专题04 解直角三角形（期末复习知识清单，4知识12常考3易错题型）九年级数学上学期华东师大版

该初中数学专题知识清单系统梳理了解直角三角形内容，涵盖直角三角形性质、锐角三角函数定义、特殊角三角函数值及实际应用（仰角俯角、坡度坡角等），搭建从基础概念到实际问题解决的递进式学习支架。 清单以“知识清单+12类题型”构建体系，按基础到综合分级，如“斜边上的中线”到“三角函数综合应用”，关联知识与情境，培养数学思维与应用意识。设计镜面反射测高、方位角计算等情境题型，帮助学生用数学语言表达现实问题，教师可精准教学，学生能通过变式题自主巩固，提升学习效率。

专题04 解直角三角形（4知识&12题型&3易错） 【清单01】直角三角形的性质 1、30°角所对的直角边等于斜边的一半 2、斜边上的中线等于斜边的一半 【清单02】锐角三角函数的定义： 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A为△ABC中的一个锐角， ∠A的正弦：sin A＝＝ ∠A的余弦：cos A＝＝ ∠A的正切：tan A＝＝ 【清单03】特殊角的三角函数值 α sin α cos α tan α 30° 45° 1 60° 【清单04】锐角三角函数的实际应用 仰角、俯角：如图②，图中仰角是∠1，俯角是∠2 坡度(坡比)、坡角：如图③，坡角为α，坡度(坡比)i＝tan α＝ 方向角：如图④，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的 【题型一】常用的测量方法 【例1】如图，一根直立于水平地面的木杆在灯光下形成影子，当木杆绕点按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知，在旋转过程中，影长的最大值为，最小值为，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯的高度为 m． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟悉掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 当旋转到达地面时，为最短影长，则，影长最大时，木杆与光线垂直， 影长的最大值为，即，利用勾股定理求出的长，再证明，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出的长． 【详解】解：如图 当旋转到达地面时，为最短影长，等于， ∵最小值， ∴， ∵影长最大时，木杆与光线垂直，如图 ： 即， 在中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：； 故答案为：． 【变式1-1】如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度为，观测员到标记E的距离为，旗杆底部到标记E的距离为，则旗杆的高度约是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴旗杆的高度约是． 故答案为：． 【变式1-2】如图，为测量电视塔的高度（包括台阶高），小亮在自己与电视塔之间竖立一根高的标杆（即 ）．当他距标杆时（即点 处），塔尖 、标杆的顶端 与小亮的眼睛 恰好在一条直线上．已知小亮的眼睛距地面的高度是，标杆与电视塔之间的距离是，则电视塔的高度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质和判定，过点F作，交于G，交于H，根据相似三角形的判定可以得到； 根据相似三角形的对应边成比例，可以求出的长度，结合人的身高，可以得到电视塔的高度. 【详解】解：过点F作，交于G，交于H，如下图， 由题意可知：， ∴， ∴，即， 解得：. 所以(米). 故答案为：. 【变式1-3】如图所示，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处．若测得台阶，且，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树高AB为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 【详解】解：作于，于，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-4】某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】路灯的高度约为7.7米． 【分析】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用．由题意可知，推出，求得，求得，再由相似三角形的对应边成比例即可得出答案． 【详解】解：设米， 由题意得， 米， ， ， ， 米，米，米， ∴(米）， 米， ， ， ， ， ， 解得． 答：路灯的高度约为7.7米． 【变式1-5】如图，某校宣传栏BC后面处种有一排与宣传栏平行的树，即，且相邻两棵树的间隔为．一人站在宣传栏前面的A处，正好看到DE两端的树，其余的树均被宣传栏挡住．若，则该宣传栏后面DE处共有多少棵树（不计宣传栏的厚度）？ 【答案】处共有棵树 【分析】本题主要考查了相似三角形性质的应用——植树问题，解题时关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，树的棵数与间隔数的关系． 根据，得到，根据相似三角形的相似比等于对应高的比即可求解线段的长度，再根据“树的棵数=间隔数”，求得树的棵数即可． 【详解】解：如图，延长交于点． ， ． ， ， ，即， ． （棵）， 处共有棵树． 故答案为：处共有棵树． 【题型二】斜边上的中线 【例1】如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，菱形的面积为16，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握菱形的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键；由题意易得，然后根据菱形的面积可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵菱形的面积为16， ∴， ∴， ∵点O为的中点，， ∴； 故选：A． 【变式1-1】如图，在锐角中，、分别是、边上的高，连接，点M、N分别是线段、的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长度；（将计算结果化至最简） (3)若，则的度数是________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)60 【分析】本题是三角形综合题，考查了直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理等知识． （1）连接、，由直角三角形斜边上的中线性质得，再由等腰三角形三线合一的性质即可得出结论； （2）由（1）可知，，，再求出，，然后由勾股定理求出的长即可； （3）由等腰三角形的性质得，，再利用三角形内角和定理和平角的定义求出． 【详解】（1）证明：连接、， ∵、分别是、边上的高， ∴，， ∴， ∵点M是的中点， ∴，， ∴， ∵点N是的中点， ∴； （2）解：由（1）可知，，， ∴， ∵， ∴， ∵，N是线段的中点， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：60． 【变式1-2】如图，中，，点D是边上一点，于点E，点F是线段的中点，连接，． (1)求证：； (2)求证： (3)若，，求C，E两点间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了垂线的定义理解，三角形的外角的定义及性质，等边对等角，斜边的中线等于斜边的一半，用勾股定理解三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先证明，再利用直角三角形斜边上的中线的性质求解； （2）先利用等边对等角得出，，再利用三角形外角的性质得出，，从而可利用求解； （3）先求得，再利用直角三角形斜边上的中线的性质求得，然后利用勾股定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∵点F是斜边的中点， ∴，， ∴； （2）连接， 由（1）得， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． （3）∵，， ∴， ∵点F是线段的中点，， ∴， ∴． 即C，E两点间的距离是． 【点睛】本题考查了垂线的定义理解，三角形的外角的定义及性质，等边对等角，斜边的中线等于斜边的一半，用勾股定理解三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【题型三】含30度角的直角三角形 【例1】如图，在中，，，垂直平分，交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可证明，据此根据含30度角的直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵垂直平分，交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式1-1】如图，在等腰中，，是边的中点，过点作，交于点，，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质等知识，过点A作于点，则，由三角形内角和定理得，根据得，，由勾股定理得，，从而得，由勾股定理得，故可得． 【详解】解：过点A作于点，如图， ∵是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是边的中点，过点作， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选：A． 【变式1-2】如图，在中，，，D为上一点，连接，且，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接、． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和等边对等角得到，然后根据三角形的外角性质求解即可； （2）过点A作于点H，过点B作交的延长线于点J，先证明得到，再根据含30度角的直角三角形的性质推导出，即，进而利用线段垂直平分线的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点A作于点H，过点B作交的延长线于点J． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 【题型四】特殊角三角形函数值及其应用 【例1】点关于轴的对称点为点，点绕原点按顺时针方向旋转后的对应点为点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，关于x轴对称的点的坐标特征，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键，先计算点P坐标 求其关于x轴对称点Q，再将Q绕原点顺时针旋转，利用全等得点R坐标． 【详解】解：∵， ， ∴ ， ∵点关于轴的对称点为点， ∴， ∵点绕原点按顺时针方向旋转后的对应点为点， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式1-1】在中，，都是锐角，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 利用非负数的性质和三角函数，求出和的度数，再根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵， 且，， ∴ ，， ，． ，都是锐角， ∴，， 在中，． 故答案为：． 【变式1-2】计算． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，计算即可． 【详解】解： ． 25．先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】； 【分析】本题综合考查了分式的化简与特殊角的三角函数值．解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，将已知量与未知量联系起来． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， ， 原式． 【题型五】用计算器求三角形锐角三角函数值 【例1】若，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了计算器的使用方法，牢记计算器的按键顺序是解题的关键； 首先找到的按键符号，即键，然后根据键的使用方法，结合题目，即可得出答案． 【详解】解：按下键，再按键，再按下0.1890即可，A项符合题意 故选：A． 【变式1-1】利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了计算器-三角函数，要求学生对计算器上的各个功能键熟练掌握，会根据按键顺序列出所要计算的式子． 简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果． 【详解】解：利用该型号计算器计算 ，按键顺序正确的是： 故选：A． 【变式1-2】如图，中，，，，若用科学计算器求的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了计算器的使用，勾股定理，熟练掌握计算器已知角的三角函数值求角的大小是解题的关键． 根据勾股定理求出，得到，再用计算器的功能和功能求解即可． 【详解】解：，，， ， ， 用科学计算器求的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则按键顺序为， 故选：D． 【变式1-3】利用计算器求值时，若按键顺序为，则输出结果为 （结果保留一位小数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了计算器基础知识，熟练掌握特殊三角函数值的计算是关键． 先将按键顺序转化为算式，然后计算即可． 【详解】解：由题意得，计算器输出的结果为， 故答案为：． 【题型六】解直角三角形的有关计算 【例1】如图，在中，，，延长至点，使，连接，． （1）点到的距离为 ． （2）的度数为 ． 【答案】 75° 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，三角形的外角性质，熟练根据特殊角构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，利用，即可求出； （2）连接，证明，可得，再证明，再证明，则为等腰直角三角形，，即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）连接， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 则为等腰直角三角形，， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为三分余角．如图，在中，，互为三分余角，且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了余角和补角，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 要求的值，想到构造直角三角形，根据已知可得的补角为，所以过点B作，交的延长线于点D，分别在和中利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：过点B作，交的延长线于点D， ∵， ∴设，， ，互为三分余角， ， ， 在中，，， ， ， 在中， ． 故答案为：． 【变式1-2】如图，在中，，点D、E、F分别是的中点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则 ． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，，即，根据菱形的判定定理，得到四边形是菱形； （2） 过B作于H，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质得到，设，，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，带入数值即可求解． 【详解】（1）证明：∵点D、E、F分别是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：过B作于H， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定，三角形中位线定理，解直角三角形，勾股定理，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 【题型七】解非直角三角形 【例1】如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 【变式1-1】中，，平分交于，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，作于点，过点作于点，设，，先用三角函数的知识表示出和，进而表示出的面积和的长，在中利用勾股定理并整理得到；再利用角平分线的定义和三角函数的知识表示出和，进而表示出和的面积，利用整理得到，令，，联立方程解出的值即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点，过点作于点， 设，， ，，， ， 在中，，， ，， ，， 在中，， ， 整理得：，即； 平分， ， ，， ，， ， ， 整理得：； 令，，则， 解得：或（舍去）， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形的面积公式、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点，利用等面积法和勾股定理建立方程是解题的关键．本题属于几何压轴题，有一定难度，适合有能力解决几何难题的学生． 【变式1-2】（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 【答案】（1）③；（2），，；（3） 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据解直角三角形的定义可得结论； （2）过点作于点，由中，，，可得，，，设，则，，根据列方程求出，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，由，，可得，当或时，有唯一解，当，即时，有两个解，可得结论． 【详解】解：（1）不能解直角三角形的是已知两个角， 故答案为：③； （2）如图1，过点作于点， 中，，， ，，， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ，， ， ，，； （3）过点作，交的延长线于点， ，， ， ， 当或时，有唯一解， 当，即时，有两个解， 故答案为：． 【题型八】方位角的应用 【例1】，两地间有一段笔直的高速铁路，长度为，某时发生的地震对地面上以点为圆心，为半径的圆形区域内的建筑物有影响，分别从两地处测得点的方位角如图所示，高速铁路是否会受到地震的影响？请通过计算说明理由．（参考数据：，） 【答案】高速铁路不会受到地震的影响．理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法． 过点A作于点C，然后根据特殊角三角函数即可求出，进而进行比较即可判断． 【详解】解：如图，过点A作于点C， ∴， 根据题意可知：， ∴， ∴为等腰直角三角形，且， 在中， ， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴高速铁路不会受到地震的影响． 【变式1-1】潼南福山公园开放后，公园商品交易小摊点和公园环江沿岸步道成了市民晚餐后步行健身和夏季纳凉加购物的好去处，小学生小东和小南相约去大拇指儿童游乐园M处玩，电话联系时，小东正和爸爸在环江步道处散步，处在小南家正北方向，潼南区图书馆在小南家的北偏东方向上、在小东现在位置的北偏东方向上，在小南家的正东方向有一个便利店正好在的中点的正南方．已知潼南区图书馆与小东现在的位置相距2000米．（参考数据：，，） (1)求小南家到图书馆A的直线距离为多少米？（结果精确到个位） (2)若图中的、、、、都是同一平面内的健身步道，因小东到走路线，到图书馆后，要顺便花3分钟还书，小南走路线，要花6分钟购物，若小东和小南步行的速度都是400米每分钟．请经过计算说明小东和小南谁先到达M处？（结果精确到十分位） 【答案】(1)3860米 (2)小南先到达M处，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数关系是解题的关键． （1）过点C作于H，，根据，，即可求解； （2）由（1）得，进而分别求得，分别计算小东和小南走所用的时间，比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，， 过点C作于H，， ∴， ∴． ∴（米）， 即：小南家到图书馆A的直线距离为3860米； （2）小南先到达M处，理由如下： 由（1）知， ∵M为的中点， ∴， ∴小东到点M需用（分钟）； 在中，，， ∴， ， ∴ ∴小南到点M需用（分钟）， ． ∴小南先到达M处． 【变式1-2】如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东方向且在观测点D的北偏东方向（参考数据： ） (1)求的距离（结果保留根号）． (2)观测结束后，甲巡逻艇从观测点A出发沿往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇到C处的距离是甲巡逻艇到C处的距离的3倍时，乙巡逻艇距离D处多少海里（结果保留整数）？ 【答案】(1)的距离为海里 (2)168海里 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，含角的直角三角形的性质，列一元一次方程解决几何问题，解题的关键是掌握锐角三角函数． （1）过点C作，交的延长线于点E，设海里，利用锐角三角函数求出相关线段的长度，然后利用，求出未知数的值求解即可； （2）设乙行驶的路程为s海里，则甲行驶的路程为海里，根据距离的关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作，交的延长线于点E， 设海里， ∴， ∴， 由题意得：海里， 海里， ∵， ∴， 解得， ∴海里， ∴的距离为海里； （2）解：设乙行驶的路程为s海里，则甲行驶的路程为海里，根据题意得， ， 解得， ∴乙巡逻艇距离D处海里． 【变式1-3】如图．点为某物流中心、为三个驿站，在的正北方向处，在的正东方向，在的北偏西方向处，在北偏西方向． (1)求驿站与驿站之间的距离（结果精确到）； (2)某日，快递员从该物流中心出发．以的速度沿的路线派送快递到各个驿站、快递员途经，两个驿站各停留存放快递，请计算说明快递员能否在内到达驿站？（参考数据：） 【答案】(1)驿站与驿站之间的距离约为． (2)快递员能在内到达驿站 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用． （1）如图，过作于，作于，而，可得四边形为矩形，再进一步求解，，进一步可得答案． （2）利用路程除以速度结合快递员途经，两个驿站各停留存放快递，计算总时间，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，过作于，作于，而， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ∴驿站与驿站之间的距离约为． （2）解：∵，，， ∴， ∴总时间为：， ∴快递员能在内到达驿站． 【题型九】仰角、俯角的应用 【例1】在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度，在处用高为米的测角仪测得摩天轮顶端的仰角，再向摩天轮方向前进30米至处，又测得摩天轮顶端的仰角．求摩天轮的高度．（参考数据：，，，） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，延长交于点，根据题意得四边形和都是矩形，则，米，然后分别在中，，在中，，代入数值化简得，进而求得的长，根据，即可求解． 【详解】解：延长交于点，根据题意得四边形和都是矩形 ∴，米，，米 在中， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴（米） 答：摩天轮的高度大约是米． 【变式1-1】 “这么近，那么美，周末到河北”成为河北旅游最响亮最脍炙人口的宣传口号，正定南城门的旅游人数屡创新高，某中学数学兴趣小组用无人机测量正定南城门城楼的高度，测量方案如图：在坡底处测得楼顶的仰角为，沿坡比为的斜坡前行13米到达平台处，在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，） (1)求坡顶到地面的距离； (2)计算南城门城楼的高度（结果保留一位小数）． 【答案】(1)5米 (2)米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点B作于F，根据题意可得，设米，米，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （2）延长交于H， 可证明四边形是矩形，得到米，设米，则米，解得到米，解得到米，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作于F， ∵斜坡的坡比为， ∴， 设米，米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴米， 答：坡顶到地面的距离为5米； （2）解：如图所示，延长交于H，由题意得，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴米， 由（1）可得米， 设米，则米， 在中，米， ∴米， 在中，米， ∴， 解得， ∴米， 答：南城门城楼的高度约为米． 【变式1-2】如图，九年一班综合实践小组开展测量某建筑物顶部广告牌高度的实践活动，测量过程与数据信息如下： ①小亮位于点处，其身高，此时他的影长，同一时刻，的影长； ②小强站在距离建筑物的处，用测角仪测得； ③点在同一条直线上． 请你根据以上数据求出广告牌的高度． （结果精确到．参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，在中，根据正切的定义求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：由题意知，， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 答：广告牌AB的高度约为． 【变式1-3】如图所示的是李亮利用无人机进行测量的示意图，点在同一平面内，当无人机在离地面的高度为时，测得李亮所在位置的俯角为，楼顶的俯角为，点到大楼的水平距离为．（参考数据：，结果精确到） (1)若无人机到李亮的距离在内是遥控器的可控范围，此时飞机是否在可控范围内？请说明理由． (2)若让无人机在可控范围内，李亮最多可由点向点移动多少米？ (3)求大楼的高． 【答案】(1)飞机在可控范围内，理由见解析 (2)李亮最多可由点向点的方向移动 (3)大楼的高约为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点.利用三角函数解求出，即可做出判断； （2）设李亮由点移动到点时无人机刚好在可控范围内，则，用勾股定理解，进而求出即可； （3）过点作于点.利用三角函数解，即可求解． 【详解】（1）解： 此时飞机在可控范围内，理由如下： 如图，过点作于点， ∴， 在中， ∵， ∴， . ∵， ∴此时飞机在可控范围内； （2）解： 设李亮由点移动到点时无人机刚好在可控范围内，则， 在中， ， 在中， ∵， ∴， ∴； 答：若让无人机在可控范围内，李亮最多可由点向点的方向移动； （3）解： 如图，过点作于点. ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 答：大楼的高约为. 【题型十】坡度、坡角的应用 【例1】如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为，则斜坡的长为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义是解题关键． 先根据坡度定义求出斜坡的垂直高度，再利用勾股定理计算斜坡的长度． 【详解】解：斜坡的坡度是垂直高度与水平宽度的比， 斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为， ，米， 米， 据勾股定理可得米． 答：米． 【变式1-1】某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某景区山的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪等 模型抽象 如图，是山脚的水平线，大山高垂直于水平线于点D． 测量过程与 数据信息 1．在山脚A处测出山顶B的仰角； 2．沿着山坡前进到达C处； 3．在C处测出山顶B的仰角，山坡的坡角．（图中所有点均在同一平面内） （参考数据：，，，，，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： (1)求坡面的水平距离和垂直距离； (2)求山的高度，即求线段的长．（注：请用（1）中坡面的水平距离和垂直距离的整数值进行计算） 【答案】(1)坡面的水平距离和垂直距离分别是和 (2)山的高度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． （1）过点作，垂足为，在中，利用正弦定义和余弦定义求解和即可； （2）延长交于点，设，根据已知先得到，，，，在中，利用正切定义求得x即可求解． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，如图， 在中，， ， ， ． 答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和； （2）解：如图，延长交于点，设， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ，即， 解得 ， 答：山的高度为． 【变式1-2】左图是一种自卸货车，右图是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点、、在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为1.3米． 卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点旋转，箱体底部形成不同角度的斜坡． (1)当斜坡的坡角为时，求车厢最高点离地面的距离； (2)点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货箱对角线、的交点是货箱侧面的重心，卸货时如果、两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡的坡角为时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，） 【答案】(1)米 (2)不会，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的重心，旋转的性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）要求车厢最高点C离地面的距离，所以过点C作，垂足为H，再过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q，这样构造一个矩形，两个直角三角形和，然后进行计算即可； （2）要求A、G两点的水平距离，所以过点G作，垂足为O，再过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K，这样构造一个矩形，四个直角三角形，分别为，，，，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为H，过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：车厢最高点C离地面的距离是米； （2）解：不会发生安全事故， 理由是：过点G作，垂足为O，过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴不会发生安全事故． 【变式1-3】如图，小红想测量在斜坡上的古塔的高，为了测出斜坡的坡角，小红拿一根竹竿，点D在斜坡上，米，点E在平地上，米，小红用量角器测得． (1)斜坡的坡角为___________； (2)同一时刻，小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米，古塔的影子一部分在长12米的斜坡上，一部分在平地上，影子的顶端与点E重合．图中所有点均在同一平面内，根据小红的测量，请你算出古塔的高．（精确到0.1米，参考数据：） 【答案】(1) (2)5.4米 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、解直角三角形、锐角三角函数以及特殊角三角函数值，熟练掌握并综合应用等腰三角形的性质、三角形外角的性质、解直角三角形、锐角三角函数以及特殊角三角函数值是解题的关键． （1）由“等边对等角”得，再由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”计算出斜坡的坡角； （2）先在中，利用锐角三角函数解直角三角形计算出、的长，再由身高影长之比得阳光与地面夹角是，从而得出是等腰直角三角形，易得，最后计算出古塔的高． 【详解】（1）解：米，米， ， ， 是的外角， ， 斜坡的坡角为． （2）解：如图， ，，米， （米）， 在中，， ，解得米， 米， （米）， 小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米， 太阳光与地面的夹角为， ， 米， （米）． 答：古塔的高约为5.4米． 【题型十一】解直角三角形的其它应用问题 【例1】为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图①，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图②，这是遮阳篷的侧面示意图，遮阳篷靠墙端距离地面的高度记为，遮阳篷长为，与水平面的夹角为16°，当太阳光线与地面的夹角为45°时，测得影长为，求遮阳篷靠墙端距离地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，构造合适的直角三角形，利用三角函数求解线段是解题关键． 过点A分别作，的垂线，利用三角函数求出所需的线段长，通过和差计算即可． 【详解】如图，过点A作于点，于点， ∵，， ∴， 由题意，得， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【变式1-1】实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为10°． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（参考数据：，，） 【答案】(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度为 (2)线段的长度为 【分析】（1）过点作于点，直接利用的余弦即可求出，从而得到的长度； （2）过点作于点，于点，过点作于点，先在中求出，，进而求出，，利用即可解决问题． 【详解】（1）解：过点作于点， ，， ，， ， ， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； （2）过点作于点，于点，过点作于点， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：线段的长度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 【变式1-2】如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离（结果保留根号）； (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点A到地面的距离（精确到，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识． （1）过点C作，垂足为M，则，证，由含角 的直角三角形的性质得，即可得出答案； （2）过点B作垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作的垂线，垂足分别为E，F，则四边形是矩形，利用解直角三角形及矩形的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为M，则， ∵垂直水平地面，臂与水平面平行， ∴三点共线， ，， ， ，， ， 即点A到地面的距离为； （2）解：如图，过点B作垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作的垂线，垂足分别为E，F，则四边形是矩形， ∴； ，， ，，， ，，， 点A到地面的距离为． 【变式1-3】综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． 已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 任务1： （1）某一时刻测得米， ①请直接写出________； ②请求出此时影子的长度； 任务2： （2）这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 【答案】任务米，;米；任务小明会被照射到 【分析】本题主要考查真实情景下的解直角三角形的实际运用，涉及正弦、余弦、正切三角函数的运用，等腰三角形的性质与勾股定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握三角函数是解题关键． 任务1：①由可得答案；如图，过作于，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得，进一步可得答案；②先过点作于点，过点作于点，再求出，从而结合，可证，最后利用三角函数即可得出的长度； 任务2：如图，过点作交于点，在中，米米，可得米，在中，米，在中，米，在中，当时，米，进一步求解即可． 【详解】解：任务1：悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍， （米）， 如图，过作于，而， 故答案为：; ②如图，过点作于点，过点作于点， 结合题意可得：四边形为矩形， 由条件可知米， 在中，， 又， 解得：米， 此时影子的长度为米； 任务2：小明会被照射到．理由如下： 如图，过点作交于点 由条件可知， 由条件可知是等边三角形， 米， . 米， 米， 当时，米， 小明刚好被照射到时离点的距离为， 小明会被照射到. 【题型十二】三角函数的综合应用 【例1】阅读材料，回答问题： 小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在中，如果，，，，，那么． 通过上网查阅资料，他又知“”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着的关系．” 这个关系对于任意一个三角形还适用吗？为此他做了如下的探究： (1)如图2，在中，，，，． 请判断此时“”的关系是否成立？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由； (2)完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角，上述关系还成立吗？因此他又继续进行了如下的探究： 如图3，在锐角中，，，． 过点作于． ∵在和中，， ∴______，______． ∴______，______． ∴． 同理，过点作于，可证． ∴． 请将上面的过程补充完整． (3)如图4，在中，如果，，，那么______． 【答案】(1)成立，详见解析 (2)，，， (3) 【分析】本题锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键，注意分情况讨论思想的灵活运用． （1）根据三角函数的定义得到于是得到结论； （2）过点C作于D．根据三角函数的定义得到，，推出，．同理，过点A作于H，可证，即可得到结论； （3）把，，，代入，即可求得的长度． 【详解】（1）1）成立， 理由如下：∵， ∴， ∴； （2）在锐角中，，，， 过点C作于D， ∵在和中，， ∴，． ∴，． ∴． 同理，过点A作于H，可证， ∴， 故答案为：；；； ； （3），，，代入， ，即， ． 【变式1-1】已知，和都是等腰三角形，其中，，，在初始状态时，点E在边，点D在外部． （1）问题提出：如图1，连接、，求证：； （2）问题探究：如图2，若，当时，将绕点A顺时针旋转，连接交的延长线于点F，取的中点G，连接，求证：； （3）问题拓展：在问题探究的条件下，若的周长为，直接写出的长_______． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可得证． （2）连接、，得到，，，，证明，过点B作，交的延长线于点H，证明，根据三角形中位线定理得到，等量代换后即可得证． （3）设，根据，得到，，，，继而得到，结合的周长为，建立方程解答即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴． （2）证明：连接，连接， ∵，的中点G，， ∴，，， ∴，， ∵， 绕点A顺时针旋转， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， 过点B作，交的延长线于点H， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵的中点G， ∴是的中位线定理， ∴， ∴． （3）解：设， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴ 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角函数的应用，旋转的性质，三角形中位线，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【变式1-2】如图，在中，，，，动点从点出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点运动．当点不与的顶点重合时，过点作于点，以为边在的下方作正方形．设点运动的时间为秒，正方形与重叠部分图形的面积为． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)当点落在边上时，求的值； (3)当正方形与重叠部分图形为四边形时，求关于的函数关系式． 【答案】(1)当点在边上，即时，；当点在边上，即时， (2) (3)当时，；当时， 【分析】（1）分点在边上，点在边上，两种情况，利用三角函数解答即可； （2）证明，列比例式解答即可； （3）根据运动的情况，分三种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴，，， 设运动时间为，则，当点P在上时，运动时间为：；当点P在上时，运动时间为：； 当点在边上即时，， ∵以为边在的下方作正方形． ∴； 当点在边上，即时，， ∴， ∵以为边在的下方作正方形． ∴． 综上所述，． （2）解：根据题意，此时，点P在上， 设运动时间为，则，， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得 故当运动时，点落在边上． （3）解：根据（1）（2），当时，正方形与重叠部分图形为正方形，是四边形，符合题意，此时， 故； 当时，如图所示，重叠部分是一个五边形，不符合题意； 当时， 重叠部分是四边形，符合题意； 设与的交点为G，此时， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， 解得 根据四边形的面积等于正方形的面积减去三角形的面积，得 ， 综上所述，． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，分类的思想应用，熟练掌握定理和性质，三角函数的应用是解题的关键． 【题型一】正弦定义及应用 【例1】在，，若的三边都缩小到原来的，则的值（   ） A．放大5倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，，锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴的对边与斜边的比值， ∵的三边都缩小到原来的， ∴的对边与斜边的比值不变， ∴的值不变． 故选：C． 【变式1-1】如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理以及网格结构，可以求得的长，然后根据等积法求得的长，然后根据正弦函数的定义即可得到的值． 【详解】解：如图，作于点, 作于点， 由已知可得，， ， ， ． 故选：C． 【变式1-2】如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；因此此题可根据三角函数进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 【题型二】余弦定义及应用 【例1】如图，在Rt中，于点．下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可推出、、均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出即可. 【详解】解：如图，、、均为直角三角形， A、在中，故A可以表示； B、在中，故B可以表示； C、不能表示 D、，，，在中，，故D可以表示； 故选：C. 【点睛】本题考查了余弦的概念，熟练掌握余弦概念辨析是解题关键． 【变式1-1】的三边长分别为3，2，，则中最小角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理和余弦定义，利用勾股定理判定出三角形是直角三角形，然后再利用余弦定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， ∴最小角的余弦值是：， 故选：C． 【变式1-2】在中，，，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据正弦的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 【题型三】正切定义及应用 【例1】如图，是《周髀算经》中的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形都全等，如果大正方形的面积是小正方形面积的5倍，那么的余切值是 ． 【答案】2 【分析】此题中根据正方形以及直角三角形的面积公式求得直角三角形的三边，进一步运用锐角三角函数的定义求解． 小正方形面积是，则大正方形的面积是，则小正方形边长是，设，利用勾股定理求出，最后利用熟记函数即可解答． 【详解】解：设小正方形面积是，则大正方形的面积是， ∴小正方形边长是， ∵图中的四个直角三角形是全等的， ∴， 设， 在中，， 即， 解得：（舍去）， ∴， ∴的余切值， 故答案为：2． 【变式1-1】如图，在中，，于点，下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形相关知识，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键． 【详解】解：∵在中，，是边上的高， ∴均为直角三角形， 又∵，， ∴， 在中，，故A可以表示，不符合题意； 在中，，故C可以表示，不符合题意； 在中，，故D可以表示，不符合题意； 不能表示，故B符合题意． 故选：B． 【变式1-2】如图所示，在中，，，，则 ． 【答案】13 【分析】本题考查了解直角三角形，三角函数的定义及勾股定理，掌握三角函数的定义是解题的关键．注意勾股定理的应用． 利用三角函数的定义可以求得，再利用勾股定理可求得． 【详解】解：在中，， ， ，， ， ， ． 故答案为13． 试卷第2页，共65页 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 解直角三角形（4知识&12题型&3易错） 【清单01】直角三角形的性质 1、30°角所对的直角边等于 2、斜边上的中线等于 【清单02】锐角三角函数的定义： 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A为△ABC中的一个锐角， ∠A的正弦：sin A＝ ＝ ∠A的余弦：cos A＝ ＝ ∠A的正切：tan A＝ ＝ 【清单03】特殊角的三角函数值 α sin α cos α tan α 30° 45° 1 60° 【清单04】锐角三角函数的实际应用 仰角、俯角：如图②，图中仰角是 ，俯角是 坡度(坡比)、坡角：如图③，坡角为 ，坡度(坡比)i＝tan α＝ 方向角：如图④，A点位于O点的 方向，B点位于O点的 方向，C点位于O点的 【题型一】常用的测量方法 【例1】如图，一根直立于水平地面的木杆在灯光下形成影子，当木杆绕点按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知，在旋转过程中，影长的最大值为，最小值为，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯的高度为 m． 【变式1-1】如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度为，观测员到标记E的距离为，旗杆底部到标记E的距离为，则旗杆的高度约是 ． 【变式1-2】如图，为测量电视塔的高度（包括台阶高），小亮在自己与电视塔之间竖立一根高的标杆（即 ）．当他距标杆时（即点 处），塔尖 、标杆的顶端 与小亮的眼睛 恰好在一条直线上．已知小亮的眼睛距地面的高度是，标杆与电视塔之间的距离是，则电视塔的高度是 ． 【变式1-3】如图所示，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处．若测得台阶，且，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树高AB为 ． 【变式1-4】某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【变式1-5】如图，某校宣传栏BC后面处种有一排与宣传栏平行的树，即，且相邻两棵树的间隔为．一人站在宣传栏前面的A处，正好看到DE两端的树，其余的树均被宣传栏挡住．若，则该宣传栏后面DE处共有多少棵树（不计宣传栏的厚度）？ 【题型二】斜边上的中线 【例1】如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，菱形的面积为16，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【变式1-1】如图，在锐角中，、分别是、边上的高，连接，点M、N分别是线段、的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长度；（将计算结果化至最简） (3)若，则的度数是________． 【变式1-2】如图，中，，点D是边上一点，于点E，点F是线段的中点，连接，． (1)求证：； (2)求证： (3)若，，求C，E两点间的距离． 【题型三】含30度角的直角三角形 【例1】如图，在中，，，垂直平分，交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在等腰中，，是边的中点，过点作，交于点，，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1-2】如图，在中，，，D为上一点，连接，且，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接、． (1)求的度数； (2)求证：． 【题型四】特殊角三角形函数值及其应用 【例1】点关于轴的对称点为点，点绕原点按顺时针方向旋转后的对应点为点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】在中，，都是锐角，若，则的度数是 ． 【变式1-2】计算． 25．先化简，再求代数式的值，其中． 【题型五】用计算器求三角形锐角三角函数值 【例1】若，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式1-1】利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，中，，，，若用科学计算器求的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】利用计算器求值时，若按键顺序为，则输出结果为 （结果保留一位小数）． 【题型六】解直角三角形的有关计算 【例1】如图，在中，，，延长至点，使，连接，． （1）点到的距离为 ． （2）的度数为 ． 【变式1-1】我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为三分余角．如图，在中，，互为三分余角，且，则 ． 【变式1-2】如图，在中，，点D、E、F分别是的中点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则 ． 【题型七】解非直角三角形 【例1】如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】中，，平分交于，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 【题型八】方位角的应用 【例1】，两地间有一段笔直的高速铁路，长度为，某时发生的地震对地面上以点为圆心，为半径的圆形区域内的建筑物有影响，分别从两地处测得点的方位角如图所示，高速铁路是否会受到地震的影响？请通过计算说明理由．（参考数据：，） 【变式1-1】潼南福山公园开放后，公园商品交易小摊点和公园环江沿岸步道成了市民晚餐后步行健身和夏季纳凉加购物的好去处，小学生小东和小南相约去大拇指儿童游乐园M处玩，电话联系时，小东正和爸爸在环江步道处散步，处在小南家正北方向，潼南区图书馆在小南家的北偏东方向上、在小东现在位置的北偏东方向上，在小南家的正东方向有一个便利店正好在的中点的正南方．已知潼南区图书馆与小东现在的位置相距2000米．（参考数据：，，） (1)求小南家到图书馆A的直线距离为多少米？（结果精确到个位） (2)若图中的、、、、都是同一平面内的健身步道，因小东到走路线，到图书馆后，要顺便花3分钟还书，小南走路线，要花6分钟购物，若小东和小南步行的速度都是400米每分钟．请经过计算说明小东和小南谁先到达M处？（结果精确到十分位） ∴， ∴． 【变式1-2】如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东方向且在观测点D的北偏东方向（参考数据： ） (1)求的距离（结果保留根号）． (2)观测结束后，甲巡逻艇从观测点A出发沿往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇到C处的距离是甲巡逻艇到C处的距离的3倍时，乙巡逻艇距离D处多少海里（结果保留整数）？ 【变式1-3】如图．点为某物流中心、为三个驿站，在的正北方向处，在的正东方向，在的北偏西方向处，在北偏西方向． (1)求驿站与驿站之间的距离（结果精确到）； (2)某日，快递员从该物流中心出发．以的速度沿的路线派送快递到各个驿站、快递员途经，两个驿站各停留存放快递，请计算说明快递员能否在内到达驿站？（参考数据：） 【题型九】仰角、俯角的应用 【例1】在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度，在处用高为米的测角仪测得摩天轮顶端的仰角，再向摩天轮方向前进30米至处，又测得摩天轮顶端的仰角．求摩天轮的高度．（参考数据：，，，） 【变式1-1】 “这么近，那么美，周末到河北”成为河北旅游最响亮最脍炙人口的宣传口号，正定南城门的旅游人数屡创新高，某中学数学兴趣小组用无人机测量正定南城门城楼的高度，测量方案如图：在坡底处测得楼顶的仰角为，沿坡比为的斜坡前行13米到达平台处，在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，） (1)求坡顶到地面的距离； (2)计算南城门城楼的高度（结果保留一位小数）． 【变式1-2】如图，九年一班综合实践小组开展测量某建筑物顶部广告牌高度的实践活动，测量过程与数据信息如下： ①小亮位于点处，其身高，此时他的影长，同一时刻，的影长； ②小强站在距离建筑物的处，用测角仪测得； ③点在同一条直线上． 请你根据以上数据求出广告牌的高度． （结果精确到．参考数据：） 【变式1-3】如图所示的是李亮利用无人机进行测量的示意图，点在同一平面内，当无人机在离地面的高度为时，测得李亮所在位置的俯角为，楼顶的俯角为，点到大楼的水平距离为．（参考数据：，结果精确到） (1)若无人机到李亮的距离在内是遥控器的可控范围，此时飞机是否在可控范围内？请说明理由． (2)若让无人机在可控范围内，李亮最多可由点向点移动多少米？ (3)求大楼的高． 【题型十】坡度、坡角的应用 【例1】如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为，则斜坡的长为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式1-1】某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某景区山的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪等 模型抽象 如图，是山脚的水平线，大山高垂直于水平线于点D． 测量过程与 数据信息 1．在山脚A处测出山顶B的仰角； 2．沿着山坡前进到达C处； 3．在C处测出山顶B的仰角，山坡的坡角．（图中所有点均在同一平面内） （参考数据：，，，，，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： (1)求坡面的水平距离和垂直距离； (2)求山的高度，即求线段的长．（注：请用（1）中坡面的水平距离和垂直距离的整数值进行计算） 【变式1-2】左图是一种自卸货车，右图是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点、、在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为1.3米． 卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点旋转，箱体底部形成不同角度的斜坡． (1)当斜坡的坡角为时，求车厢最高点离地面的距离； (2)点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货箱对角线、的交点是货箱侧面的重心，卸货时如果、两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡的坡角为时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，） 【变式1-3】如图，小红想测量在斜坡上的古塔的高，为了测出斜坡的坡角，小红拿一根竹竿，点D在斜坡上，米，点E在平地上，米，小红用量角器测得． (1)斜坡的坡角为___________； (2)同一时刻，小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米，古塔的影子一部分在长12米的斜坡上，一部分在平地上，影子的顶端与点E重合．图中所有点均在同一平面内，根据小红的测量，请你算出古塔的高．（精确到0.1米，参考数据：） 【题型十一】解直角三角形的其它应用问题 【例1】为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图①，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图②，这是遮阳篷的侧面示意图，遮阳篷靠墙端距离地面的高度记为，遮阳篷长为，与水平面的夹角为16°，当太阳光线与地面的夹角为45°时，测得影长为，求遮阳篷靠墙端距离地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 【变式1-1】实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为10°． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（参考数据：，，） 【变式1-2】如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离（结果保留根号）； (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点A到地面的距离（精确到，，）． 【变式1-3】综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． 已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 任务1： （1）某一时刻测得米， ①请直接写出________； ②请求出此时影子的长度； 任务2： （2）这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 【题型十二】三角函数的综合应用 【例1】阅读材料，回答问题： 小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在中，如果，，，，，那么． 通过上网查阅资料，他又知“”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着的关系．” 这个关系对于任意一个三角形还适用吗？为此他做了如下的探究： (1)如图2，在中，，，，． 请判断此时“”的关系是否成立？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由； (2)完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角，上述关系还成立吗？因此他又继续进行了如下的探究： 如图3，在锐角中，，，． 过点作于． ∵在和中，， ∴______，______． ∴______，______． ∴． 同理，过点作于，可证． ∴． 请将上面的过程补充完整． (3)如图4，在中，如果，，，那么______． 【变式1-1】已知，和都是等腰三角形，其中，，，在初始状态时，点E在边，点D在外部． （1）问题提出：如图1，连接、，求证：； （2）问题探究：如图2，若，当时，将绕点A顺时针旋转，连接交的延长线于点F，取的中点G，连接，求证：； （3）问题拓展：在问题探究的条件下，若的周长为，直接写出的长_______． 【变式1-2】如图，在中，，，，动点从点出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点运动．当点不与的顶点重合时，过点作于点，以为边在的下方作正方形．设点运动的时间为秒，正方形与重叠部分图形的面积为． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)当点落在边上时，求的值； (3)当正方形与重叠部分图形为四边形时，求关于的函数关系式． 【题型一】正弦定义及应用 【例1】在，，若的三边都缩小到原来的，则的值（   ） A．放大5倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．无法确定 【变式1-1】如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，，，，求的长． 【题型二】余弦定义及应用 【例1】如图，在Rt中，于点．下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】的三边长分别为3，2，，则中最小角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】在中，，，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 【题型三】正切定义及应用 【例1】如图，是《周髀算经》中的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形都全等，如果大正方形的面积是小正方形面积的5倍，那么的余切值是 ． 【变式1-1】如图，在中，，于点，下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图所示，在中，，，，则 ． 试卷第2页，共65页 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $