第十一章 不等式与不等式组 章末核心复习 课件2025-2026学年人教版数学七年级下册

该初中数学单元复习课件系统梳理了不等式与不等式组的概念、性质、解法及应用，通过“结构必知”模块将不等号、一元一次不等式（组）等核心概念，与性质运用、解集表示、实际应用等内容串联，结合专题突破与思想方法，构建完整知识网络。 其亮点在于以中考真题为载体设计分层练习，如通过“根据特殊解确定字母范围”培养推理意识，结合艾草香包购买等实际问题发展模型意识与应用意识。这种设计让学生在解题中深化知识理解，教师也能依托专题精准把握复习重点，提升复习效率。

目录 LOGO 章末核心复习 第十一章 不等式与不等式组 核心必读 结构必知 1.在运用不等式的基本性质变形时，需注意：(1)不等式两边发生相同变化；(2)当两边同时乘或除以负数时，要改变不等号的方向. 2.在数轴上表示不等式(组)的解集时要注意“两定”：一定边界点，在定边界点时，若不等号是“≤”或“≥”，边界点为实心圆点；若不等号是“<”或“>”，边界点为空心圆圈. 二定方向，相对于边界点而言，“小于向左，大于向右”. 结构必知 3.解不等式通常按以下步骤进行：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 4.一元一次不等式组的解法：对组成不等式组的不等式分别求解，取各个不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集；确定一元一次不等式组解集应遵循的原则是：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找. 结构必知 专题 不等式的性质 1 链接中考 >>不等式的性质是解不等式的理论依据，特别是不等式的性质 3 的运用很容易出错，在解不等式的最后一步也经常用到 . 在中考中，一般都是以选择题的形式直接考查不等式的性质 . 结构必知 例 1 [中考·北京]已知 a－1 ＞ 0，则下列结论正确的是(　　) A.－1 ＜ －a ＜ a ＜ 1 B.－a ＜ －1 ＜ 1 ＜ a C.－a ＜ －1 ＜ a ＜ 1 D.－1 ＜ －a ＜ 1 ＜ a 结构必知 解题秘方：根据不等式的性质，进行判断即可 . 解：因为a－1 ＞ 0， 所以 a ＞ 1.所以－a ＜ －1. 综上可知－a ＜ －1 ＜ 1 ＜ a. 答案：B 结构必知 专题 解一元一次不等式 2 链接中考 >>解不等式是本章的重点，也是中考必考的知识点，考查形式多样，既有选择、填空题，又有解答题，无论以哪种形式出现，只要熟练掌握解一元一次不等式的步骤便能轻松应对. 结构必知 [中考·福建]不等式x+1 ≤ 2 的解集在数轴上表示正确的是( ) 例 2 结构必知 解题秘方：先求出不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出不等式的解集． 解：移项，得x ≤ 2-1. 合并同类项，得x ≤ 1. 系数化为1，得x ≤ 2. 解集在数轴上表示如C 选项所示. 答案：C 结构必知 专题 解一元一次不等式组 3 链接中考 >>解不等式组是本章的重点，也是中考必考的知识点，常与整数解紧密结合,考查形式多样，难度不大. 结构必知 [中考·扬州]解不等式组并写出它的所有负整数解. 例 3 结构必知 解题秘方：先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后写出它的所有负整数解即可． 解：解不等式①，得x≤1.解不等式②，得x>-3.所以不等式组的解集为-3<x ≤ 1，它的所有负整数解为-2,-1． 结构必知 专题 根据不等式组特殊解的个数确定字母的取值范围 4 链接中考 >>已知不等式组的特殊解的个数，求字母的取值范围，一般要先解不等式组，再结合特殊解的个数，建立关于字母的不等式组，要特别注意等号的取舍. 结构必知 关于 x 的不等式组恰有 3 个整数解，则 a 的取值范围是_______________ . 例 4 － ≤ a ＜ 0 结构必知 解题秘方：先解不等式组，再根据题意建立关于字母 a 的不等式组，求解即可 . 解：解不等式 ≥ 0，得 x ≤ 2； 解不等式 ＞ 0，得 x ＞ 2a. 因为 不等式组恰有 3 个整数解， 所以 －1 ≤ 2a ＜ 0，解得 － ≤ a ＜ 0. 结构必知 专题 一元一次不等式的应用 5 链接中考 >>不等式的应用题与方程的应用题类似，方程是找等量关系，而不等式是找不等关系，不等关系有标志语 ——大于、小于、超过、不超过等等. 不等式的应用题在中考中一般都是以解答题形式出现，常与方程(组)一起考查. 结构必知 [中考·湖南]同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A，B两种香料．已知A种材料的单价比B 种材料的单价多3 元，且购买4 件A 种材料与购买6 件B种材料的费用相等． (1)求A 种材料和B种材料的单价. (2)若需购买A 种材料和B 种材料共50 件，且总费用不超过360元，则最多能购买A种材料多少件？ 例 5 结构必知 解题秘方：紧扣题目条件中的等量关系和不等关系，分别建立方程组和不等式的模型，正确求解即可. 解：(1)设A 种材料的单价为x 元，B 种材料的单价为y 元. 根据题意，得解得 答：A 种材料的单价为9 元，B 种材料的单价为6 元. 结构必知 解：(2)设可以购买A 种材料m件， 则购买B 种材料(50-m)件. 根据题意，得9m+6(50-m)≤ 360， 解得m≤ 20．所以m的最大值为20． 答：最多能购买A 种材料20 件． 结构必知 专题 转化思想 6 专题解读>>在不等式(组)与方程(组)的综合应用中，常会用到转化思想，将解方程(组)问题转化为解不等式(组)的问题. 方法必会 关于x， y的二 元 一 次方程组 的解是正整数，则整数 p 的值为________ . 例 6 5 或 7 解题秘方：把 p 看成常数，求出方程组的解，再根据题意转化成关于 p 的不等式组，求解即可 . 方法必会 解： ② × 3，得 3x+3y=3p，③ ① - ③，得 2x=23－3p，则 x= ， 把 x=代 入 ②，得+y=p，则 y=. 因为 x， y 为正整数， 方法必会 解得 4 <p<7 . 因为p 是整数， 所以 p=5，6，7. 把 p=5， p=6， p=7 分别代入原方程组的解中，只有当 p=5 或 p=7 时方程组的解是正整数，故整数 p 的值为 5 或 7. 方法必会 专题 分类讨论思想 7 专题解读>>如果要研究的问题的条件或结论中存在多种情况，为了准确求出问题的结果，我们在解题过程中要对存在的多种情况一一进行列举讨论，保证解答的严密性 . 分类讨论的关键是要做到标准统一，不重不漏 . 方法必会 [中考·宜宾]若 关 于 x 的 不 等 式 组 的所有整数解的和为 14，则整数 a 的值为 _______. 例 7 2 或 －1 解题秘方：求出不等式组的解集，对所有整数解的和为14 的情况进行分类讨论，列出关于a 的不等式组，即可求得答案. 方法必会 解： 解不等式①，得 x ＞ a－1；解不等式②，得 x ≤ 5. 所以 a－1 ＜ x ≤ 5. 因为 所有整数解的和为 14， 所以 不等式组的整数解为 5，4，3，2 或 5，4，3，2，1，0， －1.所以1 ≤ a－1 ＜ 2 或 －2 ≤ a－1 ＜ －1. 所以2 ≤ a ＜ 3 或 －1 ≤ a ＜ 0. 因为 a 为整数，所以a=2 或 a=－1. 方法必会 1.[中考·苏州]若a＞b－1，则下列结论一定正确的是(　　) A.a+1 ＜ b B.a－1 ＜ b C.a ＞ b D.a+1 ＞ b 类型 不等式的性质 1 D 好题必解 2.[中考·常州]若 >，则x-y______0(填“>”“<”或“=”)． > 好题必解 3. 解不等式 x－1 ≤ x－ ，并把它的解集在数轴上表示出来 . 类型 解一元一次不等式(组) 2 解：去分母，得3x－6≤4x－3. 移项，得3x－4x≤－3＋6. 合并同类项，得－x≤3. 系数化为1，得x≥－3. 原不等式的解集在数轴上的表示如图． 好题必解 4. [中考·扬州]解不等式组并求出它的所有整数解的和 . 好题必解 5. 若不等式组的解集为－1<x<1，则(a－3)(b+3)的值为( ) A.1 B.－1 C.2 D.－2 类型 根据不等式(组)解(或解集)的情况判断字母的值或取值范围 3 D 好题必解 6. 若关于x的一元一次不等式组无解，则 a 的取值范围是( ) A.a ≥ 1 B.a>1 C.a ≤ －1 D.a<－1 A 好题必解 7. 若关于x 的不等式组恰有3 个整数解，则a 的取值范围是___________． －2≤a<－1 好题必解 8. [新考法新定义运算法中考·泸州]对于任意实数a，b，定义新运算：a※b=给出下列结论： ① 8※2=8；②若x※3=6，则x=6；③ a※b=(-a)※(-b)； ④若(2x-4)※2<5x，则x 的取值范围为x>． 其中，正确结论的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 类型 一元一次不等式(组)的实际应用 4 B 好题必解 9. [中考·辽宁]小张计划购进A，B两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知 A种文创产品比B种文创产品每件进价多3 元，购进2 件A 种文创产品和3 件B种文创产品共需花费26 元． (1)求B种文创产品每件的进价. 好题必解 解：设B种文创产品每件的进价为x元，则A种文创产品每件的进价为(x＋3)元． 根据题意，得2(x＋3)＋3x＝26，解得x＝4. 答：B种文创产品每件的进价为4元． 好题必解 (2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件A 种文创产品？ 好题必解 解：设小张购进m件A种文创产品，则购进(100－m)件B种文创产品．由(1)可知，A种文创产品每件的进价为4＋3＝7(元)． 根据题意，得7m＋4(100－m)≤550，解得m≤50. 答：小张最多可以购进50件A种文创产品． 好题必解 10.为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子.已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10 个共需325 元. (1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ 好题必解 好题必解 (2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1 000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5 倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有哪几种购买方案？ 好题必解 好题必解 好题必解 (3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4 元，在(2)的条件下，学校如何购买毽子商家获得的利润最大？最大利润是多少元？ 好题必解 解：学校选择方案1商家可获得的总利润为5×60＋4×10＝ 340(元)； 学校选择方案2商家可获得的总利润为5×62＋4×7＝338(元)； 学校选择方案3商家可获得的总利润为5×64＋4×4＝336(元)． ∵340>338>336. ∴在(2)的条件下，学校购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子时，商家获得的利润最大，最大利润是340元． 好题必解 目录 LOGO 重点题型 一元一次不等式(组) 与方程(组)的综合应用 核心必读 老师告诉你 一元一次不等式 ( 组 ) 与方程 ( 组 ) 有很多相似的地方：解题依据——等式的性质和不等式的性质；解题步骤——去分母、去括号、移项、合并同类项等 . 步骤都基本相同，所以在解题时，两者经常巧妙结合在一起 . 满分题溯源 应用 利用不等式求方程的正整数 1 例 1 求方程 3x+2y=17 的正整数解 . 解题秘方： 先用含 x 的式子表示 y，然后利用方程的解为正整数，列出以 x 为未知数的不等式，求出 x 的取值范围，最后确定正整数 x 的值，从而得到方程的正整数解 . 满分题溯源 解： 将方程变形为 2y=17－3x，即 y= . 因为 y>0， >0.x<，即 x<5 . 因为x>0，0<x<5 . 又因为y 为正整数(即 为正整数)， 17－3x 为偶数 .x 必为奇数 .x=1，3，5. 满分题溯源 当 x=1 时， y== =7； 当 x=3 时， y===4； 当 x=5 时， y===1. 故原方程的正整数解为或或 满分题溯源 利用方程(组)解的情况求字母的取值范围 2 已知关于x，y的方程组的解满足x+y>0，求p的取值范围. 例 2 应用 解题秘方：解题的关键是将两个方程相加，得到3(x+y)=-2p-1，然后利用条件x+y>0，即可得出结果. 满分题溯源 解：将① + ②可得， 3(x+y)=-2p-1，即x+y=， 因为x+y>0，所以>0,解得p<-. 满分题溯源 利用不等式组的解集建立方程组 3 例 3 若不等式组 的解集是 －1<x<1，求 (a+b) 2 027的值 . 应用 解题秘方：利用解集建立方程组的关键是扣住解集的临界点 . 满分题溯源 解：解不等式组得 a+2<x< . 因为此不等式组的解集是 －1<x<1， 所以解得 所以(a+b) 2 027=(－1) 2 027= － 1. 满分题溯源 利用方程组求出的数据列不等式解决实际问题 4 [中考·长沙]为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变. 根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B 两种等级的农产品对外销售，已知销售6 kg A 等级农产品和4 kg B 等级农产品共收入112 元，销售4 kgA 等级农产品和2 kg B 等级农产品共收入68元. (不考虑加工损耗) 例 4 综合点 满分题溯源 解题秘方：紧扣题目条件中的等量关系和不等关系，分别建立方程组和不等式的模型，正确求解即可. 满分题溯源 解：设A 等级农产品每千克的销售单价为x 元， B 等级农产品每千克的销售单价为y 元. 根据题意，得解得 答：A 等级农产品每千克的销售单价为12元， B 等级农产品每千克的销售单价为10 元． (1)求每千克A 等级农产品和每千克B 等级农产品的销售单价分别为多少元. 满分题溯源 解：设需加工A 等级农产品m kg，则需加工 B 等级农产品(6 000-m)kg. 根据题意，得(12-8)m+(10-8)(6 000-m)≥16 000， 解得m≥ 2 000.答：至少需加工A 等级农产品2 000 kg． (2)若该食品企业以每千克8元购进6 000 kg农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于16 000 元，则至少需加工A 等级农产品多少千克？ 满分题溯源 同时建立方程和不等式的模型解决实际问题 5 例 5 认真阅读下面三个人的对话 . 小朋友：阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶(递上 10 元钱) . 售货员：本来你用 10 元钱买一盒饼干还有剩余，但再买一袋牛奶就不够了 . 不过今天是儿童节，我给你买的饼干打九折，两样东西请拿好，还有找你的 8 角钱 . 综合点 满分题溯源 旁观者：每盒饼干的标价可是整数哦！ 根据对话内容，试求出每盒饼干和每袋牛奶的标价各是多少 . 解题秘方： 本题的条件隐含在对话中，应学会从对话中获取信息，从而得到一个方程和两个不等式，再结合每盒饼干的标价为整数最终可求出答案 . 满分题溯源 解： 设每盒饼干的标价为 x 元，每袋牛奶的标价为 y 元 . 根据题意，得由②，得 y=9.2-0.9x，④ 将④代入①，得 x+9.2－0.9x>10，解得 x>8. 结合③可知 8<x<10.又因为 x 为整数，所以 x=9. 所以 y=9.2－0.9x=9.2－0.9× 9=1.1. 即每盒饼干的标价为 9 元，每袋牛奶的标价为 1.1 元 . 满分题溯源 解：解不等式2x－6≤0，得x≤3； 解不等式x＜，得x＞. 则该不等式组的解集为＜x≤3.所以该不等式组的所有整数解为1，2，3，所有整数解的和为6. 解：设购买一个甲种品牌毽子需要x元，购买一个乙种品牌毽子需要y元． 根据题意，得解得 答：购买一个甲种品牌毽子需要15元，购买一个乙种品牌毽子需要10元． 解：设购买m个甲种品牌毽子，则购买＝个乙种品牌毽子． 根据题意，得解得≤m≤64. 又因为m，均为正整数， 所以m可以为60，62，64. 所以学校共有3种购买方案． 方案1：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子； 方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子； 方案3：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子． $