6.2 数学建模——从自然走向理性之路 课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

该高中数学课件以数学建模解决自由落体运动问题为核心，通过落叶苹果下落现象导入，结合亚里士多德与伽利略的历史争议，设计白纸纸团动手实验，搭建从生活现象到历史探究再到实验验证的学习支架。 其亮点在于融合历史情境与学生实验，完整呈现建模全流程，培养用数学眼光观察自然现象，用数学思维推导h=1/2gt²规律，用数学语言表达模型。课后作业探究蜂房结构促进迁移，助力学生掌握建模方法，帮助教师开展探究式教学。

数学建模——从自然走向理性之路 1 1 一、问题引入 16世纪，意大利物理学家伽利略通过对自由落体运动的研究，得出自由落体运动过程的路程模型，自由落体运动过程方程是自然科学史上的一项伟大的成果，该运动方程的得到是数学建模方法的经典之作。 1 二、建模过程 1、现实问题描述 （1）秋天是个美丽的季节，落叶飘零，熟透的苹果会从树上掉落下来，这些有什么共同的特点？ （2）我们发现，文学家们在形容秋天的落叶的时候，常常说：飘零的落叶，却从没有人说飘零的苹果或者飘零的铅球呢？ （3）思考：为什么苹果会比落叶下落得快呢？ 1 历史介绍 早在公元前4世纪的古希腊哲学家亚里士多德经过大量的观察也得到了相同的结论：重的物体下落得快。战国时期墨子也对该现象产生的原因进行论述，不过古代人们并不清楚这种现象是力的作用结果，因而普遍认为，导致物体下落的原因就是因为物体的质量。事实是否真的如此呢？重的物体下落的快？或者说物体做自由落体运动时，运动变化规律如何？这就是我们需要解决的数学问题。 1 实验发现 拿出两张白纸，两张几乎一样的白纸（重叠），表面积一样，质量也一样。 把其中一张白纸撕下一半，揉成一个纸团，纸团和纸片哪个比较重？ 哪个的表面积比较小？ 让这个纸团和另一张纸从同一高度同时下落，注意看它们是怎么样下落的？哪个下落得比较快？ ——这个实验说明亚里士多德的观点不完全正确。 1 上述实验，伽利略1590年前完成的，他在比萨斜塔上用1磅的铁球和10磅的铁球同时下落，发现他们同时落地。伽利略通过反复的观察发现：物体下落的速度随下落的时间而均匀增加，且速度与时间成正比例关系。即 。伽利略的比萨斜塔实验推翻了人们信奉了两千年的观点。 数学建模的第一步——从实际情境中发现数学问题。 1 2、模型假设 伽利略注意到，在有介质的空间，物体下落速度必然与物体的形状以及物体的质量有关。因此只能在理想条件下构建物体下落的模型。 为此，必须假定在物体下落的过程中空气阻力可以忽略不计。 因此，为建立模型，首先需进行假设： 数学建模第二步 模型假设：假设物体下落的速度与物体的形状 以及物体的质量无关。 1 3.模型建立 思考：基于上述假设，如果物体自由下落的时间相同，物体自由下落的高度h的相关因素包括哪些呢？ ——运动时间t以及加速度g。 因此，h是关于t和g的函数， 数学建模第三步：模型建立 1 4、模型求解 伽利略通过大量试验，发现：速度与时间成正比例关系。 基于 的假设，请问： （1）物体下落1s时的速度为？ （2）下落2 s时的速度为？ （3）下落ts时的速度为？ （4）下落ts的平均速度为？ （5）路程=速度x时间，那么自由落体运动路程h该怎么表示？ 利用ts的平均速度与时间的乘积计算路程 1 4、模型求解 证明： 通过数学方法，求解模型中的参数，下落高度和时间及重力加速度之间存在函数关系 建模的第四步即模型求解 1 5.模型分析与检验 得到模型后，伽利略做了一系列的实验来验证模型的正确性。——通过斜面的实验进行。伽利略通过大量的实验验证了这样一个事实：同样的高度、同样的重物沿垂面下落和斜面下落，下落的时间之比等于垂直长度和斜面长度之比。这个事实说明：可以利用斜面进行自由落体的实验。于是伽利略用一块足够长的木板，在中间凿出一条光滑沟槽，让光滑的黄铜球沿着沟槽滚下。 他实验了不同的倾斜角度，又实验了不同长度的模板，先后一百多次的实验结果均显示，黄铜球下落的距离与下落时间的平方之比近似为一个正常数，进而验证了模型的正确性。 1 6.推广应用 伽利略用斜面实验验证了模型的正确性后，他将斜面实验的结果推广到与水平面垂直的情况：随着斜面倾斜角度逐渐增加到90°，小球的加速度不断变大，小球逐步过渡答自由落体运动，如图。至此，他成功的验证了原先的猜想，得到刻画自由落体运动的规律的函数模型。 1 总结归纳 建模过程 1 课后作业 查找并阅读关于蜂房结构的资料，建立数学模型说明蜂房正面采用正六边形面，底端是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成（菱形的锐角为70°32′，钝角为109°28′）的原因。 THANK YOU $