专题02一元二次方程（期末复习知识清单，5知识16常考2易错题型）九年级数学上学期华东师大版

该初中数学一元二次方程专题清单涵盖概念、解法、判别式、根与系数关系、应用五大知识范畴，搭建从基础定义到解法技巧再到实际应用的递进式学习支架。 清单采用“知识清单+题型分层”设计，将解法按适用场景分类，如开平方法对应特定形式方程，结合例题与变式题培养运算能力和模型意识。特别标注“应用模型提示”，如增长率问题附公式b=a(1+x)^n及根的检验要求，助学生用数学语言表达现实问题，教师可设计分层教学，学生能高效自主复习。

专题02一元二次方程（5知识&16题型&2易错） 【清单01】一元二次方程的概念 1、定义：只含有一个 ，且未知数的最高次数是 的 方程． 2、一般形式： ，其中 分别叫做二次项、一次项、常数项， 分别称为二次项系数、一次项系数、常数项． 【清单02】一元二次方程的解法 1、开平方法：它适合于 或 形式的方程． 2、配方法：化二次项系数为1→把常数项移到方程的另一边→在方程两边同时加上一次项系数一半的平方→把方程整理成 的形式→运用开平方法解方程． 3、公式法：把方程整理成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，若 ，则 . 4、因式分解法：将一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次． 【清单03】一元二次方程根的判别式 1、根的判别式： 叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式． 2、一元二次方程根的情况与判别式的关系： ① ⇔方程有两个不相等的实数根； ② ⇔方程有两个相等的实数根； ③ ⇔方程没有实数根． 【清单04】一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两实数根分别为x1，x2，则 ． 【清单05】一元二次方程的应用 1、解题步骤：①审题；② 设未知数；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答． 2、应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用. ①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝ ，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量； ②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%； ③传播、比赛问题： ④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程. 注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义. 【题型一】直接开配方法 【例1】1．一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】解方程： 【变式1-3】解方程： ． 【题型二】因式分解法 【例1】解方程：． 【变式1-1】解方程： (1) (2) 【变式1-2】解方程： (1)； (2)． 【题型三】配方法解方程 【例1】解方程，乐乐的解答过程如下： 解：①移项，得， ②将二次项系数化为1，得： ③配方，得 ④两边开平方，得或 ⑤所以， (1)乐乐的解答过程从第___________步开始出错的，其错误原因是_________________． (2)请写出正确的解答过程（全部）． 【变式1-1】将一元二次方程配方成的形式，则的值为 ． 【变式1-2】解方程： (1)（用配方法解）； (2)． 【题型四】公式法解方程 【例1】若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-2】按要求解方程： (1)（用配方法）； (2)（用公式法）； (3)（用因式分解法）． 【题型五】用适当方法解一元二次方程 【例1】用适当的方法解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【变式1-1】用适当的方法解方程： (1) (2) 【变式1-2】用适当的方法解下列方程 (1)； (2)； (3)． 【题型六】配方法的应用 【例1】若（x、y为实数），则W的最小值为 ． 【变式1-1】配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题，我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．再如：，（，是整数），所以也是“完美数”． 例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（只填序号）； ①11；    ②34；    ③60． （2）若可配方成（，为正整数），则的值为________； （3）已知实数x，y满足，求代数式的最小值． 【变式1-2】我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知25是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式________； （2）若可配方成（、为常数），则________； 【探究问题】 （3）已知，则________； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【题型七】一元二次根的判别式的应用 【例1】若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式1-1】已知一元二次方程，则该方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 21．已知反比例函数，当时，随的增大而减小，关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式1-2】已知关于的方程有解，则实数的取值范围是 ． 【题型八】一元二次方程根与系数关系 【例1】一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【变式1-1】已知方程的两个根分别是和，则 ． 【变式1-2】已知关于x的方程． (1)求证：这个方程总有实数根； (2)若方程的两根为，，且，则k的值为多少？ 【题型九】增长率问题 【例1】某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为，根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作，则方程可以列为 ． 【变式1-2】果农张大爷原计划以每千克4元的价格销售某种水果，由于部分果农盲目扩大种植，造成该水果滞销，张大爷为了加快销售，减少损失，经过两次下调价格后，以每千克元的价格销售．求平均每次下调价格的百分率． 【题型十】传播问题 【例1】秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均每一个患流感的人都会再传染给个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是（   ） A．第一轮后有个人患了流感 B．第二轮后又增加个人患流感 C．依题意可列方程 D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共1000人患流感 【变式1-2】一种电脑病毒每一台可传播给若干台，若一台电脑感染病毒，经两轮传播后共有49台电脑感染，则这种病毒每轮每台平均可传播 台． 【题型十一】工程问题 【例1】在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【变式1-1】甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【变式1-2】城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【题型十二】营销问题 【例1】自11月1日起，福建省电动自行车新规正式实施.其中明确规定，驾驶电动自行车搭载孩子时，孩子必须规范佩戴安全头盔，对违反规定的处以罚款.骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个. (1)当售价为x元/个时（），月销售量为_____个. (2)为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个? 【变式1-1】某玩具店老板欲购进一批进价为20元/个的益智玩具，调查5个门店发现销售此玩具的日销售量（个）仅与销售单价（元）有关，具体记录如下表： 玩具店 销售单价 60 59 58 57 56 日销售量 20 22 24 26 28 任务一：模型建立 （1）从所学的函数模型中挑选你认为合适的函数模型，并求该玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； 任务二：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为200元，该玩具店老板想要每天获得600元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 【变式1-2】项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定． 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近，，，，五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量y（个）的情况，记录如表： 玩具店 销售单价x/元 35 45 55 65 75 日销售量y/个 65 55 45 35 25 任务二：模型建立 （1）观察发现，该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为__________；设日销售利润为（元），则该益智玩具的日销售利润与销售单价之间的函数关系式为____________； 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为100元，该玩具店老板想要每天获得700元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元． 【题型十三】握手、循环赛问题 【例1】为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力，增强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神．某校决定举行排球比赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．设有x个球队参加比赛，则x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】云南铁路从高原到大海，从中国铁路运输的末梢，逐渐变成面向南亚东南亚的铁路运输枢纽中心．某高铁交通路线从昆明南站出发，最终到达广州南站，若从昆明南站到广州南站共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有个站点，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】一次同学聚会，每个同学都给其他同学送一张贺卡，共互赠张贺卡，则参加聚会的同学共有 人． 【题型十四】行程问题 【例1】《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 【变式1-2】在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 【变式1-3】如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【题型十五】图形问题 【例1】《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出，问户高、广、斜各几何？这段话的意思：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门的高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门宽是（　　） A．6尺 B．8尺 C．10尺 D．12尺 【变式1-1】如图所示，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），考虑到整体的美观性，要求各页边距相等．若纸张大小为，要使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？ 【变式1-2】体育场准备利用一堵呈“”形的围墙（粗线表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，如图所示，已知，米，米，现计划用总长为121米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽2米的门，如图所示（细线表示围网，两个篮球场之间用围网隔开），为了充分利用墙体，点必须在线段上． (1)如图，设的长为米，则_____________米；（用含的代数式表示） (2)若围成的篮球场的面积为1500平方米，求篮球场的宽的长；（围网及墙体所占面积忽略不计） 【题型十六】动点问题 【例1】在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】如图，在中，，，，现有两个动点，分别从点和点同时出发，其中点以的速度，沿向终点移动；点以的速度沿向终点移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接，设动点运动时间为． (1)用含的代数式表示，的长度； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)是否存在x值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以相同的速度向点D移动，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为t秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点P和点Q的距离可能是吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． 【题型一】一元二次方程有关概念辨析 【例1】一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（） A．3，2 B．2，3 C．3， D．3，4 【变式1-1】下列是一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3，2，－1 B．3，－2，1 C．－3，2，1 D．－3，－2，－1 【题型二】一元二次方程解的应用 【例1】下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知关于的方程的一个根是，的值是（   ） A． B．1 C． D．2 【变式1-2】若是方程的一个根，则代数式的值为 ． 试卷第42页，共42页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02一元二次方程（5知识&16题型&2易错） 【清单01】一元二次方程的概念 1、定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程． 2、一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项． 【清单02】一元二次方程的解法 1、开平方法：它适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程． 2、配方法：化二次项系数为1→把常数项移到方程的另一边→在方程两边同时加上一次项系数一半的平方→把方程整理成(x＋a)2＝b的形式→运用开平方法解方程． 3、公式法：把方程整理成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，若b2－4ac≥0，则x＝. 4、因式分解法：将一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次． 【清单03】一元二次方程根的判别式 1、根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式． 2、一元二次方程根的情况与判别式的关系： ①b2－4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根； ②b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根； ③b2－4ac＜0⇔方程没有实数根． 【清单04】一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－ ，x1·x2＝． 【清单05】一元二次方程的应用 1、解题步骤：①审题；② 设未知数；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答． 2、应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用. ①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量； ②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%； ③传播、比赛问题： ④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程. 注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义. 【题型一】直接开配方法 【例1】1．一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即或， ∴或， ∴方程的根为，． 故选：C． 【变式1-1】解方程： 【答案】 ， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，本题中分别把和看作一个整体，利用平方差公式分解因式，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，通过解一元一次方程求出一元二次方程的解． 【详解】解：， 分解因式可得：， 整理可得：， 可得：或， 解得：，． 【变式1-3】解方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， 开平方得：， 所以或， 解得：． 【题型二】因式分解法 【例1】解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 即， ∴或， 解得，． 【变式1-1】解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，直接开平方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． （1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可； （2）方程利用直接开平方法转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】（1）解： 方程整理得：， 分解因式得：， 所以或， 解得：，； （2）解：， 开方得：或， 解得：，． 【变式1-2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解题时要熟练掌握并能灵活运用恰当的方法进行解方程是关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得，； （2）解：， ， 或， 解得，． 【题型三】配方法解方程 【例1】解方程，乐乐的解答过程如下： 解：①移项，得， ②将二次项系数化为1，得： ③配方，得 ④两边开平方，得或 ⑤所以， (1)乐乐的解答过程从第___________步开始出错的，其错误原因是_________________． (2)请写出正确的解答过程（全部）． 【答案】(1)③，配方出错； (2)见解析 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法，是解题的关键： （1）第③步，配方出错，方程两边应该加上一次项系数一半的平方； （2）根据配方法的步骤，进行作答即可． 【详解】（1）解：第③步，配方出错，方程两边应该加上一次项系数一半的平方； （2）解：， 移项，得， 将二次项系数化为1，得， 配方，得， 即， 两边开平方，得， 所以， 即． 【变式1-1】将一元二次方程配方成的形式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过移项和配方，将方程化为完全平方形式，从而确定和的值，再计算它们的和．取一次项系数一半的平方，再添加到方程两边形成完全平方式即可．解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）化二次项系数为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数；（2）在方程两边加上一次项系数一半的平方；（3）配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】解：， 移项，得：， 配方，得：， 即， ∴方程可配方成， 又∵一元二次方程可配方成的形式， ∴，， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 【变式1-2】解方程： (1)（用配方法解）； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据配方法可进行求解； （2）根据因式分解法可进行求解． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： 或， ∴． 【题型四】公式法解方程 【例1】若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式， 通过比较给定根表达式与求根公式，确定二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值，从而得到方程． 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为 ， 给定根为， ∴，故， ，故， 又， ∴，代入，得，即，故， 因此方程为， 即， 故选：C． 【变式1-1】用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据一元二次方程的一般形式，即可求解． 【详解】解： ∴，， 故选：D． 【变式1-2】按要求解方程： (1)（用配方法）； (2)（用公式法）； (3)（用因式分解法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得，即， ， 所以，； （2）解：， 移项，得，，，， 则， 所以， 所以，； （3）解：， 因式分解，得， 或， 所以，． 【题型五】用适当方法解一元二次方程 【例1】用适当的方法解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可； （3）根据公式法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可； 【详解】（1）解：， ， 或， 解得． （2）， 或， 解得 （3）， ， ， ， ∴原方程有两个不相等的实数根， ， ∴． 【变式1-1】用适当的方法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用公式法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，． 【变式1-2】用适当的方法解下列方程 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了公式法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可． （2）利用因式分解法求解即可． （3）利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴， 解得． （2）解：∵， ∴ ∴， 解得． （3）解：∵， 在这里，， ∴， 解得，． 【题型六】配方法的应用 【例1】若（x、y为实数），则W的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查配方法的应用，通过配方法将原式化为完全平方和的形式，利用非负数的性质求最小值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，当， 时取等号， 故的最小值为； 故答案为：3． 【变式1-1】配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题，我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．再如：，（，是整数），所以也是“完美数”． 例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（只填序号）； ①11；    ②34；    ③60． （2）若可配方成（，为正整数），则的值为________； （3）已知实数x，y满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）②；（2）5；（3）2022． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），据此求解即可． 【详解】解：（1）由于②，所以②是完美数， ；； 所以，不能表示成（a，b是整数）的形式，不是完美数； 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：5； （3）解：因为， ∴ ∴ ∴ ∴当时，的最小值为2022． 【变式1-2】我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知25是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式________； （2）若可配方成（、为常数），则________； 【探究问题】 （3）已知，则________； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【答案】（1） （2） （3） （4），理由见详解 【分析】本题考查了配方法，非负数的性质以及对新定义“完美数”的理解与应用．理解新定义“完美数”的定义是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义找到两个整数的平方和为即可； （2）对二次三项式用配方法，凑出完全平方形式，对比得出和的值进行计算即可； （3）将原始拆分为两个完全平方的和，利用非负数的性质求出，的值，再计算即可； （4）先对进行配方，整理为两个整数平方和的形式，结合“完美数”的定义，确定常数的值，使剩余项抵消即可． 【详解】解：（1），符合“完美数”的定义． 故答案为（答案不唯一）； （2）对配方， 得到              ， ， ． 故答案为； （3）对式子进行配方                                     ， ， 且， ， ． 故答案为； （4）先对配方， 得到              ， 要让为完美数，可令， 即， 又、是整数， 和也是整数，符合“完美数”的定义， 符合条件的一个值为．（答案不唯一） 【题型七】一元二次根的判别式的应用 【例1】若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，以及判别式，熟练掌握是一元二次方程的判别式，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根是解题的关键．根据一元二次方程的定义和判别式与根的关系求解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴且， ∴且． 故选：D． 【变式1-1】已知一元二次方程，则该方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的个数问题，掌握方程根的判别式是解题的关键． 通过计算判别式的值判断一元二次方程的根的情况． 【详解】∵在方程中， ，，， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 21．已知反比例函数，当时，随的增大而减小，关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，一元二次方程根的判别式，根据反比例函数的增减性可得，则可得到，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数满足当时，随的增大而减小， ∴， ∴， ∴， ∴关于的一元二次方程的判别式， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【变式1-2】已知关于的方程有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查根的判别式，根据方程有实数解，需考虑方程类型：当 时，方程为一次方程，有解；当 时，方程为一元二次方程，需判别式非负，同时，根号内表达式要求． 【详解】解：由方程中可知，， 分以下两种情况讨论： 当，即时，方程为， 解得，有实数解； 当，即时，方程为一元二次方程， 判别式， 由，得，即． 综上所述，． 故答案为：． 【题型八】一元二次方程根与系数关系 【例1】一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 根据根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再代入求值式化简计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为 ∴由根与系数的关系，得 ，． 则 ． 故答案为：2． 【变式1-1】已知方程的两个根分别是和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟练掌握关于x的一元二次方程有两根为和，则，．根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为和， ∴． 故答案为：． 【变式1-2】已知关于x的方程． (1)求证：这个方程总有实数根； (2)若方程的两根为，，且，则k的值为多少？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握方程根的判别式和韦达定理是解题的关键． （1）对是否为进行分类讨论，不为时，通过根的判别式进行证明； （2）结合韦达定理，得出，代入，解出的值． 【详解】（1）解：当时，方程为，解得，即方程有实数根； 当时， ， ∴，方程有实数根； ∴综上所述，无论k取何值，方程总有实数根． （2）解：∵方程的两根为，， ∴方程为一元二次方程， ∴， ∴． ∵， ∴，即， 解得． 【题型九】增长率问题 【例1】某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为，根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，观察统计图，找出该厂家月及月的产品产量，根据题意列出关于的一元二次方程． 【详解】解：设该厂家口罩产量的平均月增长率为， 依题意，得：． 故选：C． 【变式1-1】电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作，则方程可以列为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设增长率为，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设增长率为， 根据题意得：， 故答案为：． 【变式1-2】果农张大爷原计划以每千克4元的价格销售某种水果，由于部分果农盲目扩大种植，造成该水果滞销，张大爷为了加快销售，减少损失，经过两次下调价格后，以每千克元的价格销售．求平均每次下调价格的百分率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设出平均每次下调价格的百分率，根据从4元下调到2.56元，列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设平均每次下调价格的百分率是x，由题意得： ， 解得，， 因为降价的百分率不可能大于1， 所以不符合题意，舍去； 答：平均每次下调价格的百分率是． 【题型十】传播问题 【例1】秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均每一个患流感的人都会再传染给个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均每一个患流感的人都会再传染给个人，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均每一个患流感的人都会再传染给个人， 由初始人数为人，则第一轮传染后，新增人，此时共有人患流感；第二轮传染时，这人每人再传染人，故第二轮新增人， ∴列方程为， 故选：． 【变式1-1】有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是（   ） A．第一轮后有个人患了流感 B．第二轮后又增加个人患流感 C．依题意可列方程 D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共1000人患流感 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键； 本题属于传播问题，依次表示第一轮传染，第二轮传染后的量，再结合最后共有人感染可得方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染增加了个人患了流感，第一轮后共有个人患了流感； 第二轮传染后增加了个人患了流感，第二轮传染后共有个人患了流感，可得方程； 解得：，或（舍去） 第三轮传染后增加了人，此时共有人患流感， 故选项A、B、C、均正确，不符合题意， D选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式1-2】一种电脑病毒每一台可传播给若干台，若一台电脑感染病毒，经两轮传播后共有49台电脑感染，则这种病毒每轮每台平均可传播 台． 【答案】6 【分析】本题主要考查列一元二次方程以及求解，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 首先设每轮每台平均传播x台电脑，根据两轮传播后总感染电脑数为，即可列方程求解． 【详解】解：设这种病毒每轮每台平均可传播x台电脑． 由题意得：， ∴或（舍去）， 解得：， 故答案为：6． 【题型十一】工程问题 【例1】在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时 (2)a的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 【变式1-1】甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 【变式1-2】城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 【题型十二】营销问题 【例1】自11月1日起，福建省电动自行车新规正式实施.其中明确规定，驾驶电动自行车搭载孩子时，孩子必须规范佩戴安全头盔，对违反规定的处以罚款.骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个. (1)当售价为x元/个时（），月销售量为_____个. (2)为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个? 【答案】(1) (2)该品牌头盔的实际售价应定为50元个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出月销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）利用月销售量（售价，即可用含的代数式表示出月销售量； （2）利用月销售利润每个的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【详解】（1）解：当售价为元个时，月销售量为个． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元个． 【变式1-1】某玩具店老板欲购进一批进价为20元/个的益智玩具，调查5个门店发现销售此玩具的日销售量（个）仅与销售单价（元）有关，具体记录如下表： 玩具店 销售单价 60 59 58 57 56 日销售量 20 22 24 26 28 任务一：模型建立 （1）从所学的函数模型中挑选你认为合适的函数模型，并求该玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； 任务二：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为200元，该玩具店老板想要每天获得600元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）日销售量y个与销售单价x元之间的函数关系式为 （2）该益智玩具的销售单价应定为30元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的应用、解二元一次方程组，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式并根据题中的数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）通过分析表中数据可以看出，日销售量y与销售单价x之间成一次函数关系，故可设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为，将，代入，得，解方程组即可求出k与b的值，进而得出该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）根据“每日利润＝（销售单价－进价）×日销售量－房租、水电费、人工费等运营成本”可得，解得，，进而可得当销售单价为60元时日销售量为20个，销售单价为30元时日销售量为80个，由于，再结合“为了尽快减少库存”即可解答． 【详解】解：（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量y与销售单价x之间成一次函数关系， 设该益智玩具的的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为， 将，代入，得： ，解得：， 答：该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为； （2）根据题意，得： ，解得：，， 当销售单价为60元时，日销售量为20个， 当销售单价为30元时，日销售量为80个， ，且为了尽快减少库存， ． 答：该益智玩具的销售单价应定为30元． 【变式1-2】项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定． 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近，，，，五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量y（个）的情况，记录如表： 玩具店 销售单价x/元 35 45 55 65 75 日销售量y/个 65 55 45 35 25 任务二：模型建立 （1）观察发现，该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为__________；设日销售利润为（元），则该益智玩具的日销售利润与销售单价之间的函数关系式为____________； 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为100元，该玩具店老板想要每天获得700元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元． 【答案】任务二：；；任务三：该益智玩具的销售单价应定为60元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，合理列出式子是解题的关键． （1）利用待定系数法求出销售量与销售单价之间的函数关系，再根据总利润每一件利润数量列式即可； （2）把利润和每日支出一起代入利润表达式中运算求解即可． 【详解】（1）设， 把，代入中得： ， 解得：， ∴； ∴日销售利润， 整理得：； 故答案为：；； （2）由题意得：， ∴， 解得：或， ∵为了尽快减少库存， ∴， ∴该益智玩具的销售单价应定为元． 【题型十三】握手、循环赛问题 【例1】为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力，增强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神．某校决定举行排球比赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．设有x个球队参加比赛，则x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 根据单循环赛制，总比赛场次为组合数，即，再根据总安排28场比赛，列出方程． 【详解】解：∵每个队之间都要比赛一场， ∴总比赛场次为， 又∵计划安排7天，每天4场， ∴总比赛场次为. ∴， 即， 故选：A． 【变式1-1】云南铁路从高原到大海，从中国铁路运输的末梢，逐渐变成面向南亚东南亚的铁路运输枢纽中心．某高铁交通路线从昆明南站出发，最终到达广州南站，若从昆明南站到广州南站共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有个站点，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据从昆明南站到广州南站共设计了56种往返车票，列出方程即可． 【详解】解：设这条线路共有个站点，由题意，得； 故选A． 【变式1-2】一次同学聚会，每个同学都给其他同学送一张贺卡，共互赠张贺卡，则参加聚会的同学共有 人． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意除了不给自己送贺卡外，其余同学都需送出．根据共送出贺卡数共有人数每人需送出的贺卡数，列出方程，求出方程的解即可，注意取正整数． 【详解】解：设参加聚会的同学有人． 依题意得：， ， ， 解得：，（舍）. 答：参加聚会的同学有人． 故答案为：． 【题型十四】行程问题 【例1】《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 【变式1-1】一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 【答案】最早再过2小时能侦察到． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能找出军舰和侦察船的距离关系，利用勾股定理正确列出一元二次方程． 设侦察船由B出发到侦察到这艘军舰经过的时间是x小时，由题中信息可以知道军舰和侦察船的行驶方向互相垂直，所以军船和侦察船的距离和时间的关系式是：时侦察船可侦察到这艘军舰，解即可求时间x． 【详解】解：能．设侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰， 则， 得：， 整理得， 即， ∴， ∴， 即当经过2小时至小时时，侦察船能侦察到这艘军舰． ∴最早再过2小时能侦察到． 【变式1-2】在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 【答案】(1)2， (2)4秒 【分析】本题考查了一元二次方程在匀变速直线运动中的应用，涉及平均速度公式、路程公式．解题用到的思想是方程思想，方法是根据题意建立速度、时间、路程的数量关系，通过列方程求解；解题关键是理解匀变速直线运动中平均速度的计算方法（初末速度的算术平均数）以及路程公式即的应用；易错点是在求解时间时，忽略小球停止运动的时间限制（5秒），导致误选不符合实际的解． （1）根据“速度均匀减少”的特点，用初速度与停止时的速度差除以时间可求每秒速度减少量；再根据速度减少规律，得出t秒后的速度表达式． （2）先根据平均速度公式求出时间段内的平均速度，再结合路程公式即建立关于时间t的一元二次方程，求解后结合小球停止时间的限制，舍去不符合实际的解，得到最终时间． 【详解】（1）根据题意，小球平均每秒速度减少量为：（米/秒）． 从开始滚动t秒后，速度减少了米/秒，所以此时速度为：（米/秒）． 故答案为：2，． （2）根据题意，平均速度． 因为运动路程即，且米， 解得，． 因为小球5秒后停止运动，不符合实际情况，舍去． 答：小球滚动24米用了4秒． 【变式1-3】如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【答案】(1)或小时； (2)上午时． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意得可，然后解方程即可； （）设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里，根据勾股定理得得，则有，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意得可， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里； （2）解：设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得，（不符合题意．舍去）． ∴， 答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令． 【题型十五】图形问题 【例1】《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出，问户高、广、斜各几何？这段话的意思：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门的高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门宽是（　　） A．6尺 B．8尺 C．10尺 D．12尺 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用和一元二次方程解法，设未知数建立关于未知数的方程是解题的关键． 设门高为尺，根据题意，竿长为尺，门宽为尺，对角线为尺，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】设门高为尺， 竖放，竿比门高长出尺， 竿长， 横放，竿比门宽长出尺， 门宽， 斜放，竿与对角线相等， 对角线， 根据勾股定理可得：， ， ， ， ， （舍去）或， 门宽尺； 故选． 【变式1-1】如图所示，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），考虑到整体的美观性，要求各页边距相等．若纸张大小为，要使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？ 【答案】需设置页边距为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．先设页边距为，再根据打印区域的面积占纸张面积的，列出一元二次方程，最后解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设页边距为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：需设置页边距为． 【变式1-2】体育场准备利用一堵呈“”形的围墙（粗线表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，如图所示，已知，米，米，现计划用总长为121米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽2米的门，如图所示（细线表示围网，两个篮球场之间用围网隔开），为了充分利用墙体，点必须在线段上． (1)如图，设的长为米，则_____________米；（用含的代数式表示） (2)若围成的篮球场的面积为1500平方米，求篮球场的宽的长；（围网及墙体所占面积忽略不计） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查列代数式及一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． （1）根据各边之间的关系，即可用含x的代数式表示出的长； （2）根据围成的篮球场的面积为1500平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设的长为x米， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意可得，， 解得，， 当时，，不符合题意，故舍去； 当时，，符合题意， 答：篮球场的宽的长为米． 【题型十六】动点问题 【例1】在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2t， (2) (3)存在， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． （2）解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． （3）解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 【变式1-1】如图，在中，，，，现有两个动点，分别从点和点同时出发，其中点以的速度，沿向终点移动；点以的速度沿向终点移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接，设动点运动时间为． (1)用含的代数式表示，的长度； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)是否存在x值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查勾股定理，列代数式，一元一次方程及一元二次方程的应用，能够根据题意列出相应的方程是解题的关键． （1）先根据勾股定理求得，再根据路程速度时间求出，，再根据即可． （2）根据题意，当为等腰三角形时，，建立一个关于的方程，解方程即可． （3）用含的代数式表示出四边形的面积，利用四边形的面积为建立一个关于方程，解方程即可．若有解，则存在，若无解则不存在． 【详解】（1）解：，，， ． ，； （2）由题意，得 ， ． 当时，为等腰三角形； （3）假设存在的值，使得四边形的面积等于， 则 解得． 假设成立， 所以当时，四边形面积的面积等于． 【变式1-2】如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以相同的速度向点D移动，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为t秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点P和点Q的距离可能是吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)能， (3)能，或7 【分析】（1）根据当时，四边形为矩形，列出方程，求出解即可； （2）根据当时，四边形为菱形，在中，根据勾股定理列出方程，求出解即可； （3）先作出辅助线，表示，再根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵点P、Q分别从点A、C同时出发，速度相同． ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴则， 根据题意得， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴当时，四边形为矩形， ， 解得， ∴秒时，四边形为矩形． （2）解：运动过程中，四边形可以为菱形，理由如下： 连接、， ∵点、分别从点、同时出发，速度相同， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形 在中，，， ∴ 即 解得， ∴运动时间为时，四边形为菱形． （3）解：点和点的距离可以是，理由如下： 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，有， 即， 解得，． ∴当运动时间为或时，点和点的距离是． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了动点问题，勾股定理，矩形和菱形的性质，一元二次方程的解法，灵活掌握相关知识是解决问题的关键． 【题型一】一元二次方程有关概念辨析 【例1】一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（） A．3，2 B．2，3 C．3， D．3，4 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，一元二次方程中，二次项系数是a，一次项系数是b，常数项是c． 【详解】解：对于方程，二次项系数为3，一次项系数为． 故选：C． 【变式1-1】下列是一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程）判断各选项． 【详解】解：A、化简后为，最高次数为，不符合一元二次方程的定义； B、，满足一元二次方程的定义； C、含有分式，不是整式方程； D、含有两个未知数和，不符合一元二次方程的定义； 故选：B． 【变式1-2】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3，2，－1 B．3，－2，1 C．－3，2，1 D．－3，－2，－1 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程一般式的系数概念，掌握一元二次方程一般式的系数，是解题的关键；根据一元二次方程的标准形式 ，直接读取系数即可． 【详解】解：∵ 方程 对应标准形式， ∴ 二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 ， 故选：A． 【题型二】一元二次方程解的应用 【例1】下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，熟知方程的解是满足方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入各方程，验证方程是否成立． 【详解】解：A、当时，，该选项不符合题意； B、当时，，该选项符合题意； C、当时，，该选项不符合题意； D、当时，，该选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】已知关于的方程的一个根是，的值是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴， 解得， 故选：C． 【变式1-2】若是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的特征．把代入方程得到，将原式转化为，然后代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ∴， ， ， 故答案为：． 试卷第42页，共42页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $