精品解析：福建省厦门第一中学2025-2026学年高三上学期数学强化练习限时训练7

厦门一中2026届高三上---强化练习 限时训练7 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合N，然后利用交集运算求解即可. 【详解】， 又因为，所以. 故选：B. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法和除法运算化简后即可求解. 【详解】复数， 故虚部为. 故选：A 3. 已知椭圆 的一个焦点为，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据焦点坐标可直接构造方程组求得结果. 【详解】由题意知焦点在轴上， 由题意知：，解得：. 故选：C. 4. 设命题，，则：（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可求解. 【详解】由题意：命题，，则：，， 故选：D. 5. 《算经十书》是中国古代数学典籍的合集.书中记载（用现代文表达）：今有牛､羊､猪各数头（各有至少1头），已知猪的数量多于羊，羊的数量多于牛，牛的数量的3倍多于猪､羊数量之和，则牛､羊､猪的总头数至少为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出不等式组，解出即可. 【详解】设牛、羊、猪分别为 头，则根据题意有，则， 则 ，则 ，则. 故选：B. 6. 已知函数.若对于任意的等差数列，总有是等差数列，则称函数具有“保等差性”.函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的定义依次验证选项即可. 【详解】是等差数列，则需要满足， 对于A，取等差数列，则,，,则，故A不正确； 对于B，取等差数列，则,,，则，故B不正确； 对于C，取等差数列，则,,,则，故C不正确； 对于D, ,, 所以，， 由于为等差数列，则，所以，故D正确； 故选：D 7. 已知直线与轴和轴分别交于A，两点，以点A为圆心，2为半径的圆与轴的交点为（在点A右侧），点在圆上，当最大时，的面积为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当BP为圆的一条位于AB下方的切线时满足最大，通过计算得的方程再通过面积公式计算即可. 【详解】如图所示，不难发现当BP为圆的一条位于AB下方的切线时满足最大， 由题意可得，不妨设， 则A到BP的距离为，或（舍去）. 则， 此时到BP的距离为， 所以的面积为 故选：A 8. 已知函数，若对任意的，恒成立，且当时，取到最大值，则的所有可能取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件“对任意的，恒成立”得出函数周期，从而得出值，利用“时，取到最大值”得出的表达式，从而得出的表达式，最后结合余弦函数的周期性得出的所有可能值． 【详解】，对任意的恒成立， 函数周期满足， ， ， 当时，取到最大值，， ，即， ， ，则的可能值为： 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，； 当时，值循环出现． 的所有可能取值集合为：． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为实数，则曲线可能是（    ） A. 抛物线 B. 双曲线 C. 圆 D. 椭圆 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知曲线方程分析参数判断曲线对应图形即可判断. 【详解】A：因为曲线C的方程中都是二次项，所以根据抛物线标准方程的特征曲线C不可能是抛物线，不符； B：当时，曲线C为双曲线，符合； C：当时，曲线C为圆，符合； D：当且时，曲线C为椭圆，符合； 故选：BCD 10. 如图，在直三棱柱中，，，点是上的动点，点是上的动点，则（ ） A. //平面 B. 与不垂直 C. 存在点、，使得 D. 的最小值是 【答案】CD 【解析】 【分析】根据平面，，即可判断A；假设与垂直，因为，所以可得，即可判断B；过点作，证出平面，存在点、使得，即可判断C；将和放置于同一平面内，利用长度关系得证，求解的长，即可判断D. 【详解】对于A，在直三棱柱中， ，因为平面， 所以与平面相交，A错； 因为平面，平面， 所以，若与重合，此时； 若与不重合，与也垂直， 又，平面， 则平面，又平面， 则，不成立，所以此时与不垂直，故B错； 如图，过点作， 又平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，则， 又是上的动点，点是上的动点， 所以存在点、使得， 即存在点、，使得，C正确； 对于D，将和放置于同一平面内，如图， 则， 因为， 所以， 在直角三角形中， ， 所以为等边三角形，所以， ， 所以，D正确. 故选：CD 11. 已知函数的函数值等于的正因数的个数.例如.则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 设，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用的概念，结合质因数概念和裂项相消法计算判断即可. 【详解】对于A，6的正因数为共4个，所以，故A正确； 对于B，，它的因数形如，其中， 所以不同的因数有个，即，故B不正确. 对于C，因为，所以， 所以 ，故C正确； 对于D，，则 ，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数满足，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据条件，利用指对数互换和换底公式，即可求解. 【详解】因为，则，， 所以， 故答案为：. 13. 有四个半径为1的小球，球，球，球放置在水平桌面上，第四个小球放在这三个小球的上方，且四个小球两两外切．在四个小球之间有一个小球，与这四个小球均外切．则球的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接四个球的球心可以得到一个棱长为2的正四面体，根据正四面体的外接球的半径公式得到半径，即可求得球的半径． 【详解】连接四个球的球心可以得到一个棱长为2的正四面体， 根据正四面体的外接球的半径公式得到半径， 因为小球与这四个小球均外切， 则所求的球的半径为 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构造正四面体结构，并求解外接球半径从而求解小球半径． 14. 已知实数，满足，，则的最小值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为求曲线上的点到直线的距离的最小值的平方，利用导数求切点，由点到直线的距离公式即可求解. 【详解】解：所求表达式的几何意义为点与点之间距离的平方. 由可知点在曲线上；点的坐标满足，故该点在直线上 因此求的最小值， 即为求曲线上的点到直线的距离的最小值的平方. 设直线与曲线相切于点， ，则，解得（负根已舍去）， 切点为，点到直线的距离， 则的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边转角得到，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值，即可求解； （2）根据条件及（1）中结果，得到，再利用面积公式及正弦定理边角互换，得到，即可求解. 【小问1详解】 由题可得， 又，所以， 又，则，所以， 得到，又，所以，解得. 【小问2详解】 因为，则， 因为，所以， 所以， ， 所以， 又面积，其中为外接圆的半径， 解得，所以. 16. 记为正项数列的前项和，已知. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，，求证：. 【答案】（1） （2）由题可得，所以， 又，所以， 又也满足上式， 所以， 【解析】 【分析】（1）由与关系结合题意可得答案； （2）由（1）结合累乘法可得，从而可得通项公式，然后由裂项求和法可得答案. 【小问1详解】 当时，可得， 当时，，. 作差可得， 因为是正项数列，所以，即数列为等差数列， 所以. 【小问2详解】 略 17. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为菱形，． （1）若四棱锥的体积为1，求的长； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）过作于，连接，根据面面垂直得性质可得底面，设，求出，再根据锥体的体积公式即可得解； （2）取的中点，连接，则，以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 如图，过作于，连接， 因为侧面底面，且侧面底面面， 所以底面， 设，因为， 所以， 在菱形中，，则为等边三角形， 则， 所以四棱锥的体积， 解得； 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设平面的法向量为， ，令，得， 则， 故平面与平面所成二面角的正弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为，左､右顶点分别为，左､右焦点分别为，过右焦点的直线交椭圆于点，且的周长为16. （1）求椭圆的标准方程； （2）记直线的斜率分别为，证明：为定值： （3）记的面积分别为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 如图： 设 设直线的方程为：. 联立得： 所以. 所以，即： 又，则 所以为定值. （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，确定的值，确定椭圆的标准方程. （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，，再把用，表示出来，努力化简即可. （3）把用，表示出来，写成的函数，利用换元的思想，转化成利用对勾函数的单调性求值域的问题解决. 【小问1详解】 由的周长为16可知：，即 又离心率为所以 . 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可知： 由（2）知. 所以 . 令，则 则 因为在上严格增， 所以当，即时，取得最大值为. 所以的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 已知函数． （1）若，求在处的切线的方程； （2）判断是否是函数的极值点，并说明理由； （3）若不等式对任意的，恒成立，求正整数的最大值．（参考数据：）． 【答案】（1） （2）不是，理由： ，若是函数的极值点，则有， 代入得：，即． 当时，不是函数的极值点； 当时，， 令，则， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，即在上单调递增，不合题意． 综上：不是函数的极值点． （3）4 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）根据极值点的定义，分和两种情况，即可说明理由； （3）结合题意，以为主元，即证对任意恒成立；法一：设，分类讨论，和两种情况，结合导数即可证明；法二：参数分离，得，结合导数即可证明；法三：参数分离，，取，得出，再结合导数说明时原不等式恒成立． 【小问1详解】 时，， 所以，由于， 所以在处的切线的方程为， 化简得：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意：， 上式对任意恒成立，以为主元，令，则只需， 因为，所以在上单调递增， 则， 故， 即对任意恒成立． 法一：设， 当时，恒成立，故在上单调递增， 所以，成立， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故只需，即， 令， 所以在上单调递减， 由于，故， 则自然数最大可取到4． 综上：． 法二：由题意得：，设， 令，故在上单调递增， 由于， 故， 所以，使得在上单调递减，在上单调递增，且满足， 故， 而，因此自然数最大可取到4． 法三：由题意得：，取，则， 由于，所以，故， 下面说明时原不等式恒成立，代入原不等式，即证：对任意恒成立 设， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，即成立， 因此，自然数最大可取到4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门一中2026届高三上---强化练习 限时训练7 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 3. 已知椭圆 的一个焦点为，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 4. 设命题，，则：（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 《算经十书》是中国古代数学典籍的合集.书中记载（用现代文表达）：今有牛､羊､猪各数头（各有至少1头），已知猪的数量多于羊，羊的数量多于牛，牛的数量的3倍多于猪､羊数量之和，则牛､羊､猪的总头数至少为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 6. 已知函数.若对于任意的等差数列，总有是等差数列，则称函数具有“保等差性”.函数可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与轴和轴分别交于A，两点，以点A为圆心，2为半径的圆与轴的交点为（在点A右侧），点在圆上，当最大时，的面积为（ ） A. B. 8 C. D. 8. 已知函数，若对任意的，恒成立，且当时，取到最大值，则的所有可能取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为实数，则曲线可能是（    ） A. 抛物线 B. 双曲线 C. 圆 D. 椭圆 10. 如图，在直三棱柱中，，，点是上的动点，点是上的动点，则（ ） A. //平面 B. 与不垂直 C. 存在点、，使得 D. 的最小值是 11. 已知函数的函数值等于的正因数的个数.例如.则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 设，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数满足，则______． 13. 有四个半径为1的小球，球，球，球放置在水平桌面上，第四个小球放在这三个小球的上方，且四个小球两两外切．在四个小球之间有一个小球，与这四个小球均外切．则球的半径为______． 14. 已知实数，满足，，则的最小值为_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的值. 16. 记为正项数列的前项和，已知. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，，求证：. 17. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为菱形，． （1）若四棱锥的体积为1，求的长； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，左､右顶点分别为，左､右焦点分别为，过右焦点的直线交椭圆于点，且的周长为16. （1）求椭圆的标准方程； （2）记直线的斜率分别为，证明：为定值： （3）记的面积分别为，求的取值范围. 19. 已知函数． （1）若，求在处的切线的方程； （2）判断是否是函数的极值点，并说明理由； （3）若不等式对任意的，恒成立，求正整数的最大值．（参考数据：）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $