第10章 三角恒等变换 单元测试卷-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第10章　三角恒等变换　单元测试卷 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若cos( -α)=,则sin 2α= (　　) A.- B. C.- D. 2.已知sin θ=3cos θ,则cos(+2θ)= (　　) A.- B.- C. D. 3.cos(45°-α)cos(α+15°)-sin(45°-α)sin(α+15°)= (　　) A. B.- C. D.- 4.在△ABC中, A=15°,则sin A-cos(B+C)= (　　) A. B. C. D. 5.已知A+B=,则1+tan A+tan B+tan A·tan B=(　　) A.0 B.1 C.-1 D.2 6.已知α∈(π,),2sin 2α=1-cos 2α,则tan= (　　) A. B. C. D. 7.如果将函数y=sin x+cos x的图象向右平移θ(0<θ<)个单位得到函数y=3sin x+acos x(a<0)的图象,则tan θ的值为 (　　) A.2+ B.2- C. D.3 8.a=,b=(sin 3°+cos 3°),c=,则下列结论正确的是 (　　) A.c<a<b B.c<b<a C.b<c<a D.b<a<c 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列四个等式中正确的是 (　　) A.tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°= B.=1 C.cos2-sin2= D.-=4 10.已知函数f(x)=sin xsin(x+)-的定义域为[m,n](m<n),值域为[-,],则m-n的值不可能(　　) A. B. C. D. 11.由倍角公式cos 2x=2cos2x-1,可知cos 2x可以表示为cos x的二次多项式.一般地,存在一个n(n∈N*)次多项式Pn(t)=a0+a1t+a2t2+…+an tn(a0,a1,a2,…,an∈R),使得cos n x=P n(cos x),这些多项式P n(t)称为切比雪夫多项式,则 (　　) A.P3(t)=4t3-3t B.当n≥3时,a0=0 C.|a1+a2+a3+…+an|≤2 D.sin 18°= 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知tan(α+)=-,则=　　　　.  13.△ABC的三个内角分别为A,B,C,当A为　　　　时,cos A+2cos取得最大值,这个最大值为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)  14.对于集合{θ1,θ2,…,θn}和常数θ0,定义: μ=为集合{θ1,θ2,…,θn}相对θ0的“余弦方差”.已知集合{,,π}相对任何常数θ0的“余弦方差”是一个常数,这个常数是　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知cos(x+)=,<x<,求的值. 16.(15分)已知向量a=(cos α,sin β+2sin α),b=(sin α,cos β-2cos α),且a∥b. (1)求cos(α+β)的值; (2)若α,β∈(0,),且tan α=,求2α+β的值. 17.(15分)已知函数f(x)=4cos x·sin(x+)+1在区间[-,a]上的值域为[-2,1]. (1)求实数a的取值范围; (2)若f(x0)=-,x0∈[0,],求cos 2x0的值. 18.(17分)在下列条件中任选一个: ①7sin 2α=2sin α,②tan=,③sin 2α=4(cos 2α+1).补充题中的条件,并解答: 已知0<β<α<,　　　　,sin(α+β)=.  (1)求sin(α+); (2)求β. 注:若选择多个条件分别进行解答,则按第一个解答计分. 19.(17分)某同学在一次研究性学习中发现,以下四个式子的值都等于同一个常数: ①sin212°+cos242°+sin12°cos 42°; ②sin215°+cos245°+sin 15°cos 45°; ③sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°; ④sin230°+cos260°+sin 30°cos 60°. (1)试从上式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 注:若选择多个条件分别进行解答,则按第一个解答计分. 第10章 答案解析 1.A　方法一　由已知得,sin 2α=cos(－2α)=2cos2(－α)－1=2×()2－1=－. 方法二　由cos(－α)=得cos α+sin α=,即cos α+sin α=,两边平方得1+2sin αcos α=, 所以2sin αcos α=－,即sin 2α=－. 2.C　因为sin θ=3cos θ,所以cos(+2θ)=sin 2θ=2sin θcos θ==. 3.A　原式=cos(α－45°)cos(α+15°)+sin(α－45°)sin(α+15°)=cos[(α－45°)－(α+15°)]=cos(－60°)=. 4.D　∵在△ABC中,A=15°,A+B+C=180°,故sin A－cos(B+C)=sin A+cos A=2(sin A+cos A)=2cos(60°－A)=2cos 45°=. 5.D　由A+B=,可得tan(A+B)==1, 可得tan A+tan B=1－tan Atan B,所以1+tan A+tan B+tan Atan B=1+(1－tan Atan B)+tan Atan B=2. 6.B　因为2sin 2α=1－cos 2α, 所以4sin αcos α=1－(1－2sin2α),即4sin αcos α=2sin2α. 因为α∈(π,),所以sin α≠0,∈(,), 所以2cos α=sin α,即tan α=2. 又tan α=,所以=2,即tan2+tan－1=0,解得tan=或tan=. 因为∈(,),所以tan=. 7.A　由题意得,y=sin x+cos x=2sin(x+),将其图象向右平移θ个单位后,得到函数y=2sin(x+－θ)的图象. 将y=3sin x+acos x化为y=sin(x+φ),其中tan φ=. ∵y=2sin(x+－θ)与y=sin(x+φ)表示同一函数,∴=2,又a<0,∴a=－,此时tan φ=－,且－θ+2kπ=φ,k∈Z,∴θ=－φ+2kπ,k∈Z,∴tan θ=tan(－φ)===2+. 8.B　a==tan 48°,b=(sin 3°+cos 3°)=sin 3°cos 45°+sin 45°cos 3°=sin 48°,c===sin 47°.因为tan 48°>tan 45°=1,sin 47°<sin 48°<1,所以sin 47°< sin 48°<tan 48°,即c<b<a.故选B. 9.AD　对于A,∵tan 60°=tan(25°+35°)==,故tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°=,故A正确; 对于B,=tan 45°=,故B错误; 对于C,cos2－sin2=cos =,故C错误; 对于D,－====4,故D正确. 10.CD　f(x)=sin x·sin(x+)－=sin x(sin x+cos x)－=sin2x+sin xcos x－=·+sin 2x－=sin 2x－cos 2x=sin(2x－). ∵函数f(x)的值域为[－,],∴不妨令2n－=,此时f(x)=,数形结合可得2m－的最小值为－,最大值为－,即当n=时,m的最小值为－,最大值为－, ∴n－m的范围为[,].故选CD. 11.ACD　对于A,因为cos 3x=cos(2x+x)=cos 2xcos x－sin 2xsin x=(2cos2x－1)cos x－2sin2 xcos x=2cos3x－cos x－2(1－cos2x)cos x=4cos3x－3cos x,所以P3(t)=4t3－3t,选项A正确; 对于B,因为cos 4x=cos(2·2x)=2cos22x－1=2(2cos2x－1)2－1=2(4cos4x－4cos2x+1)－1=8cos4x－8cos2x+1,所以P4(t)=1－8t2+8t4,且a0=1,选项B错误; 对于C,多项式Pn(t)=a0+a1t+a2t2+…+antn,对应运算为cos nx=a0+a1cos x+a2cos2x+…+ancosnx, 当x=0时,得1=a0+a1+a2+…+an, 当x=时,cos=a0,故|a0|≤1, 又1=|a0+a1+a2+…+an|且|a1+a2+…+an|－|a0|≤|a0+a1+a2+…+an|=1, 所以|a1+a2+…+an|≤1+|a0|≤1+1=2,选项C正确; 对于D,因为sin 36°=cos 54°,所以2sin 18°cos 18°=4cos318°－3cos 18°,所以4sin218°+2sin 18°－1=0,解得sin 18°=,选项D正确. 12.－　tan(α+)==－,∴tan α=－3,∴tan 2α==,cos 2α－1=－2sin2α===－,∴==－. 13.60°　　∵cos A+2cos=cos A+2sin =1－2sin2+2sin =－2sin2+2sin +1=－2(sin －)2+,且A为△ABC的一个内角,故当sin =,即A=60°时,cos A+2cos 取最大值,最大值为. 14.　当集合Ω={,,π}时,集合Ω相对于常数θ0的“余弦方差”为 μ= = = =. 15.∵<x<,∴<x+<2π. ∵cos(x+)=,∴sin(x+)=－, ∴cos x=cos(x+－)=cos(x+)cos+sin(x+)sin=×+(－)×=－. ∵<x<,∴sin x=－,tan x==7. ∴==－. 16.(1)因为a∥b,所以cos α(cos β－2cos α)－sin α(sin β+2sin α)=0,整理得(cos αcos β－sin αsin β)=2(cos2α+sin2α), 即cos(α+β)=2,所以cos(α+β)=. (2)由α,β∈(0,)得0<α+β<π, 因为cos(α+β)=>0,所以0<α+β<, 则sin(α+β)=,tan(α+β)=. 因为tan α=,所以tan(2α+β)===1,又0<α<,所以0<2α+β<π, 所以2α+β=. 17.(1)f(x)=4cos x·sin(x+)+1=－4cos x·sin(x+)+1=－4cos x·(sin x+cos x)+1=－2sin xcos x－2cos2x+1=－sin 2x－cos 2x=－2sin(2x+). 由题意得,当x∈[－,a]时,－≤sin(2x+)≤1, 令u=2x+,则u∈[－,2a+], 所以≤2a+≤,所以≤a≤. (2)由题意得sin(2x0+)=<,因为x0∈[0,],所以2x0+为第二象限角,所以cos(2x0+)=－, 所以cos 2x0=cos[(2x0+)－]=. 18.(1)选条件①,因为7sin 2α=2sin α, 所以14sin αcos α=2sin α, 因为0<α<,所以cos α=,所以sin α=. 所以sin(α+)=sin αcos +cos αsin =×+×=. 选条件②,因为tan=,所以tan α==4, 即=4,又sin2α+cos2α=1, 且0<α<,所以cos α=,sin α=, 若sin(α+)=×+×=. 选条件③,因为sin 2α=4(cos 2α+1), 所以2sin αcos α=4×2cos2α,整理得tan α=4, 即=4,又sin2α+cos2α=1, 且0<α<, 故cos α=,sin α=, 所以sin(α+)=×+×=. (2)由(1)知cos α=,sin α=, 因为0<α<,且sin α=>,所以根据角和函数值的关系,整理得<α<. 因为0<β<α<,所以0<β+α<π, 又sin(α+β)=<,故<β+α<π, 所以cos(α+β)=－, 所以sin β=sin[(α+β)－α]=sin(α+β)cos α－cos(α+β)sin α=×+×=, 因为0<β<, 所以β=. 19.(1)由①式可得 原式=sin212°+cos2(30°+12°)+sin 12°cos(30°+12°) =sin212°+(cos 30°cos 12°－sin 30°sin 12°)2+sin 12°(cos 30°·cos 12°－sin 30°sin 12°) =sin212°+(cos 12°－sin 12°)2+sin 12°·(cos 12°－sin 12°) =sin212°+cos212°－sin 12°cos 12°+sin212°+sin 12°cos 12°－sin212° =(sin212°+cos212°) =. 由②式可得sin215°+cos245°+sin 15°cos 45° =sin2++sin =++· =－++· =. 由③式可得 原式=++sin 20°cos 50° =1+(cos 100°－cos 40°)+(sin 70°－sin 30°) =－sin 70°sin 30°+sin 70° =. 由④式可得sin230°+cos260°+sin 30°cos 60°=()2+()2+×=. (2)由(1)的计算结果可得推广的三角恒等式为sin2α+cos2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=. 证明:sin2α+cos2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=++sin α(cos αcos 30°－sin αsin 30°)=－cos 2α++cos 2α－sin 2α+sin 2α－sin2α=1－cos 2α－sin2α=1－(1－2sin2α)－sin2α=, ∴原式得证. 学科网（北京）股份有限公司 $