6.3数学建模案例(一)：最佳视角（教学课件）数学湘教版必修第二册

湘教版 必修第二册 6.3数学建模案例(一)：最佳视角 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 第6章数学建模 湘教版 必修第二册 学习目标 目标 1 重点 2 1. 掌握最佳视角问题数学模型的建立方法，理解模型中各参数的实际意义。 2. 学会运用三角函数法求解最佳视角模型，明确求解过程中的关键步骤和原理。 3. 理解模型检验的重要性，掌握通过实际案例验证模型正确性的方法。 难点 3 1. 从实际的最佳视角问题中准确抽象出合适的数学模型，合理设置模型中的变量和条件。 2. 运用三角函数知识进行复杂的推导和计算，确定视角最大值时的参数取值。 3. 在模型检验和应用拓展中，培养学生深入分析问题、解决实际问题的能力，以及创新思维。 1. 深入理解最佳视角问题的背景和实际意义，能准确阐述其在不同场景下的含义。 2. 熟练掌握解决最佳视角问题的数学建模过程，包括模型建立、求解、检验和应用拓展。 3. 灵活运用三角函数和几何知识解决最佳视角相关的实际问题，提升数学应用和逻辑思维能力。 4. 通过小组合作和实际操作，增强团队协作精神和实践动手能力，培养严谨的科学态度。 环节一：创设情境，提出问题 1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出了一个十分有趣的问题：在地球表面的 什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大）？ 将米勒问题转化为一般数学问题： 在已知直线的同侧有，两点，试在直线上求一点，使得对， 两点的张 角，即 最大？ 环节一：创设情境，提出问题 在生活中，我们为了更好地欣赏事物，常常会不自觉地调整自己的位置。比如在美术馆欣赏画作、观看演出，或者在旅游时观赏风景等。今天我们就从数学的角度来探究如何找到最佳的观察位置，也就是最佳视角问题。 当我们和朋友一起流连忘返于展览大厅欣赏精美的艺术品，或在节假日陪伴家人沉醉于大自然美景时，可能常常不经意地调整观察路线，便于我们能够对感兴趣的目标有一个最清晰的观察。这种最清晰的观察就可以通过建立最佳视角的数学模型来完成。 从数学上看，对什么是最佳视角并没有一个严格的定义，针对不同的问题，最佳视角的含义有所不同。 问题：在美术馆观看一幅悬挂在墙上的画作时，大家想一想，怎样的位置能让我们观看这幅画最清晰？ 新课讲授 新课讲授 例如，当我们希望对物体的全貌进行最清晰的观察时，最佳视角是关于面积最大的问题，而在6.1节提出的足球运动员射门角度问题中，其最佳视角则对应于球员与所对球门张成的最大角度。 本节我们仅从观察者与所观察物体张成的最大角度出发，讨论与之有关的最佳视角模型。 最佳视角问题在我们的生活中还有很多，例如： 新课讲授 新课讲授 （1）如图6.3-1，观众在观看某美术馆墙上悬挂的一幅画作时，经常会前、后、左、右移动，以使得观看该画最清晰，你能够从最大视角的角度解释他脚步移动的原因吗？ （2）对于一座山或高大建筑物 （不可及但高度知道），且在平地上可以看见山或。 建筑物顶上有一个标志性塔或旗杆， 如何在平地上寻找位置，使在该位置观看塔或旗杆的视角最大？ 下面我们通过建立数学模型的方法来解决最佳视角问题。 在不同的情境下，最佳视角的含义有所不同。以观看物体全貌和足球运动员射门角度问题为例，说明最佳视角有时是关于面积最大的问题，有时是对应于张成最大角度的问题。 而本节课主要从观察者与所观察物体张成的最大角度出发，研究最佳视角模型。 新课讲授 环节二：新课讲解 1. 最佳视角问题的背景和含义 1.模型建立与求解 新课讲授 环节二：新课讲解 2. 数学模型的建立 最大视角问题作为数学问题的提出可以追溯到15世纪著名的德国三角学专家米勒，史称米勒问题。 2. 数学模型的求解 新课讲授 环节二：新课讲解 1. 最佳视角问题的背景和含义 选择一个与最佳视角相关的实际案例，运用刚刚所学的数学建模方法进行分析和讨论。 案例可以是教材中提到的电影拍摄中升降机高度的调整、在不同地形上眺望山顶景物的最佳位置，也可以是学生自己生活中发现的类似问题。 各小组的讨论情况，围绕模型建立、求解和检验等方面展开深入讨论，发表不同的见解。 新课讲授 环节三：小组讨论与案例分析 邀请各小组派代表上台汇报他们选择的实际案例、数学建模过程和结果。要求汇报内容包括实际问题的描述、关键因素分析、数学模型的构建、模型的求解过程和检验结果等。认真倾听每个小组的汇报，及时给予肯定和鼓励，针对汇报中出现的问题或不足之处，进行恰当的点评和指导，引导其他学生参与思考和讨论。 新课讲授 环节四：小组汇报与交流 学以致用 问题研究一：屏幕的视角问题 在观察物体时，从物体上、下沿引出的光线在人眼处所成的夹角叫视角.研究表明，视 角在 范围内视觉效果最佳.某大广场竖立的大屏幕，屏幕高20米，屏幕底部距 离地面11.5米.站在大屏幕正前方，距离屏幕所在平面 米处的某人，眼睛位置距离地面 高度1.5米，观察屏幕的视角为 （情景示意图如图所示）. 12 学以致用 （1）为探究视觉效果，请从 ， ， 中选择一个作为，并求 的表达式； （2）根据（1）的选择，探究 是否有达到最佳视角效果的可能. [解析] 过点作于点，则 ， ，，设 ， . （1） . 13 学以致用 （2） ， 当且仅当，即 时， 取到最大值，最大值为 ， 因为 在上单调递增，所以观察屏幕视角的最大值为 ， 且 ， 故 有达到最佳视角效果的可能. 14 学以致用 问题研究二：最远距离问题 如图，有一壁画，最高点处离地面6米，最低点 处离地面3米.若从离地面高2米的点 处观赏它，视角为 .当点离墙壁多远时，视角 最大？ 15 学以致用 [解析] 设 ， ，则视角 . 设点到墙壁的距离为米，则， ， 所以当且仅当 ， 即时等号成立 ， 所以当时，视角 达到最大， 故当时，点到墙壁距离为2米，此时视角 达到最大. 16 学以致用 问题研究三：广告牌的视角问题 某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（米）的点 的上方悬挂竖直 高度为5米的广告牌.如图所示，广告牌底部点恰好为的中点，电梯 的坡度 .某人在扶梯上点处（异于点）观察广告牌的视角 .当某人 在扶梯上观察广告牌的视角 最大时，求 的长. 17 学以致用 [解析] 过点作于点 ，如图所示， 设，则， ， ， ， 当取最大值时，即 取最大值， ， 当且仅当，即 时等号成立， 所以 . 18 学以致用 问题研究四：塔的视角问题 如图，某登山队在山脚处测得山顶的仰角为 ，沿倾斜角为 的 斜坡前进 后到达处，休息后继续行驶到达山顶 .山顶处有一塔 ，从点到点的登山途中，队员在点处测得塔的视角为 ， 若点处的高度，则为何值时，视角 最大？ 19 学以致用 [解析] 如图，过点作于点，过点作于点 ， 因为 ， 所以 ， 因为点在上，，所以 ， 所以， ， 所以 20 学以致用 ， ， 令，则 ， 所以 ， 当且仅当，即，时， 取得最大值， 所以当时，视角 最大. 21 环节五：课堂小结 回顾本节课所学的主要内容， 包括最佳视角问题的背景和含义、 数学模型的建立和求解方法、 模型的检验以及实际应用拓展等方面。 数学建模在解决这类实际问题中的重要作用， 总结各小组在讨论和汇报过程中的优点和不足， 在今后的学习中继续提高数学建模能力。 环节六：目标检测，检验效果 23 环节七：布置作业，应用迁移 24 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 感谢聆听 -建立数学模型： 最佳视角问题可以抽象成下面的数学模型： 如图6.3-2，直线AB垂直于地面，垂足为 ， 设 ， ，过 点任作一条垂直于OA的直线 ， 问题：在直线 上找出点 ，使得在这点的视角 最大。 模型求解： 最大视角问题早期常见解法包括平面几何法与三角函数法， 下面我们用三角函数法讨论其求解方法。 设 ， ， ， 利用差角的正切公式 当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 取最大值 。 由于 在 上是增函数，且 ， 故当 时， 最大，此时视角 也最大。 问题： 1. 简述最佳视角问题在数学建模中的含义。 2. 写出用三角函数法求解最佳视角模型的关键步骤。 3. 假设在观看一场演出时，舞台上的表演区域可看作线段AB，观众所在的看台为一条与舞台垂直的直线l，已知表演区域AB的长度为8米，A点距离地面的高度为5米，B点距离地面的高度为3米，求观众在直线l上的最佳观看位置（结果保留根号）。 答案： 1. 从观察者与所观察物体张成的最大角度出发，研究在不同场景下如何找到使视角最大的观察位置的问题。 2. 首先设相关线段长度和角度，利用差角的正切公式表示出视角的正切值，通过对正切值进行化简和推导，找到使其取最大值时对应的变量取值，再根据正切函数的单调性确定视角最大时的条件。 3. 设观众到舞台的垂直距离为x米，由题意可得 ， ，根据模型，当 米时，视角最大，即观众在距离舞台 米的位置观看效果最佳。 设计意图：检测学生对本节课重点知识的理解和掌握程度，考察学生运用所学知识解决实际问题的能力。 1.P252 问题研究二. 2.预习 6.3数学建模案例（二）:曼哈顿距离 $$