专题05 随机事件的概率（期末复习知识清单，4知识8常考3易错题型）九年级数学上学期华东师大版

该初中数学概率专题知识清单系统梳理了随机事件概率的核心内容，涵盖事件分类、概率计算（公式法、列表法、树状图法）、几何概型、频率估计概率四大知识模块，搭配8类典型题型及3个易错点专项，搭建从基础概念到综合应用的递进式学习架构。 清单采用“知识清单+题型变式+生活情境”的立体设计，如用频率估计概率结合鱼塘估鱼、树苗成活率等实例，培养学生的数据意识和数学眼光。每种题型配备“例题+变式”训练，如列表法求概率融入书院讲解、邮票抽取等背景，强化数学思维和应用意识。易错点专项如事件分类辨析，助力学生精准突破，教师可直接用于课堂教学或分层作业设计，提升教学实效。

专题05 随机事件的概率（4知识&8题型&3易错） 【清单01】事件的分类 事件类型 概率 确定 事件 必然事件 1 不可能事件 0 随机事件 0～1之间 【清单02】概率的计算 (1)直接公式法：事件A发生的概率为P(A)＝，其中n为结果总数，m为事件A发生的结果数； (2)列表法：当一次试验涉及两步计算，并且可能出现的结果数目较多时，可采用列表法不重不漏地列出所有可能的结果，再根据P(A)＝计算概率； (3)画树状图法：当一次试验要涉及两步或两步以上的计算时，通常采用画树状图法来表示所有可能的结果，再根据P(A)＝计算概率； 【清单03】几何概型的概率公式 P(A)＝； 【清单04】公式频率估计概率 一般地在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p. 【题型一】用频率估计概率 【例1】关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 【答案】C 【分析】本题考查频率与概率的关系． 概率是理论值，频率是实验值，当实验次数较多时，频率会稳定在概率附近． 根据频率与概率的关系逐一判断即可． 【详解】解：概率是事件发生的理论值，频率是实验值，通过大量重复实验，频率逐渐稳定于概率； 选项A错误，实验次数越多频率越接近概率； 选项B错误，频率不一定等于概率； 选项C正确，符合频率的稳定性； 选项D错误，对于均匀骰子，点数为6的概率为，实验10次次数较少，频率可能偏离概率，估计不准确． 故选：C． 【变式1-1】如图是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（） A．当投掷次数是时，“钉尖向上”的次数是 B．当投掷第次时，“钉尖向上”的概率是 C．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于，故可以估计其概率是 D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的频率一定是 【答案】AC 【分析】本题考查利用频率估计概率，根据图形和各个选项的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：当投掷次数是时，此次计算机记录“钉尖向上”的频率是，故此次次数约是，选项A符合题意； 当投掷次数是时，此时“钉尖向上”的频率是，但“钉尖向上”的概率不一定是，选项B不合题意； 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是．选项C符合题意； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的频率可能是，但不一定是，选项D不符合题意． 故选：AC． 【变式1-2】为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后，发现捕捞的鱼中有记号的鱼的频率稳定在左右，则鱼塘中估计约有 条鱼． 【答案】2000 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．设鱼塘中有鱼条，根据频率估计概率，有记号的鱼的频率稳定在0.1左右，即，解方程即可估计鱼塘中鱼的数量． 【详解】解：设鱼塘中有鱼条， 根据题意得：， 解得：， 经检验，为原方程的解， 故鱼塘中估计约有2000条鱼． 【变式1-3】靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中，_____，_____； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1） (3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 【答案】(1)，1802 (2) (3)估计还要移植4000棵这种苹果树苗 【分析】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率. （1）根据成活率成活数移植棵树，可算出a，根据成活数移植棵数成活率，可算出b； （2）利用频率估计概率即可； （3）利用概率公式计算即可. 【详解】（1）解：∵成活率成活数移植棵数，成活数移植棵数成活率， ∴，， （2）解：∵随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近，显示出一定的稳定性， ∴可以估计该种苹果树苗成活的概率是0.9. 故答案为：0.9. （3）解：（棵） 答：估计还要移植4000棵这种苹果树苗. 【题型二】用列举法求概率 【例1】经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，假设这 种可能性相同，现有两辆汽车经过这个十字路口，驶向相同方向的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列举法求概率，熟练列出所有可能结果是解题的关键． 计算两辆车所有可能的方向组合和驶向相同方向的组合，然后求概率即可． 【详解】解：每辆车有3种方向选择：直行、左转、右转，且选择独立， 则可能的情况组合为： （直行，直行）、（直行，左转）、（直行，右转）、（左转，直行）、（左转，左转）、（左转，右转）、（右转，直行）、（右转，左转）、（右转，右转）， 总可能结果数为9种，其中两辆车驶向相同方向的情况有3种：都直行、都左转、都右转， 因此驶向相同方向的概率是， 故选：A． 【变式1-1】十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把“虎”、“龙”、“蛇”、“马”4张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取2张，那么乙同学抽到的邮票恰好是“龙”和“马”的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用列举法求概率，熟练掌握列举法求概率的方法． 【详解】解：所有可能的抽取组合有6种：{虎,龙}、{虎,蛇}、{虎,马}、{龙,蛇}、{龙,马}、{蛇,马}，其中抽到“龙”和“马”的结果有1种，因此概率为， 故答案为：. 【变式1-2】从，4，5这三个数中任取两个数作为点的坐标，则点在第二象限的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查概率计算、点的坐标，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 首先列出从，4，5中任取两个不同的数组成的所有有序对作为点的坐标，总共有6种等可能结果；然后找出其中在第二象限的点（，），有2个结果；最后计算概率． 【详解】解：所有可能的结果为：，，，，，，共6种等可能结果． 其中点在第二象限的结果有2个：，， 因此概率为． 故答案为：． 【题型三】几何概率 【例1】如图，将一枚飞镖任意投掷到边长为的正方形镖盘内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率计算，正确理解概率的几何意义是解题的关键．连接，，圆的直径为正方形的边长即直径为，，用小正方形的面积除以大正方形的面积即可． 【详解】解：正方形镖盘的边长为， 圆的直径为正方形的边长，即直径为， 如图， 连接，， ， 阴影部分的面积为：， 故飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 【变式1-1】如图，点是的中线上一点，，过点作，分别交和于点，现随机向内部抛一粒米，则米落在图中阴影部分的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合中线平分三角形的面积、相似三角形的判定与性质推得即可得解． 【详解】解：是的中线， ， ，， ，且相似比为， ， 即， 则米落在图中阴影部分的概率为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是中线平分三角形的面积、相似三角形的判定与性质、几何概率，解题关键是结合相似三角形的性质推出与的面积比． 【变式1-2】近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了用频率估计概率，几何概率，理解题意是解题的关键．根据题意可知，黑色部分的面积占正方形二维码面积的，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右， ∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的， ∴估计黑色部分的面积约为． 故答案为：12． 【变式1-3】如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成6个扇形，颜色分别为红、黄、蓝三种，其中红色扇形有3个，黄色扇形有2个，蓝色扇形有1个．转动转盘，当转盘停止后，指针指向哪种颜色区域的可能性最大？指向哪种颜色区域的可能性最小？ 【答案】指针指向红色区域的可能性最大，指向蓝色区域的可能性最小 【分析】本题考查概率的基本概念，关键在于理解事件发生的可能性大小与对应区域的数量成正比，通过统计不同颜色区域的数量并比较，即可得出指针指向不同颜色区域的可能性大小关系，这类题目有助于巩固对概率本质的理解． 要确定指针指向哪种颜色区域的可能性最大或最小，需依据“概率大小与对应区域数量成正比”这一原理；由于转盘被等分成6个扇形，每个扇形面积相等，因此某颜色扇形数量越多，指针指向该颜色区域的可能性越大；反之则越小；所以需先明确各颜色扇形的数量，再比较数量多少来判断可能性大小； 【详解】转盘被等分成6个扇形，指针指向每个扇形的可能性是均等的．红色扇形有3个，其占比为 = ；黄色扇形有2个，占比为 = ；蓝色扇形有1个，占比为．因为 > > ，所以指针指向红色区域的可能性最大，指向蓝色区域的可能性最小． 答：指针指向红色区域的可能性最大，指向蓝色区域的可能性最小． 【题型四】用列表法求概率 【例1】某校音乐兴趣小组组建了一支舞蹈队，现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一名男生和一名女生．（温馨提示：用、、、分别表示甲、乙两班推荐的名学生） (1)请用列举的方法写出所有可能出现的结果； (2)若要求选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率． 【答案】(1)（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，） (2) 【分析】本题考查概率的计算，掌握列举法、树状图和列表法是解题关键． （1）从名学生中选取人，用列举法列出所有可能的组合结果； （2）先通过列表法列出“甲班选人、乙班选人”的所有等可能结果，再统计其中“一男一女”的结果数，最后用“符合条件的结果数总结果数”计算概率． 【详解】（1）解：根据题意，从名学生、，、中选取人，所有可能的结果有： （，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）． （2）解：列表法表示所有可能出现的结果如下： 共有种等可能的情况，其中恰好选中“一男一女”的情况有种， 故恰好选中“一男一女”的概率为． 答：． 【变式1-1】一个不透明的袋子中装有个质地、大小均相同的小球，分别标有数字、、、． (1)从袋子中随机摸出一个小球，求摸出的小球上标有数字的概率； (2)先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字后放回，再随机摸出一个小球，记下数字．请用列表或画树状图的方法，求两次摸出的小球上标有的数字之和为的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率公式，利用列表法或画树状图法求概率，不重复不遗漏列表或画出树状图得到所有可能的结果数和满足题意的结果数是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）先根据题意列表或画树状图得到所有可能的结果数和满足题意的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：袋子中共有个小球，标有数字的小球有个， （摸出数字）； （2）解：列表如下： 第一次\第二次 共有种等可能的结果，其中两次摸出的小球上标有的数字之和为的结果有种，即，，，， （两次摸出的小球上标有的数字之和为）． 【变式1-2】如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 (1)取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． (2)若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率公式求概率，列表法或树状图法求概率； （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表得出共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪，搅匀后从中任意取出一张卡片， ∴取出的卡片图案为“B．蛤蟆精”的概率为； 故答案为：． （2）列表如下： 共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，即、， ∴选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的概率为． 【变式1-3】书院是中国古代教育机构，最早出现在唐玄宗时期，其中“应天书院”“岳麓书院”“嵩阳书院”和“白鹿洞书院”是我国的“四大书院”．某校开展“书院文化讲解员”风采展示活动，甲、乙两位同学分别从嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院古代四大书院中随机选择一个进行讲解．设嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院分别用、、、表示． (1)甲选择讲解白鹿洞书院的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学选择讲解的书院中有“应天书院”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率． （1）甲从四个书院中随机选择，每个书院被选中的概率相等，白鹿洞书院对应，故概率为． （2）甲、乙分别选择书院，总共有16种等可能结果，通过列表找出包含应天书院（）的结果有7种，故概率为 ． 【详解】（1）解：共有4个书院，甲选择讲解白鹿洞书院（）的概率是． 故答案为：． （2）解：列表如下： 甲乙 共有种等可能结果，其中甲、乙两位同学选择讲解的书院中有“应天书院”（）的结果有7种，即、、、、、、。 ∴甲、乙两位同学选择讲解的书院中有“应天书院”的概率为． 【题型五】用树状图求概率 【例1】某班为元旦晚会设计了一个抽卡表演节目的环节．规则如下：一个不透明的箱子中装着分别写有“唱歌”、“跳舞”、“朗诵”的卡片各一张（这些卡片的外观完全相同），搅匀后，同学从中随机抽取一张，记录后放回． (1)甲同学抽到写有“跳舞”卡片的概率为_________； (2)用画树状图或列表法求甲、乙两位同学都抽到写有“朗诵”卡片的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率公式、用列表法或画树状图法求概率等知识点．掌握运用列表法或画树状图法求概率是解题的关键． （1）直接运用概率公式求解即可； （2）先画树状图确定所有可能结果数和都抽到写有“朗诵”卡片的情况数，然后运用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵一个不透明的箱子中装着分别写有“唱歌”、“跳舞”、“朗诵”的卡片各一张（这些卡片的外观完全相同）， ∴甲同学抽到写有“跳舞”卡片的概率为； （2）解：设“唱歌”、“跳舞”、“朗诵”分别为1，2，3 根据题意画树状图如下： ∴共有9种等可能的结果，甲、乙两位同学都抽到写有“朗诵”卡片的情况有1种， ∴甲、乙两位同学都抽到写有“朗诵”卡片的概率为． 【变式1-1】哥德巴赫猜想提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7． (1)小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为． (2)小组成员从中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法求出这2张卡片上的数字之和是偶数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了随机事件的概率，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，利用列表法或树状图法列出所有等可能的结果是解题的关键． （1）利用概率公式计算概率即可； （2）根据题意画出树状图，列出所有等可能的结果及所求的结果，然后利用概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：解：根据题意：小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为， 故答案为：； （2）解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中和是偶数的结果共有6种， ∴这2张卡片上的数字之和是偶数的概率为． 【变式1-2】如图是某“密室逃脱俱乐部”的通路俯视图，小明进入入口后，任选一条通道． (1)他进A密室或B密室的可能性哪个大？请说明理由（利用树状图或列表来求解）； (2)求小明从中间通道进入A密室的概率． 【答案】(1)进入密室的可能性较大；理由见解析； (2)从中间通道进入密室的概率为． 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．。 （1）可以采用树状图法求解，一共有6种情况，其中进入密室的有2种可能，进入B密室的有4种可能，所以进入密室的可能性较大； （2）根据（1）中的树形图即可求出小明从中间通道进入密室的概率． 【详解】（1）解：画出树状图得： 由图可知，小明进入密室后一共有6种不同的可能路线， 因为小明是任选一条道路， 所以走各种路线的可能性认为是相等的，而其中进入密室的有2种可能，进入密室的有4种可能， 所以进入密室的可能性较大； （2）由（1）可知小明进入密室的通道分别是中入口和右入口， 因此从中间通道进入密室的概率为． 【变式1-3】四年一度的全运会是国家规模最大、水平最高的全国性综合运动会．第十五届全运会于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同承办，更是香港首次参与承办的全运会．香港邮政发行特别邮票，与全民共迎这项国家盛事．每一枚邮票上都呈现了两项香港赛区承办的竞赛项目，如图所示．某班级举行全运会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品． (1)在抢答环节中，若答对一题，可从枚邮票中任意抽取枚作为奖品，则恰好抽到“手球及篮球”的概率是______； (2)在抢答环节中，若答对两题，可从枚邮票中任意抽取枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“击剑及沙滩排球”和“高尔夫球及铁人三项”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率的基本概念和列举法求概率，明确“所有等可能结果数”和“目标事件结果数”是解题关键． （1）抽取邮票的结果共有种，恰好抽到“手球及篮球”的概率只有一种，可直接利用概率公式计算； （2） 通过画树状图列出“从枚邮票中抽枚”的所有可能组合，再统计“抽到指定枚”的结果数，代入概率公式计算． 【详解】（1）解：总共有枚邮票，“手球及篮球”是其中枚， 故概率为． 答：． （2）解：将“七人制橄榄球及场地自行车”“击剑及沙滩排球”“高尔夫球及铁人三项”“手球及篮球”分别记为，，，，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果， 其中恰好抽到“击剑及沙滩排球”和“高尔夫球及铁人三项”的结果有种， 故（恰好抽到“击剑及沙滩排球”和“高尔夫球及铁人三项”）． 答：． 【题型六】由概率求数量 【例1】如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与正方形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则图案上的频率稳定在0.35， 点落在不规则图案上的概率为0.35， 正方形边长为， 估计阴影部分面积约为， 故选：C． 【变式1-1】一个不透明的袋子中有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入个黑球(黑球与白球除颜色外，其他均相同)，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋子中，不断重复摸球次，其中次摸到黑球，则估计袋子中有白球   个． 【答案】 【分析】本题考查了频率估计概率，根据摸到黑球的频率估计概率，利用黑球数量与总球数的比例关系求解即可，掌握频率估计概率是解题的关键． 【详解】解：摸球次，其中次摸到黑球， ∴摸到黑球的频率为， 则一共有球（个）， ∴白球数为（个）， 故答案为：． 【变式1-2】在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的黑、白两种球，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近___________．（结果精确到） (2)若该盒子里装有黑、白两种球共个，试估算白球的个数． 【答案】(1) (2)白球的个数为个 【分析】本题主要考查频率估算概率，掌握以上知识是做题的关键． （1）根据表格信息即可求解； （2）根据该盒子里摸到白球的概率为，令其乘以即可． 【详解】（1）解：根据表格信息得到当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：． （2）解：由表格数据可知，摸到白球的频率稳定在左右， 估计该盒子里摸到白球的概率为， 盒子里白球约有（个）． 【变式1-3】一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同． (1)小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球这两个事件是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？ (2)如果搅匀后从中任意摸出一个球，不放回，再摸出第二个球，请用树状图或列表格法求两次摸球都是白球的概率； (3)搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为，应如何添加红球？ 【答案】(1)不同意，理由见详解 (2) (3)添加5个红球 【分析】本题考查了求简单事件的概率及用树状图或列表法求稍复杂事件的概率，分式方程的应用，解答本题的关键是要注意此题是放回实验还是不放回实验，同时熟记概率=所求情况数与总情况数之比． （1）求出分别摸到白球与摸到红球的概率，比较这两个概率即可； （2）用画树状图法列出所有可能的结果即可判断； （3）设应添加x个红球，根据摸出红球的概率为即可列方程求解． 【详解】（1）解：不同意，理由如下： ∵一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球， ∴搅匀后从中任意摸出一个球，白球概率是；红球概率是； ∵， ∴摸出白球和摸出红球这两个事件不是等可能的； （2）解：树状图如图： ∴P（两个球都是白球）； （3）解：设应添加x个红球，由题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的解； ∴应添加5个红球． 【题型七】游戏公平性问题 【例1】实验中学校开设的活动课程受到同学的热烈欢迎，其中在九年级开设的芦苇席编织课程更是火爆，因名额有限，每班只能派一个同学参加．九年级5班的小俊、小珂和家乐都想参加，于是三人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小俊先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小珂再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小俊胜；若和小于4，则小珂胜；若和等于4，则家乐获胜． (1)请用列表或画树状图的方法，说明小俊参加活动课程的概率是多少？ (2)你认为这个游戏公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2)游戏公平，理由见解析 【分析】本题主要考查树状图法或列表法求概率、游戏的公平性， （1）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再找到两次数字之和大于4的结果，然后根据概率计算公式计算即可． （2）结合（1）中得一共有9种等可能性的结果数，进而求出两次摸到的数字之和大于4、两次摸到的数字之和小于4和两次摸到的数字之和等于4的概率，即可判定． 【详解】（1）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种， 小俊获胜的概率为， 答：小俊参加活动课程的概率是； （2）解：游戏公平；理由： 由（1）可知，一共有9种等可能性的结果数，两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和等于4的结果数有3种， ∴小俊获胜的概率为；小珂获胜的概率为；家乐获胜的概率为， ∵， 游戏公平． 【变式1-1】如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别标有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀． (1)从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率． (2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，则小明获胜，若摸出的两张牌面图形都是中心对称图形则小亮获胜．这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由（纸牌用A、B、C、D表示） 【答案】(1) (2)这个游戏公平，理由和表格见解析 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，中心对称图形和轴对称图形的识别，熟知相关知识是解题的关键． （1）A、B、C三张牌的牌面图形都是中心对称图形，D的牌面图形不是中心对称图形，据此结合概率计算公式求解即可； （2）A、B、D这三张牌的牌面图形是轴对称图形，C的牌面图形不是轴对称图形，据此列出表格得到所有等可能性的结果数，再分别找到摸出的两张牌的牌面图形是轴对称图形和两张牌的牌面图形都是中心对称图形的结果数，最后分别计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一共有四张纸牌，其中牌面图形是中心对称图形的有三张（A、B、C三张牌的牌面图形都是中心对称图形，D的牌面图形不是中心对称图形），且每张牌被摸出的概率相同， ∴从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率为； （2）解：这个游戏公平，理由如下： A、B、D这三张牌的牌面图形是轴对称图形，C的牌面图形不是轴对称图形， 列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中摸出的两张牌面图形都是轴对称图形的结果数有6种，摸出的两张牌面图形都是中心对称图形的结果数有6种， ∴小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为， ∴小明和小亮获胜的概率相同， ∴这个游戏公平． 【变式1-2】将正面分别写有数字的四张卡片（除数字外卡片完全相同）反面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张卡片记下数字后反面朝上放回洗匀，洗匀后再抽取一张．若将第一次抽取的卡片数字记为点的横坐标，第二次抽取的卡片数字记为点的纵坐标． (1)请用列表法或画树状图法表示两次抽取卡片后所有可能的点的坐标． (2)小明和小亮玩一个游戏，规则如下：如图，在平面直角坐标系中，这些点若落在以原点为圆心，半径为2的圆内，则小明获胜；若落在圆上或圆外，则小亮获胜．这个游戏公平吗？判断并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查用列表法 / 树状图法求概率及游戏公平性判断，解题关键是通过列举法得出所有可能的点坐标，再结合点与圆的位置关系计算双方获胜的概率来判断公平性． （1）通过列表/树状图列举两次抽卡的所有组合，得到种可能的点坐标； （2）先根据点到原点的距离判断点与圆的位置，统计圆内、圆上、圆外的结果数，计算两人获胜概率，比较概率是否相等来判断游戏公平性． 【详解】（1）列表如下： 第一次 第二次 （2）不公平． 理由：如图，落在圆上或圆外． 这个游戏不公平． 【题型八】统计与概率分综合问题 【例1】学校食堂某天中午为学生提供了四种不同价格的小碗菜，这四种价格分别是：A．4元，B．5元，C．6元，D．8元．为了了解学生对四种小碗菜的受欢迎程度，学校随机抽样调查了甲、乙两班学生当天购买四种小碗菜的情况，依据统计数据制成如下的统计图表： (1)则乙班学生人数为_______； (2)乙班购买午餐费用的中位数_______； (3)从这次接受调查的学生中，随机抽查2人，至少有一人购买C种小碗菜的概率是多少？ 【答案】(1)50 (2)6 (3) 【分析】本题主要考查了根据扇形统计图求总数，概率公式的应用，中位数的定义，熟练掌握扇形统计图特点，相关定义，是解题的关键． （1）根据乙班选择B种小碗菜的人数为13人，占乙班总人数的百分比为，求出乙班总人数即可； （2）根据中位数的定义进行求解即可； （3）用列举法求出概率即可． 【详解】（1）解：（人）， ∴乙班有50人； （2）解：（人）， 乙班购买四类午餐人数分别是9、13、25、3， 第25、26人购买C类小碗菜，所以中位数是6； （3）解：甲、乙两个班的总人数为： （人）， 购买C种小碗菜的总人数为：（人）， 从100个人中选出2人，总情况数为：， 当选的第一个人正好为购买C种小碗菜，则第二个人无论购买哪种小碗菜都符合要求，则这种情况下，符合题意的情况数为：； 当选的第一个人没有购买C种小碗菜，则第二个人必须购买C种小碗菜才能符合要求，则这种情况下，符合题意的情况数为：； 因此从这次接受调查的学生中，随机抽查2人，至少有一人购买C种小碗菜的概率为： ． 【变式1-1】为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛．该校从九（1）班和九（3）班中，各随机抽取了10名学生成绩进行整理，绘制了如下不完整的条形统计图及分析表． 【收集数据】 九（1）班10名学生成绩：90，95，85，100，80，95，100，85，95，95． 九（3）班10名学生成绩：90，80，100，85，80，90，95，90，85，100． 【描述数据】 九（1）班和九（3）班10名学生成绩分析表 统计量班级 平均数 中位数 众数 九（1）班 a b 95 九（3）班 89.5 90 c 【分析数据】 (1)请补全条形统计图． (2)填空：______，______，_______． (3)从上面4名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班的概率． 【答案】(1)图见解析 (2)92，95，90 (3) 【分析】本题考查条形图，求中位数，众数和平均数，列表法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据收集的数据，补全条形图即可； （2）根据平均数，中位数和众数的计算方法进行求解即可； （3）用表示九（1）班的两个100分的学生，用表示九（3）班的两个100分的学生，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由收集的数据可知，85分的学生有2个，95分的学生有4个，补全条形图如图： （2）； 九（1）班的数据排序后，第5个和第6个数据均为95，故； 九（3）班的数据中出现次数最多的是90，故； （3）用表示九（1）班的两个100分的学生，用表示九（3）班的两个100分的学生，列表如下： 共12种等可能的结果，其中所抽取的2名学生恰好在同一个班的结果有4种， 故． 【变式1-2】2025年成都世界运动会将于今年8月举行，某校为了了解学生对运动会的关注度，设置了（非常关注）、（比较关注）、（很少关注）、（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了___________名学生，并补全条形统计图； (2)求所在扇形的圆心角度数； (3)学校将在非常关注的同学甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 【答案】(1)500，图见解析 (2) (3) 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法求概率，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用D选项的人数除以所占的比例求出调查的总人数，求出B选项的人数，补全条形图即可； （2）用360度乘以C选项所占的比例，进行求解即可； （3）列表法求出概率即可． 【详解】（1）解：（名）， 选项的人数为，补全条形图如图： （2）； 故所在扇形的圆心角度数为； （3）由题意，列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙， 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 共12种等可能的结果，其中甲、乙同时被选中的结果有2种， ∴． 【变式1-3】春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外模型、机器人都已获得显著的技术突破．目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)此次共调查了_______人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为_______； (2)请将条形统计图补充完整． (3)该学校根据调查结果计划开展一门社团课，从众数的角度考虑，应将主题定为_______类（填A，B，C或D）； (4)将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，求抽取到的两张卡片内容一致的概率为_______； 【答案】(1)400， (2)见解析 (3)D (4) 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，求众数，树状图或列表法求解概率，正确读懂统计图，画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）用类人数除以占比即可求解总人数，用总人数乘以类的占比即可求解圆心角； （2）先求出类的人数，即可补全条形统计图； （3）根据众数的定义求解即可； （4）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：此次共调查了人， ∴扇形统计图中C类对应的圆心角度数为； 故答案为：400，； （2）解：D类的人数为（人） ∴补全条形统计图为： （3）解：D类的人数为（人）， ∵， ∴D类的人数最多，即众数为D类， 故选D． （4）解：画出树状图如下： ； 由树状图可得，共有16种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有4种， 抽取到的两张卡片内容一致的概率为； 故答案为：． 【题型一】事件发生可能性的大小 【例1】一个布袋里装有4个红球，3个黑球，2个白球，1个绿球，它们除颜色外其余均相同．从中任意摸出1个球，可能性最大的是（ ） A．摸出红球 B．摸出黑球 C．摸出白球 D．摸出绿球 【答案】A 【分析】本题考查概率的定义，熟练掌握概率的定义是解题的关键． 可能性大小取决于球的数量，数量越多，可能性越大． 【详解】解：总球数为个，红球4个，黑球3个，白球2个，绿球1个， 则红球数量最多，摸出红球的可能性最大， 故选：A． 【变式1-1】从一副扑克牌中取出下面四张，将其背面朝上，然后从中任意翻过来一张，翻开的牌上的数字可能性最大的是（   ） A．2 B．5 C．9 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了判断事件发生的可能性的大小，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据可能性大小的意义求解． 【详解】解：一副扑克牌中取出下面四张，9，2，5，5， 其中5有两张，9，2各一张， 从中任意翻过来一张，翻开的牌上的数字可能性最大的是5， 故选：B． 【变式1-2】在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除数字外其余完全相同．从中随机摸出一个小球，摸到标有数字大于3的球的可能性与摸到标有数字小于3的球的可能性相比，哪个大？ 【答案】可能性一样大 【分析】本题考查可能性的判断，分别求出两种情况的可能性，再进行判断即可． 【详解】解：标有数字大于3的球有4和5，共2个；标有数字小于3的球有1和2，共2个．总球数为5个， 所以摸到数字大于3的球的可能性为，摸到数字小于3的球的可能性也为． 因此，两者的可能性一样大． 【题型二】事件的分类 【例1】下列事件中，属于必然事件的是（ ） A．经过有交通信号灯的路口，刚好遇到绿灯 B．在黑板上任意画两条直线，它们恰好平行 C．在黑板上任意画一个四边形，其内角和为 D．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，全都正面朝上 【答案】C 【分析】本题考查必然事件和随机事件的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件。选项A、B、D均为随机事件，不一定发生；选项C中，四边形的内角和恒为，是必然事件，据此判定即可． 【详解】解：四边形的内角和总是（根据多边形内角和定理），则任意画一个四边形，其内角和一定为，故选项C是必然事件， 选项A、B、D均可能发生也可能不发生，不是必然事件， 故选：C． 【变式1-1】下列事件中，属于必然事件的是（ ） A．抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上 B．明天太阳从西边升起 C．通常情况下，水加热到会沸腾（标准大气压下） D．射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】C 【分析】此题考查了必然事件，必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，据此求解即可． 【详解】A．抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上是随机事件， B．明天太阳从西边升起是不可能事件， C．通常情况下，水加热到会沸腾（标准大气压下）是必然事件； D．射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件． 故选：C． 【变式1-2】指出下列事件分别属于什么事件（必然事件、不可能事件、随机事件）： (1)打开电视机，正在播放动画片． (2)在一个装有红球和黑球的袋中摸出一个白球． (3)三角形三个内角的和等于． 【答案】(1)随机事件 (2)不可能事件 (3)必然事件 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． （1）根据事件发生的可能性大小即可． （2）根据事件发生的可能性大小即可． （3）根据事件发生的可能性大小即可． 【详解】（1）解：打开电视机时，屏幕上播放的节目是不确定的，可能是动画片，也可能是其他节目，所以是随机事件． （2）解：袋中只有红球和黑球，没有白球，因此不可能摸出白球，属于不可能事件． （3）解：根据三角形内角和定理，任意三角形三个内角的和一定等于，这是必然事件． 【题型三】概率意义的理解 【例1】掷一枚质地均匀的硬币 5 次，其中 2 次正面朝上，3 次反面朝上，现再掷一次，这一次正面朝上的概率是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率．硬币质地均匀，每次掷硬币是独立事件，每次掷硬币的正面朝上的概率恒为，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵硬币质地均匀， ∴每次掷硬币正面朝上的概率均为，且各次掷硬币相互独立， ∴再掷一次正面朝上的概率为， 故选：B． 【变式1-1】事件：买体育彩票中一等奖；事件：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件：在标准大气压下，温度低于时冰融化．3个事件的概率分别记为、、，则、、的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了事件的分类，判断几个事件概率的大小关系，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先根据所给的事件判断事件类型，再比较概率大小． 【详解】解：∵事件A：买体育彩票中一等奖，是随机事件， ∴． ∵事件B：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数小于7（骰子点数最大为6）， ∴事件B是必然事件， ∴． ∵事件C：在标准大气压下，温度低于时冰融化， ∴事件C是不可能事件， ∴． ∴， 故选：B． 【变式1-2】下列说法正确的是（    ） A．“明天降雨的概率是”表示明天有的时间都在降雨 B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛2次就有一次正面朝上 C．“彩票中奖的概率为”表示买100张彩票肯定会中奖 D．“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在附近 【答案】D 【分析】本题考查概率的意义，概率表示事件发生的可能性，是大量试验中频率的稳定值，而非绝对发生或固定比例，由此逐项分析即可得解，熟练掌握概率的意义是解此题的关键． 【详解】解：A、“明天降雨的概率是”表示明天下雨的可能性为，故原选项错误，不符合题意； B、“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每次抛掷正面朝上的可能性为，故原选项错误，不符合题意； C、“彩票中奖的概率为”表示每次买彩票中奖的可能性为，故原选项错误，不符合题意； D、“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在附近，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 试卷第2页，共33页 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 随机事件的概率（4知识&8题型&3易错） 【清单01】事件的分类 事件类型 概率 确定 事件 必然事件 不可能事件 随机事件 之间 【清单02】概率的计算 (1)直接公式法：事件A发生的概率为P(A)＝ ，其中n为结果总数，m为事件A发生的结果数； (2)列表法：当一次试验涉及两步计算，并且可能出现的结果数目较多时，可采用 不重不漏地列出所有可能的结果，再根据P(A)＝计算概率； (3)画树状图法：当一次试验要涉及两步或两步以上的计算时，通常采用 来表示所有可能的结果，再根据P(A)＝计算概率； 【清单03】几何概型的概率公式 P(A)＝ ； 【清单04】公式频率估计概率 一般地在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝ . 【题型一】用频率估计概率 【例1】关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 【变式1-1】如图是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（） A．当投掷次数是时，“钉尖向上”的次数是 B．当投掷第次时，“钉尖向上”的概率是 C．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于，故可以估计其概率是 D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的频率一定是 【变式1-2】为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后，发现捕捞的鱼中有记号的鱼的频率稳定在左右，则鱼塘中估计约有 条鱼． 【变式1-3】靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中，_____，_____； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1） (3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 【题型二】用列举法求概率 【例1】经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，假设这 种可能性相同，现有两辆汽车经过这个十字路口，驶向相同方向的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把“虎”、“龙”、“蛇”、“马”4张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取2张，那么乙同学抽到的邮票恰好是“龙”和“马”的概率为 ． 【变式1-2】从，4，5这三个数中任取两个数作为点的坐标，则点在第二象限的概率是 ． 【题型三】几何概率 【例1】如图，将一枚飞镖任意投掷到边长为的正方形镖盘内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，点是的中线上一点，，过点作，分别交和于点，现随机向内部抛一粒米，则米落在图中阴影部分的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积为 ． 【变式1-3】如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成6个扇形，颜色分别为红、黄、蓝三种，其中红色扇形有3个，黄色扇形有2个，蓝色扇形有1个．转动转盘，当转盘停止后，指针指向哪种颜色区域的可能性最大？指向哪种颜色区域的可能性最小？ 【题型四】用列表法求概率 【例1】某校音乐兴趣小组组建了一支舞蹈队，现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一名男生和一名女生．（温馨提示：用、、、分别表示甲、乙两班推荐的名学生） (1)请用列举的方法写出所有可能出现的结果； (2)若要求选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率． 【变式1-1】一个不透明的袋子中装有个质地、大小均相同的小球，分别标有数字、、、． (1)从袋子中随机摸出一个小球，求摸出的小球上标有数字的概率； (2)先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字后放回，再随机摸出一个小球，记下数字．请用列表或画树状图的方法，求两次摸出的小球上标有的数字之和为的概率． 【变式1-2】如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 (1)取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． (2)若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 【变式1-3】书院是中国古代教育机构，最早出现在唐玄宗时期，其中“应天书院”“岳麓书院”“嵩阳书院”和“白鹿洞书院”是我国的“四大书院”．某校开展“书院文化讲解员”风采展示活动，甲、乙两位同学分别从嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院古代四大书院中随机选择一个进行讲解．设嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院分别用、、、表示． (1)甲选择讲解白鹿洞书院的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学选择讲解的书院中有“应天书院”的概率． 【题型五】用树状图求概率 【例1】某班为元旦晚会设计了一个抽卡表演节目的环节．规则如下：一个不透明的箱子中装着分别写有“唱歌”、“跳舞”、“朗诵”的卡片各一张（这些卡片的外观完全相同），搅匀后，同学从中随机抽取一张，记录后放回． (1)甲同学抽到写有“跳舞”卡片的概率为_________； (2)用画树状图或列表法求甲、乙两位同学都抽到写有“朗诵”卡片的概率． 【变式1-1】哥德巴赫猜想提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7． (1)小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为． (2)小组成员从中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法求出这2张卡片上的数字之和是偶数的概率． 【变式1-2】如图是某“密室逃脱俱乐部”的通路俯视图，小明进入入口后，任选一条通道． (1)他进A密室或B密室的可能性哪个大？请说明理由（利用树状图或列表来求解）； (2)求小明从中间通道进入A密室的概率． 【变式1-3】四年一度的全运会是国家规模最大、水平最高的全国性综合运动会．第十五届全运会于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同承办，更是香港首次参与承办的全运会．香港邮政发行特别邮票，与全民共迎这项国家盛事．每一枚邮票上都呈现了两项香港赛区承办的竞赛项目，如图所示．某班级举行全运会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品． (1)在抢答环节中，若答对一题，可从枚邮票中任意抽取枚作为奖品，则恰好抽到“手球及篮球”的概率是______； (2)在抢答环节中，若答对两题，可从枚邮票中任意抽取枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“击剑及沙滩排球”和“高尔夫球及铁人三项”的概率． 【题型六】由概率求数量 【例1】如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】一个不透明的袋子中有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入个黑球(黑球与白球除颜色外，其他均相同)，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋子中，不断重复摸球次，其中次摸到黑球，则估计袋子中有白球   个． 【变式1-2】在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的黑、白两种球，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近___________．（结果精确到） (2)若该盒子里装有黑、白两种球共个，试估算白球的个数． 【变式1-3】一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同． (1)小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球这两个事件是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？ (2)如果搅匀后从中任意摸出一个球，不放回，再摸出第二个球，请用树状图或列表格法求两次摸球都是白球的概率； (3)搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为，应如何添加红球？ 【题型七】游戏公平性问题 【例1】实验中学校开设的活动课程受到同学的热烈欢迎，其中在九年级开设的芦苇席编织课程更是火爆，因名额有限，每班只能派一个同学参加．九年级5班的小俊、小珂和家乐都想参加，于是三人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小俊先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小珂再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小俊胜；若和小于4，则小珂胜；若和等于4，则家乐获胜． (1)请用列表或画树状图的方法，说明小俊参加活动课程的概率是多少？ (2)你认为这个游戏公平吗？为什么？ 【变式1-1】如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别标有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀． (1)从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率． (2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，则小明获胜，若摸出的两张牌面图形都是中心对称图形则小亮获胜．这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由（纸牌用A、B、C、D表示） 【变式1-2】将正面分别写有数字的四张卡片（除数字外卡片完全相同）反面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张卡片记下数字后反面朝上放回洗匀，洗匀后再抽取一张．若将第一次抽取的卡片数字记为点的横坐标，第二次抽取的卡片数字记为点的纵坐标． (1)请用列表法或画树状图法表示两次抽取卡片后所有可能的点的坐标． (2)小明和小亮玩一个游戏，规则如下：如图，在平面直角坐标系中，这些点若落在以原点为圆心，半径为2的圆内，则小明获胜；若落在圆上或圆外，则小亮获胜．这个游戏公平吗？判断并说明理由． 【题型八】统计与概率分综合问题 【例1】学校食堂某天中午为学生提供了四种不同价格的小碗菜，这四种价格分别是：A．4元，B．5元，C．6元，D．8元．为了了解学生对四种小碗菜的受欢迎程度，学校随机抽样调查了甲、乙两班学生当天购买四种小碗菜的情况，依据统计数据制成如下的统计图表： (1)则乙班学生人数为_______； (2)乙班购买午餐费用的中位数_______； (3)从这次接受调查的学生中，随机抽查2人，至少有一人购买C种小碗菜的概率是多少？ 【变式1-1】为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛．该校从九（1）班和九（3）班中，各随机抽取了10名学生成绩进行整理，绘制了如下不完整的条形统计图及分析表． 【收集数据】 九（1）班10名学生成绩：90，95，85，100，80，95，100，85，95，95． 九（3）班10名学生成绩：90，80，100，85，80，90，95，90，85，100． 【描述数据】 九（1）班和九（3）班10名学生成绩分析表 统计量班级 平均数 中位数 众数 九（1）班 a b 95 九（3）班 89.5 90 c 【分析数据】 (1)请补全条形统计图． (2)填空：______，______，_______． (3)从上面4名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班的概率． 【变式1-2】2025年成都世界运动会将于今年8月举行，某校为了了解学生对运动会的关注度，设置了（非常关注）、（比较关注）、（很少关注）、（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了___________名学生，并补全条形统计图； (2)求所在扇形的圆心角度数； (3)学校将在非常关注的同学甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 【变式1-3】春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外模型、机器人都已获得显著的技术突破．目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)此次共调查了_______人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为_______； (2)请将条形统计图补充完整． (3)该学校根据调查结果计划开展一门社团课，从众数的角度考虑，应将主题定为_______类（填A，B，C或D）； (4)将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，求抽取到的两张卡片内容一致的概率为_______； 【题型一】事件发生可能性的大小 【例1】一个布袋里装有4个红球，3个黑球，2个白球，1个绿球，它们除颜色外其余均相同．从中任意摸出1个球，可能性最大的是（ ） A．摸出红球 B．摸出黑球 C．摸出白球 D．摸出绿球 【变式1-1】从一副扑克牌中取出下面四张，将其背面朝上，然后从中任意翻过来一张，翻开的牌上的数字可能性最大的是（   ） A．2 B．5 C．9 D．无法确定 【变式1-2】在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除数字外其余完全相同．从中随机摸出一个小球，摸到标有数字大于3的球的可能性与摸到标有数字小于3的球的可能性相比，哪个大？ 【题型二】事件的分类 【例1】下列事件中，属于必然事件的是（ ） A．经过有交通信号灯的路口，刚好遇到绿灯 B．在黑板上任意画两条直线，它们恰好平行 C．在黑板上任意画一个四边形，其内角和为 D．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，全都正面朝上 【变式1-1】下列事件中，属于必然事件的是（ ） A．抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上 B．明天太阳从西边升起 C．通常情况下，水加热到会沸腾（标准大气压下） D．射击运动员射击一次，命中靶心 【变式1-2】指出下列事件分别属于什么事件（必然事件、不可能事件、随机事件）： (1)打开电视机，正在播放动画片． (2)在一个装有红球和黑球的袋中摸出一个白球． (3)三角形三个内角的和等于． 【题型三】概率意义的理解 【例1】掷一枚质地均匀的硬币 5 次，其中 2 次正面朝上，3 次反面朝上，现再掷一次，这一次正面朝上的概率是（    ） A．1 B． C． D． 【变式1-1】事件：买体育彩票中一等奖；事件：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件：在标准大气压下，温度低于时冰融化．3个事件的概率分别记为、、，则、、的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】下列说法正确的是（    ） A．“明天降雨的概率是”表示明天有的时间都在降雨 B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛2次就有一次正面朝上 C．“彩票中奖的概率为”表示买100张彩票肯定会中奖 D．“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在附近 试卷第2页，共33页 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $