5ac,求△ABC面积的最大值. （2）、与三角形周长或边长相关的最值或范围 例3 (2025·济宁模拟)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(acos C+ccos A)= 2bsin B. (1)求角B的值; (2)若b=2,求a2+c2的取值范围. （3）、与三角形的角或三角函数值相关的最值或范围 例4 (2025·武汉调研)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若2a+bcos A-c=btan Bsin A. (1)求B; (2)若△ABC为锐角三角形,求的取值范围. 训练2 (2025·杭州模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos(B-C)+acos A-2csin Bcos A=0. (1)求A; (2)若△ABC外接圆的直径为2,求2c-b的取值范围. 【精准强化练习4】 1.(2025·安庆质检)已知函数f(x)=2sin x·. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在上的最大值,并求此时x的值. 2.(2025·汕头调研)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin B-bcos A=b. (1)求角A的大小; (2)若a=2,求△ABC面积的最大值. 3.(2025·邢台质检)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2asin C-c=0. (1)求A; (2)求4sin B-4sin C的取值范围. 4.(2025·衡阳模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知S为△ABC的面积且4S+3(b2-a2)=3c2. (1)若b=2,求△ABC外接圆的半径R; (2)若△ABC为锐角三角形,求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题4　三角中的最值、范围 近几年高考：以三角函数、三角形为背景的最值及范围问题是高考的热点,常用的方法主要有:函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等. 一、高考真题 1.(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=. (1)若C=,求B; (2)求的最小值. 解　(1)因为=, 所以=, 所以=, 所以cos Acos B=sin B+sin Asin B, 所以cos(A+B)=sin B, 所以sin B=-cos C=-=. 因为B∈,所以B=. (2)由(1)得cos(A+B)=sin B, 所以=sin B, 且0<A+B<, 所以0<B<,0<-(A+B)<, 所以-(A+B)=B, 解得A=-2B, 由正弦定理得= == == = =4cos 2B+-5 ≥2-5=4-5, 当且仅当cos 2B=时取等号, 所以的最小值为4-5. 二．典型例题 1.三角函数式的最值或范围 例1 （2025·吉林松原·模拟预测）已知向量，其中． (1)若，求图象的对称轴； (2)记的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)已知为锐角三角形，内角的对边分别为，若，求的取值范围． 解（1） ， 当时，． 令，得， 所以图象的对称轴为. （2）由（1），得， 所以， 因为将的图象向左平移个单位长度得到的图象，所以. 因为，所以， 又函数在区间上单调递增， 所以， 即，解得 所以，即 又，所以，即的取值范围是. （3）由，得， 又，所以， 又为锐角三角形，所以， 所以，解得． 由余弦定理，得， 所以， 所以． 由正弦定理，得， 所以， 因为为锐角三角形，所以，所以， 故的取值范围为， 所以的取值范围为． 所以的取值范围是． 训练1．（2025·湖北·模拟预测）已知分别为锐角三个内角的对边，满足. (1)求角的大小； (2)若的面积，求的取值范围. 解　（1）, 由正弦定理得：， 因为在中， 所以， 又因为，可得，即， 又因为在锐角中, 可得； （2）因为，可得， 由正弦定理得， 又， 所以， 在锐角中 所以, ， ， 所以的取值范围为 2.三角形中有关量的最值或范围 （1）、三角形面积的最值或范围 例2 (2025·郑州调研)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 已知b-ccos A=2acos Bcos C,其中C≠. (1)求角B的大小; (2)若b2+3c2=12-5ac,求△ABC面积的最大值. 解　(1)法一(角化边) 由b-ccos A=2acos Bcos C及余弦定理得 b-c· =2acos B·, 即=2cos B·, 因为C≠,所以≠0, 所以cos B=, 又0<B<π,所以B=. 法二(边化角)　由b-ccos A=2acos Bcos C及正弦定理得 sin B-sin Ccos A=2sin Acos Bcos C, 即sin(A+C)-sin Ccos A=2sin Acos Bcos C, 所以sin Acos C=2sin Acos Bcos C, 因为C≠,所以cos C≠0, 又sin A>0,所以cos B=, 又0<B<π,所以B=. 法三(射影定理)　由射影定理可得b=acos C+ccos A, 则acos C+ccos A-ccos A=acos C =2acos Bcos C, 又C≠,可得cos B=, 又0<B<π,所以B=. (2)由(1)及余弦定理知 cos B==, 所以a2+c2-b2=ac, 又b2+3c2=12-5ac, 所以a2+c2-(12-3c2-5ac)=ac, 化简得a2+4ac+4c2=(a+2c)2=12, 因为a>0,c>0,所以a+2c=2. 因为≥a·2c, 当且仅当a=2c=, 即a=,c=时取等号,所以ac≤, 所以△ABC的面积S=acsin B=ac≤,即△ABC面积的最大值为. （2）、与三角形周长或边长相关的最值或范围 例3 (2025·济宁模拟)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(acos C+ccos A)= 2bsin B. (1)求角B的值; (2)若b=2,求a2+c2的取值范围. 解　(1)因为(acos C+ccos A)=2bsin B, 所以由正弦定理可得(sin Acos C+sin Ccos A)=2sin Bsin B, 所以A+C)=B=2sin Bsin B, 又sin B≠0,所以sin B=, 又B为锐角,则B=. (2)由正弦定理得====4, 则a=4sin A,c=4sin C, 所以a2+c2=16sin 2A+16sin 2C =8(1-cos 2A)+8(1-cos 2C) =16-8cos 2A-8cos 2C =16-8cos 2A-8 =16-8cos 2A-8 =16+42A-4cos 2A =16+8, 因为△ABC是锐角三角形, 所以 解得<A<, 所以<2A-<, 则<≤1, 20<16+8≤24, 所以a2+c2的取值范围为(20,24]. （3）、与三角形的角或三角函数值相关的最值或范围 例4 (2025·武汉调研)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若2a+bcos A-c=btan Bsin A. (1)求B; (2)若△ABC为锐角三角形,求的取值范围. 解　(1)因为2a+bcos A-c=btan Bsin A, 所以=tan Bsin A-cos A==-=, 所以2acos B-ccos B=bcos C, 即2acos B=bcos C+ccos B, 由正弦定理得2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin A, 因为0<A<π,所以sin A≠0,cos B=, 又0<B<π,所以B=. (2)因为△ABC为锐角三角形,B=, 所以0<C<,且0<-C<, 所以C∈. 法一　==×+=·+=·+, 因为C∈,所以∈, 又tan =tan ==2-, tan ∈(2-,1), 所以·+∈, 即. 法二　==×+=·+=·+, 因为C∈, 所以cos C∈, 得∈, 所以·+∈, 即. 训练2 (2025·杭州模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos(B-C)+acos A-2csin Bcos A=0. (1)求A; (2)若△ABC外接圆的直径为2,求2c-b的取值范围. 解　(1)由A+B+C=π可得A=π-(B+C), 所以cos A=-cos(B+C), 所以acos(B-C)-acos(B+C)=2csin Bcos A, acos Bcos C+asin Bsin C-acos Bcos C+asin Bsin C=2csin Bcos A, 整理可得asin Bsin C=csin Bcos A, 由正弦定理可得 sin Asin Bsin C=Csin Bcos A, 因为sin C≠0,sin B≠0, 所以tan A=, 而A∈(0,π),所以A=. (2)设△ABC外接圆的半径为R,而圆的直径为2,所以2R=2. 由正弦定理可得==2R=2,A=, 所以b=2B, c=2C=2, 故2c-b=4-2B=6cos B, 因为B∈,所以cos B∈, 所以2c-b∈(-3,6), 所以2c-b的取值范围为(-3,6). 【精准强化练习4】 1.(2025·安庆质检)已知函数f(x)=2sin x·. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在上的最大值,并求此时x的值. 解　(1)f(x)=2sin x· =2sin x =3sin xcos x+2x =2x-2x+ =+, 因此,函数f(x)的最小正周期T==π. (2)当x∈时,2x-∈, 所以2x-=,即x=时, 函数f(x)在上取得最大值,为+=. 2.(2025·汕头调研)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin B-bcos A=b. (1)求角A的大小; (2)若a=2,求△ABC面积的最大值. 解　(1)由正弦定理及题意得 Asin B-sin Bcos A=sin B, 又sin B≠0,所以A-cos A=1, 所以A-A=, 即=. 因为A∈(0,π),所以A-∈, 所以A-=,即A=. (2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 所以4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,即bc≤4, 当且仅当b=c=2时,等号成立, 所以S△ABC=bcsin A≤×4×=, 所以△ABC面积的最大值为. 3.(2025·邢台质检)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2asin C-c=0. (1)求A; (2)求4sin B-4sin C的取值范围. 解　(1)由2asin C-c=0及正弦定理得2sin Asin C-C=0. 因为sin C≠0,所以sin A=. 因为△ABC为锐角三角形,所以A=. (2)因为A=,所以B+C=π. 因为△ABC为锐角三角形, 所以<B<. 因为4sin B-4sin C=4sin B-4sin(A+B) =2sin B-2B=4, 由B-∈, 得∈, 所以4sin B-4sin C∈(-2,2). 即4sin B-4sin C的取值范围为(-2,2). 4.(2025·衡阳模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知S为△ABC的面积且4S+3(b2-a2)=3c2. (1)若b=2,求△ABC外接圆的半径R; (2)若△ABC为锐角三角形,求的取值范围. 解　(1)∵S为△ABC的面积, 且4S+3(b2-a2)=3c2,S=acsin B, ∴4×acsin B=3(c2+a2-b2)=3×2accos B,即tan B=, ∵0<B<π,∴B=. ∴2R==,解得R=. (2)由(1)可知,B=, ∴==== =1+·+·, ∵△ABC为锐角三角形, ∴ 解得<C<, ∴tan C>,∴0<<, 设t=,则=t2+t+1=+, ∴0<t<时,∈(1,7). 学科网（北京）股份有限公司 $