精品解析：黑龙江省哈尔滨市宾县第一中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

宾县一中2025－2026学年度高二上学期第二次月考 数学试卷 命题人：高三数学组 2025.11.04 一、单选题（每小题5分） 1. 已知空间单位向量的夹角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算律，即可求解. 【详解】因为向量是单位向量，且两向量的夹角为，则， 所以， 故选：D. 2. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 3. 直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】由题意直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为． 故选：A． 4. 若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】圆的圆心，半径为， 点到直线的距离， 即直线与圆相离，又点在圆上， 故点到直线的最小值为， 故选：. 5. 在棱长为1的正方体中，点M为棱的中点，则点B到直线的距离为（    ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间点到直线距离的向量公式求出答案. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，可得， 则与向量同向的单位向量为， 所以点B到直线的距离为. 故选：C. 6. 已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程表示焦点在坐标轴上的椭圆求出的取值范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可． 【详解】因为是焦点在坐标轴上的椭圆， 所以，解得：且， 所以“”是“曲线是焦点在坐标轴上的椭圆”的必要不充分条件． 故选：B． 7. 如图，直二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个面内，且垂直于．若，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助空间向量线性运算与模长及数量积公式计算即可得. 【详解】由于， 则， 由二面角为直二面角，且垂直于，，则， 又，故，则有、， 则有，则， 则. 故选：A. 8. 已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意在中，，在中，，再结合离心率求解即可. 【详解】连接，设，，则， 因为，所以， 在中，，所以， 化简得，则，， 在中，， 所以，即，所以离心率. 故选：D 二、多选题（每小题6分，选对部分选项得部分分，有选错不得分） 9. 如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（ ） A. 长为 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为一组基底，将用基底表示，得，利用数量积的运算即可求解，进而判断A，先求，利用向量的夹角公式即可判断B，计算和即可判断CD. 【详解】由题意有：，所以 ，所以，故A正确； ，所以，所以 ， 所以，故B错误； 由，， 所以 ，所以，故C正确； 由，所以，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆有两个交点 C. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 D. 圆与圆恰有两条公切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，变形后得到方程组，求出所过定点；B选项，点在圆外，故直线与圆可能没有交点，1个交点或两个交点；C选项，时，点到直线的距离，，圆上恰有三个点到直线的距离等于1；D选项，判断出两圆相交，D正确. 【详解】圆的圆心，半径， 对于A，直线，由，解得， 直线过定点，A正确； 对于B，，点在圆外， 故直线与圆可能没有交点，1个交点或两个交点， 比如时，， 圆心到直线的距离， 此时直线与圆无交点，B错误； 对于C，当时，直线，点到直线的距离，， 则圆上恰有三个点到直线的距离等于1，C正确； 对于D，圆的圆心，半径， ，两圆相交，有2条公切线，D正确． 故选：ACD 11. 已知点是左、右焦点为，的椭圆上的动点，则（ ） A. 若，则的面积为 B. 使为直角三角形的点有6个 C. 的最大值为 D. 若，则的最大、最小值分别为和 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据焦点三角形面积的相关结论即可判断A；结合椭圆性质可判断B；结合椭圆定义可求线段和差的最值，判断CD. 【详解】A选项：由椭圆方程，所以，，所以， 所以的面积为，故A错误； B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个， 设椭圆的上下顶点分别为，，则，，，同理， 知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形， 其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确； C选项：由于， 所以当最小即时，取得最大值，故C正确； D选项：因为， 又， 的最大、最小值分别为和， 当点位于的延长线上时取最大值， 当位置的延长线上时取最小值，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（每小题5分） 12. 若直线，且直线的倾斜角为，则直线的斜率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据倾斜角和斜率的关系求得正确答案. 【详解】由题得直线与的倾斜角相等， 直线的倾斜角为，则直线的斜率为． 故答案为： 13. 过点作圆的切线，则切线的方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得点 在圆上，则切线，利用斜率关系即可求解. 【详解】由题可得点在圆上， 所以过点作圆的切线，由于，则， 所以切线的方程为：，即， 故答案为： 14. 已知椭圆的右焦点是，过点作直线交椭圆于点A，B，过点与直线垂直的射线交椭圆于点，，且三点共线（其中O是坐标原点），则椭圆的离心率为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】先证明四边形是矩形，然后利用已知条件求出三边的比例，再利用椭圆的定义求出和与的关系式，最后利用即得离心率. 【详解】设椭圆的左焦点为. 由于三点共线，故由椭圆的对称性知，而，故四边形是平行四边形. 又因为，，故四边形是矩形. 由于四边形是矩形，故，. 从而可设，，，此时. 这得到，所以，. 最后由得到，即，故. 从而椭圆的离心率. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用矩形的性质和椭圆的定义研究的三边，从而避免直接直线与椭圆联立导致繁杂的计算. 四、解答题 15. 已知，，. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）-6 （2）-4 【解析】 【分析】 （1）利用向量共线的坐标表示，即得解； （2）利用向量加法和向量垂直的坐标表示，即得解； 【详解】解：（1）， ∴， ∴. （2）， ∵， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了向量平行，加法，数量积的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 16. 已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程并与已知直线联立求得圆心，即可求解； （2）按直线的斜率存在与不存在分情况讨论，根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以线段的中点坐标为，直线的斜率， 因此线段的垂直平分线方程是. 联立，解得， 所以圆心的坐标. 圆的半径长 所以圆心为的圆的标准方程是； 【小问2详解】 因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆到直线的距离. ①当直线的斜率不存在时，此时圆心到直线的距离为，不符合题意. ②当直线的斜率存在时，设， 即. 所以，解得或. 直线的方程为或 17. 如图，人们打算对长方形地块进行开发建设，其中百米，百米，长方形各边中点分别为E，F，G，H，现计划在此地块正中间铺一块椭圆形草坪，长轴在线段上且长度为6百米，椭圆离心率为.同时计划修一条长为6百米的路（其中，分别在线段，上，路的宽度忽略不计），并在内修建花圃. （1）求椭圆上的点到直线的最短距离； （2）求线段的中点到椭圆中心的距离的最小值. 【答案】（1）百米 （2）百米 【解析】 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，求出椭圆的基本量即可得到答案； （2）将题意转化为求圆上一点到定点距离的最小值即可求解. 【小问1详解】 以椭圆中心为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设椭圆标准方程为， 由题意得，离心率，，所以， 又因为，解得， 所以，椭圆上的点到直线的最短距离百米 【小问2详解】 设线段的中点为，由知， 由圆的定义知，点在以为圆心，3为半径的圆上. 则点运动轨迹为， 所以线段的中点到椭圆中心的距离的最小值为百米 18. 在四棱锥中，，，且PD，AD，BD两两垂直，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 连接与交于点E，连接． 因为，，所以． 又，故，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）建系，利用点到面的距离的空间向量方法求解即可； （3）利用空间向量求平面与平面夹角的方法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知PD，AD，BD两两垂直，以DA，DB，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 则，，又，， 所以，故． 由已知得， 故，． 由已知得． 设平面BDM的一个法向量为，则，， 即，取，则，，故． 设点C到平面MBD的距离为h，则． 【小问3详解】 由（2）得，． 设平面PBC的法向量为，则，， 故，取，则，， 可得 故， 所以平面PBC与平面MBD夹角的余弦值为． 19. 已知椭圆． （1）求椭圆的离心率； （2）设、、是椭圆上的不同三点，若，点为线段的中点，求证：点在椭圆上； （3）已知直线过点且斜率为，直线与椭圆相交于，设与的面积比为，当时，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程求出，即得其离心率； （2）设，利用代入坐标，化简得到，因点为线段的中点，故，化简计算，即可证得； （3）设直线，代入，得到韦达定理，由，结合，即得，利用韦达定理，计算推得，由求出，利用双勾函数的图象单调性即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 由可得，则， 则椭圆的离心率为. 【小问2详解】 如图，设， 因是椭圆上的不同三点，则，（*） 由可得， 即①②， 由可得：， 即， 将（*）代入整理得：. 又因点为线段的中点，故， 由 ，可知点在椭圆上. 【小问3详解】 依题意，设直线，将其与联立， 消元整理得：， 显然，且，因， 则，又，则， 由 ， 因，则得，故，即得. 又函数在上单调递减，在上单调递增，且， 又由解得或，由解得或， 由函数图象可得或， 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宾县一中2025－2026学年度高二上学期第二次月考 数学试卷 命题人：高三数学组 2025.11.04 一、单选题（每小题5分） 1. 已知空间单位向量的夹角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 4. 若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 在棱长为1的正方体中，点M为棱的中点，则点B到直线的距离为（    ） A. B. C. 1 D. 6. 已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图，直二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个面内，且垂直于．若，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，选对部分选项得部分分，有选错不得分） 9. 如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（ ） A. 长为 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆有两个交点 C. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 D. 圆与圆恰有两条公切线 11. 已知点是左、右焦点为，的椭圆上的动点，则（ ） A. 若，则的面积为 B. 使为直角三角形的点有6个 C. 的最大值为 D. 若，则的最大、最小值分别为和 三、填空题（每小题5分） 12. 若直线，且直线的倾斜角为，则直线的斜率为______． 13. 过点作圆的切线，则切线的方程为___________． 14. 已知椭圆的右焦点是，过点作直线交椭圆于点A，B，过点与直线垂直的射线交椭圆于点，，且三点共线（其中O是坐标原点），则椭圆的离心率为_____________. 四、解答题 15. 已知，，. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 16. 已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 17. 如图，人们打算对长方形地块进行开发建设，其中百米，百米，长方形各边中点分别为E，F，G，H，现计划在此地块正中间铺一块椭圆形草坪，长轴在线段上且长度为6百米，椭圆离心率为.同时计划修一条长为6百米的路（其中，分别在线段，上，路的宽度忽略不计），并在内修建花圃. （1）求椭圆上的点到直线的最短距离； （2）求线段的中点到椭圆中心的距离的最小值. 18. 在四棱锥中，，，且PD，AD，BD两两垂直，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知椭圆． （1）求椭圆的离心率； （2）设、、是椭圆上的不同三点，若，点为线段的中点，求证：点在椭圆上； （3）已知直线过点且斜率为，直线与椭圆相交于，设与的面积比为，当时，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $