6.2 数学建模——从自然走向理性之路-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（湘教版2019）

第6章　数学建模 6.2　数学建模——从自然走向理性之路 (一)问题描述 考虑：一张四条腿同样长的椅子，一般说来，把它放在不平的地面上，通常只有三条腿着地，放不稳．用数学的方法证明：总存在这样一个位置，使得椅子放上去后，四条腿同时着地，也就是说，椅子虽然可能会倾斜，但不会摇晃． (二)模型假设 1．地面的高度是连续变化的，即为连续曲面，这样就不会出现台阶式地面． 2．对于椅子腿的长度和椅子脚之间的距离而言，地面是相对平坦的，也就是说，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地． 2 (三)模型建立 现在根据模型假设，来建立数学模型． 如图所示，ABCD为椅子的初始位置，中心是O点，A′B′C′D′ 为椅子绕O点旋转θ角后的位置，即A′C′与x轴夹角为θ，记A，C 两脚与地面距离之和为f(θ)，B，D两脚与地面距离之和为g(θ)． 由假设，地面为连续曲面，则f(θ)和g(θ)都是θ的连续函数，并 且f(θ)>0，g(θ)>0，由于任何位置至少有三只脚着地，即对任意的θ，f(θ)和g(θ)至少有一个为零，因此，恒有f(θ)·g(θ)＝0，不妨设当θ＝0时，g(θ)＝0，f(θ)≥0． 3 4 5 (五)模型分析与检验 注意到让椅子的三条腿同时着地总是可能的．要理解这一点，只需将相邻的两条腿举起来，让另外的两条腿着地，然后慢慢地将手中的两条腿放下，则必有一条腿着地．因此，总有两只不相邻的椅脚同时着地．用椅腿与地面的距离来描述着地与否，距离为零，就为着地，反之亦然． 由于椅子必有三条腿同时着地的缘故，椅子四只脚的两组相对的椅脚与地面的距离恒有f(θ)·g(θ)＝0． 6 在旋转过程中，当同时着地的两个不相邻的椅脚与地面的距离之和从零变为正时，另外两个不相邻的椅脚与地面的距离之和必定正好变为零，这中间必存在某一时刻，四脚与地面的距离均为零，此时，也就是旋转到这个角度，椅子四条腿同时着地． 关于模型的检验，由于问题常见，根据实际经验，问题的答案与客观实际相符． 7 　　　　　　　　　　　　　 R 当椅子旋转eq \f(π,2)时，只是A，C与B，D二者位置互换，也就是AC连线与BD连线互换．这样，当θ＝eq \f(π,2)时，有f(θ)＝0，g(θ)≥0． 于是四条腿椅子放稳问题就成了数学问题．建立模型如下： 已知，f(θ)，g(θ)为连续函数，且对于任意的θ，恒有f(θ)·g(θ)＝0，并且 当θ＝0时，g(θ)＝0，f(θ)≥0； 当θ＝eq \f(π,2)时，f(θ)＝0，g(θ)≥0． 求证：存在θ0，使f(θ0)＝g(θ0)＝0． (四)模型求解 引理：若函数h(x)在闭区间[a，b]上连续，且h(a)·h(b)<0(即h(a)与h(b)异号)，则在区间(a，b)上至少存在一点ξ，使f(ξ)＝0． 令h(θ)＝f(θ)－g(θ)，则h(0)≥0，heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))≤0． 因为f(θ)，g(θ)是连续函数，所以h(θ)是连续函数，由引理知，必存在θ0，0<θ0<eq \f(π,2)，使h(θ0)＝0，即f(θ0)－g(θ0)＝0． 又因为恒有f(θ)·g(θ)＝0，所以f(θ0)·g(θ0)＝0， 从而f(θ0)和g(θ0)必有一个为零，于是f(θ0)＝g(θ0)＝0， 这就说明，存在θ0方向，椅子的四条腿同时着地． $$