专题02勾股定理寒假预习闯关必备讲义（1）(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题02勾股定理寒假预习闯关必备讲义（1） 1.理解勾股定理的核心内容，明确直角三角形三边的数量关系；​ 2.掌握勾股定理的 2-3 种经典证明方法（重点为赵爽弦图证法）；​ 3.能运用勾股定理解决 “已知直角三角形两边求第三边” 的基础问题；​ 4.了解勾股定理的历史背景，激发数学学习兴趣。 核心知识 点梳理 1.勾股定理的内容 2.勾股定理的证明 3.勾股定理的应用 4.勾股数 5.易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.用勾股定理理解三角形 2.已知两点坐标求两点距离 3.勾股树(数)的规律与应用问题 4.以直角三角形为边长的图形面积 5.网格背景下的勾股定理应用 6.折叠问题中勾股定理的运用 7.用勾股定理求线段的平方和(差) 8.用勾股定理证明线段的平方关系 9.勾股定理的经典证明方法汇总 10.以弦图为背景的计算题 11.借助勾股定理构造图形解决问题 12.勾股定理与无理数的联系及应用 强化巩固 题型通关 (15题) 【知识点01.勾股定理的内容】 1.文字表述 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.符号表述 若直角三角形的两条直角边长度分别为a、b，斜边长度为c， 则公式为：a2+b2=c2 3.适用条件 仅适用于直角三角形，对锐角三角形和钝角三角形不成立。 【知识点02.勾股定理的证明】 勾股定理的证明方法有很多种，教材中重点介绍了面积法的两种思路： 1.赵爽弦图法 构造一个以直角三角形斜边c为边长的大正方形，内部用 4 个全等的直角三角形和 1 个小正方形填充。 大正方形面积的两种计算方式： 方法 1：S大= 方法 2：S大=4×ab+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2 联立得 a2+b2=c2。 2.教材拼图法 用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，拼成一个直角梯形。 利用梯形面积等于三个三角形面积之和，推导得出勾股定理的公式。 【知识点03.勾股定理的应用】 勾股定理的核心应用是已知直角三角形的两边，求第三边，解题时需注意区分直角边和斜边。 1. 已知两条直角边a、b，求斜边c 公式变形：c= 2. 已知斜边c和一条直角边a，求另一条直角边b 公式变形：b= 3.常见应用场景 求直角三角形的边长、线段长度； 判断一个三角形是否为直角三角形（勾股定理逆定理的铺垫）； 解决实际问题，如梯子靠墙、航海测距、折叠问题等。 【知识点04.勾股数】 1.定义 满足a2+b2=c2的三个正整数a、b、c，称为勾股数。 2.常见勾股数 基础勾股数：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25等。 勾股数的倍数特性：若a,b,c是一组勾股数，则它们的正整数倍ka,kb,kc（k为正整数）也是一组勾股数。例如3,4,5的 2 倍是6,8,10，同样满足勾股定理。 【知识点05.易错点总结】 1.忽略勾股定理的适用条件，直接在非直角三角形中使用公式。 2.计算时混淆斜边和直角边，尤其是已知斜边和一条直角边求另一条直角边时，误用加法计算。 3.勾股数必须是正整数，像,,这类满足等式但不是正整数的数，不能称为勾股数。 【题型1.用勾股定理理解三角形】 【典例】如图，在长方形中，，，为上一点，将沿翻折．若点的对称点恰好落在上，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质得，由勾股定理求得，得出，由勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， 故答案为：5 【跟踪专练1】某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 先由勾股定理可得，再由勾股定理计算即可得解， 【详解】解：根据题意得 在中，，， ， ∴， 在中，，， ， ∴， ∴底部边缘A处与C之间的距离的长为． 故选：D． 【跟踪专练2】点到轴的距离是 ，到坐标原点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，点到点的距离，根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值及两点间距离公式即可求解，掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：到轴的距离是，到坐标原点的距离是， 故答案为：，． 【题型2.已知两点坐标求两点距离】 【典例】已知点，点，则线段的长度是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了利用勾股定理求两点间的距离，根据勾股定理计算即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：∵点，点， ∴线段的长度是， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，在x轴上存在一点C，使得的周长最小，则的周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点之间的距离公式、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．先求出，再作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则点即为所求，求出的长，由此即可得． 【详解】解：∵点，点， ∴， ∴的周长为， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，点即为所求，此时的值最小，最小值为， ∴的周长的最小值是， 故答案为：． 【跟踪专练2】若点，可知，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了两点间的距离公式，勾股定理，轴对称-最短路径问题．把式看成点到两点和的距离之和，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为的长，再根据两点间的距离公式即可得到结论． 【详解】解：， ∵把式看成点到两点和的距离之和， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图所示： 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即的值最小，且最小值为的长， ∵， ∴的最小值为5， 故选：B． 【题型3.勾股树(数)的规律与应用问题】 【典例】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（    ） A．6，8，10 B．5，12，11 C．7，8，9 D．2，3，5 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】A．，是勾股数； B．，不是勾股数； C．，不是勾股数； D． ，不是勾股数； 故选：A． 【跟踪专练1】勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，观察下列几组勾股数：，，，⋯根据上面的规律，第6个勾股数组为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股数，观察勾股数组的规律，第个数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为第二个数加1，即可得出结论． 【详解】解：观察勾股数组的规律，第个数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为第二个数加1， ∴对于第6个勾股数组： 第一个数， 第二个数， 第三个数， 故答案为：． 【跟踪专练2】下列四组数中是勾股数的一组是（　　） A．，， B．，， C．5，， D．，， 【答案】C 【分析】此题考查了勾股数的知识，满足的三个正整数，称为勾股数，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方，即可求解． 【详解】解：A、因为 ，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意； B、因为，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意； C、因为，所以它们是勾股数，故本选项符合题意； D、因为，，，，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意． 故选：C． 【题型4.以直角三角形三边为边长的图形面积】 【典例】如图，两个较大正方形的面积分别为和，则字母所代表的正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理：以直角三角形三边为边长的正方形面积，根据三个正方形的边长组成一个直角三角形，得到字母A所代表的正方形的面积等于大正方形的面积减去较小的正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：三个正方形的边长组成一个直角三角形， 由勾股定理，得：字母A所代表的正方形的面积． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，四边形中，，分别以四边形的四条边向外作正方形，这四个正方形的面积分别是为、、、，若，则的值是（  ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，由得到，是直角三角形，根据勾股定理得到，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在中，，分别以，，的长为直径作半圆，面积分别记为，，，若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了勾股定理和圆的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 先根据勾股定理得出，然后利用圆的面积公式表示出，，，得出即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ， ， ∴． ∴． 故答案是：4． 【题型5.网格背景下勾股定理的应用】 【典例】如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理即可直接得出答案． 【详解】解：根据题意可得： 该阴影正方形的边长为：， 故选：． 【跟踪专练1】如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积．过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E．由题意可得，，，根据的面积即可求出． 【详解】解：过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E． 由题意可得，，， ∵， ∴， ∴， 即中边上的高为． 故答案为： 【跟踪专练2】在图1所示的的网格内有一个八边形，其中每个小方格的边长均为．经探究发现，此八边形可按图的方式分割成四个完全一样的五边形和一个小正方形．现将分割后的四个五边形重新拼接（即图中的阴影部分），得到一个大正方形，发现该正方形中间的空白部分也是个正方形．记正方形的边长为，则大正方形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，整式的加减，先在网格中求出八边形的斜边长与面积，进而得到正方形的面积为，从而得到四个全等的五边形的面积，由正方形的面积为，可得到四个全等的五边形的面积，进而得到大正方形的面积，解题的关键是求出四个全等的五边形的面积及大正方形的面积． 【详解】解：由勾股定理得八边形的斜边长为，八边形的面积为， ∴ 正方形的面积为， ∵正方形的面积为， ∴四个全等的五边形的面积为， ∴大正方形的面积为， 故选：． 【题型6.折叠问题中勾股定理的运用】 【典例】如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先由勾股定理求出的长，进而求出的长，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠变换的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质折叠，从而得到，，根据勾股定理求得，假设，则，在中，由勾股定理列式求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得： ， 在中，设，则 即 解得 故选：C． 【跟踪专练2】如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点，恰好都落在点，且，，三点共线．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、勾股定理，由折叠的性质可得，，，，结合三角形内角和定理 ，从而可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，， ∵直角三角形纸片中，， ∴， ∴， ∵，，三点共线， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【题型7利用勾股定理求线段的平方和(差)】 【典例】若直角三角形的三边长为，则的值为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分情况讨论，避免遗漏． 分长为的边为斜边和直角边两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：当长为的边为斜边时，由勾股定理得：m2＝32+42＝25； 当长为的边为直角边时，由勾股定理得：； 综上所述，的值为或， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 【题型8.用勾股定理证明线段平方关系】 .【典例】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则 ． 【答案】34 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：，， ∴， ∵，， ∴ ． 故答案为：34． 【跟踪专练1】在中，所对的边分别是，且，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，勾股定理．由角度比确定三角形为等腰直角三角形，利用勾股定理求解边长关系． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是 ．    【答案】64 【分析】由勾股定理，得，于是，代入求解即可. 【详解】解：连接， 由题意得：，，，， ∵， ∴. ∴. ∴.    故答案为：64． 【点睛】本题考查正方形面积计算，勾股定理；由勾股定理得到线段之间的关系是解题的关键． 【题型9.勾股定理经典证明方法汇总】 【典例】下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小的正方形面积和等于最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即可证明勾股定理，据此可得答案． 【详解】解：由题意知，，所以四幅图中只有D选项中的图形不能用面积验证勾股定理， 故选：D． 【跟踪专练1】将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，如图，你能写出的等式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，解题的关键是用两种方法表示大正方形的面积．用两种方法表示大正方形的面积即可得出答案． 【详解】解：大正方形的边长为c，因此面积可以表示为， 中间小正方形的边长，因此面积可以表示为， 大正方形的面积可以用小正方形的面积加四周四个直角三角形的面积，因此大正方形面积可以表示为： ， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明， 完全平方公式的应用，三角形的面积，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意由4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积为以为边长的正方形面积减去两个直角三角形的面积，建立方程求解出的值，再利用完全平方公式变形即可解答． 【详解】解：已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10， 根据题意：，， 则， ，， ， （负值舍去），即， 故选：D． 【题型10.以弦图为背景的计算题】 【典例】如图，最大正方形和最小正方形的面积分别为，，则字母所代表的正方形的边长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，以直角三角形三边为边长的图形面积，解题关键是掌握勾股定理并能熟练运用求解． 根据勾股定理求解． 【详解】解：∵最大正方形和最小正方形的面积分别为，， ∴字母所代表的正方形的边长为， 故答案为：8． 【跟踪专练1】如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为，根据勾股定理可得该直角三角形的斜边长为，然后可得小正方形的边长为，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为， ∴该直角三角形的斜边长为，小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴它们的面积比为； 故选D． 【跟踪专练2】青朱出入图（如图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明，完全平方公式的应用，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．根据题意可得，可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用，表示后，结合完全平方公式计算即可． 【详解】解：如图， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 朱入与朱出的三角形全等， 即， ， 两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， 即，， ，， 阴影部分面积为 ， ，， ， 即阴影部分的面积为， 故答案为： 【题型11.借助勾股定理构造图形解决问题】 【典例】人类一直在探索“外星人”的奥秘，数学家曾建议用如图1所示的图形作为与“外星人”联系的信号．为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票（如图2），也用到了这个图形．这个图形之所以被如此重视，是因为它蕴含了一个重要的数学定理，这个定理是（   ） A．勾股定理 B．平行线的判定定理 C．平行线的性质定理 D．三角形内角和定理 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，利用大正方形的面积等于另外两个小正方形的面积的和，以及大正方形的面积等于边长的平方可推导出勾股定理． 【详解】解：由图形可知，利用大正方形的面积等于另外两个小正方形的面积的和，以及大正方形的面积等于边长的平方可推导出勾股定理， ∴利用这个图形证明的重要数学定理是勾股定理， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要 米． 【答案】 【分析】本题考查圆柱展开图，勾股定理等．根据题意可知圆柱展开图为长方形，彩带最短为长方形对角线长度，再利用勾股定理即可求出本题答案． 【详解】解：由题意得：彩带最短为长方形对角线长度， ∵圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米， ∴ 米， 故答案为：． 【跟踪专练2】勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将实际问题转化为勾股定理问题是解题的关键． 设，则，故，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴，解得：． ∴绳索的长是． 故选：C． 【题型12.勾股定理与无理数的联系及应用】 【典例】如图，数轴上点A所表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理与无理数、实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题关键．先利用勾股定理可得数轴上表示的点与其右侧点之间的距离，再根据数轴的性质解答即可得． 【详解】解：∵数轴上表示的点与其右侧点之间的距离为， ∴数轴上点所表示的数是． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点处所表示的数为（    ）   A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察数轴，运用勾股定理求出点处所表示的数到的距离，再观察点在的左边，即可作答． 【详解】解：由图可得，点处所表示的数到的距离为， 图中标注在点处所表示的数为． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，在数轴上，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，由勾股定理可得，进而根据数轴上两点间距离公式即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵点在数轴上表示的数为， ∴点表示的数是， 故答案为：． 1．如图，在中，，是边上的高，，，则的值为（    ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是利用等腰三角形的边相等关系，结合勾股定理建立方程求解． 设，利用表示出的长度，再在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设， ， ． 又是边上的高， 是直角三角形． 根据勾股定理：，代入已知条件，得： 解得： ． 故选：D． 2．意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图像信息．根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理可得， 由题意，可得， ， 所以 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 3．如图，在的方格图中，每个小正方形的边长都为．求图中阴影部分的正方形的边长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，求一个数的算术平方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用勾股定理求解即可． 【详解】解：小正方形的边长为1， 阴影部分的正方形的边长为： 故选：A． 4．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则 ． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 5．在平面直角坐标系中，对于点R和线段，给出如下定义：M为线段上任一点，如果R，M两点间的距离的最小值恰好等于线段的长，则称点R为线段的“等距点”．若点A的坐标为，则线段的“等距点”是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了坐标与图形，勾股定理，根据定义，点到线段上任意一点的距离的最小值应等于的长度4．线段在轴上，从到．点到线段的最小距离取决于其坐标：若，最小距离为；若，最小距离为到点的距离；若，最小距离为到点的距离．逐一计算各选项的最小距离，判断是否等于4． 【详解】解：∵ 线段从到，长度为， 点为线段的“等距点”需满足点到线段的最小距离等于4． 选项A：，最小距离为，不符合题意； 选项B：，最小距离为到的距离，，不符合题意； 选项C：，最小距离为，符合题意； 选项D：，最小距离为，不符合题意． ∴ 只有选项C满足条件． 故选：C． 6．如图是我国数学家赵爽在《周髀算经》中给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，中间的部分是一个小正方形．若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，求的值为 ． 【答案】196 【分析】本题考查的是完全平方公式与几何图形面积的关系，勾股定理的应用，熟练地利用完全平方公式及其变形求解代数式的值是解本题的关键． 由图形面积可得，，可得，再代入进行计算即可． 【详解】解：由图可知，， ． 小正方形的面积是4， ， ， ， ． 故答案为：196. 7．定义：如果一个正整数m能表示成两个不同的正整数a和b的平方和，即，那么称m为广义勾股数．给出下面四个结论：①不是广义勾股数；②是广义勾股数；③广义勾股数的2倍是广义勾股数；④不同的广义勾股数的和是广义勾股数．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查新定义的理解与应用，有理数的计算，理解题目的定义并正确应用是解题关键．根据题目的定义逐项判断即可． 【详解】解：①∵其中2和3是两个不同的正整数，满足广义勾股数的定义， ∴是广义勾股数，故①错误． ②∵ 其中3和是两个不同的正整数，满足广义勾股数的定义， ∴是广义勾股数，故②正确． ③设m是广义勾股数，且 (a、b为不同的正整数)， 则 ， ∵a、b是不同的正整数， ∴和也是正整数，且，满足广义勾股数的定义， ∴广义勾股数的2倍是广义勾股数，故③正确． ④例如 它们都是广义勾股数， 但无法表示成两个不同正整数的平方和，不满足广义勾股数的定义， ∴不同的广义勾股数的和不一定是广义勾股数，故④错误． 综上，正确的结论有②③，共2个， 故选：B． 8．“数缺形不直观，形缺数不入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下面几幅图形并回答后面的问题： ①由图形 可知；勾股定理成立； ②由图形 可知；完全平方公式成立； ③由图形 可知；平方差公式成立； ④由图形 可知；公式成立． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式与图形面积、勾股定理等知识，熟练掌握数形结合思想是解题关键．图形：方法一：利用正方形的面积公式求出大正方形的面积；方法二：大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和，由此即可得；图形：方法一：利用长方形的面积公式可得四个小长方形的面积；方法二：四个小长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此即可得；图形：方法一：利用梯形的面积公式可得两个直角梯形的面积；方法二：两个直角梯形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此即可得；图形：方法一：利用正方形的面积公式求出中间小正方形的面积；方法二：中间小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积，由此即可得． 【详解】解：图形：方法一：大正方形的面积为， 方法二：大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和， 则大正方形的面积为， 所以完全平方公式成立； 图形：方法一：四个小长方形的面积为， 方法二：四个小长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 则四个小长方形的面积为， 所以公式成立； 图形：方法一：两个直角梯形的面积为， 方法二：两个直角梯形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 则两个直角梯形的面积为， 所以平方差公式成立； 图形：方法一：中间小正方形的面积为， 方法二：中间小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积， 则中间小正方形的面积为， 所以勾股定理成立； 故答案为：①；②；③；④． 9．如图，15只空油桶（每只油桶底面的直径均为）堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚高度至少为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是三个角处的三个油桶底面的圆心连线长为4个油桶的直径． 由题意可得15只油桶底面如图所示，取三个角处的三个油桶底面的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边长是，遮雨棚起码的高度是该三角形的高加一只油桶的高． 【详解】解：取三个角处的三个油桶底面的圆心，连接组成一个等边三角形， ， 过点A作于点D， ， ， 遮雨棚高度至少为：， 故答案为： 10．如图，将直角三角形纸片折叠，使得点A与点B重合，折痕为，，，，则折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键． 连接，由折叠的性质得，，，，进而得到，利用勾股定理求出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再在利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质得，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 11．如图，在中，于点D，，，．求的长． 【答案】AB的长为25 【分析】本题主要考查的是直角三角形中勾股定理的应用，利用勾股定理求对应边长是解题的关键． 分别在和中，利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：因为，所以 在中，由勾股定理，得， 即， 所以 在中，由勾股定理，得， 即， 所以 所以． 12．如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】证明：在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知 ． (1)求 的面积； (2)若与关于 x 轴对称，写出的坐标并画出 ； (3)已知 P 为 y 轴上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2)；作图见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，勾股定理； （1）利用割补法求解即可； （2）根据关于 x 轴对称的性质找出点的对称点的坐标的，连线即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交y轴于点P，根据轴对称求最短路径的方法可知的最小值为，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：的面积为； （2）解：∵与关于 x 轴对称，， ∴； 如图所示，为所求： （3）解：如上图，作点关于轴的对称点，连接交y轴于点P， ∵点B和点关于轴对称， ∴， ∴， ∴的最小值为． 14．如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点的坐标为，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了长方形与折叠问题、点坐标与图形、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据长方形的性质和点坐标可得，根据折叠的性质可得，利用勾股定理可得，则，再设点的坐标为，则，，在中，利用勾股定理可得的值，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴在中，， ∴， ∵点在边上，，， ∴设点的坐标为，则， ∴， 在中，，即， 解得， ∴点的坐标为． 15．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，请利用这个图形验证勾股定理； (2)图①赵爽弦图中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为： （直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)76 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方公式与几何图形的面积等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； （2）根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长，据此计算即可． 【详解】（1）解：图形的总面积可以表示为，， ∴， 即． （2）解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 故答案为：76 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题02勾股定理寒假预习闯关必备讲义(1) 1 预习目标 1.理解勾股定理的核心内容，明确直角三角形三边的数量关系； 2.掌握勾股定理的2-3种经典证明方法（重点为赵爽弦图证法）； 3.能运用勾股定理解决“己知直角三角形两边求第三边”的基础问题： 4.了解勾股定理的历史背景，激发数学学习兴趣。 预习内容概览 核心知识 1.勾股定理的内容 2.勾股定理的证明 点梳理 3.勾股定理的应用 4.勾股数 5易错点总结 1.用勾股定理理解三角形 2.己知两点坐标求两点距离 3.勾股树（数）的规律与应用问题 4.以直角三角形为边长的图形面积 常考题型 5.网格背景下的勾股定理应用 6.折叠问题中勾股定理的运用 精讲精炼 7.用勾股定理求线段的平方和（差） 8用勾股定理证明线段的平方关系 9.勾股定理的经典证明方法汇总 10.以弦图为背景的计算题 11.借助勾股定理构造图形解决问题 12.勾股定理与无理数的联系及应用 强化巩固 (15题) 题型通关 3 知识点梳理 【知识点01.勾股定理的内容】 1.文字表述 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.符号表述 若直角三角形的两条直角边长度分别为a、b,斜边长度为c, 则公式为：a2+b2=c2 试卷第1页，共3页 3.适用条件 仅适用于直角三角形，对锐角三角形和钝角三角形不成立。 【知识点02.勾股定理的证明】 勾股定理的证明方法有很多种，教材中重点介绍了面积法的两种思路： 1.赵爽弦图法 构造一个以直角三角形斜边c为边长的大正方形，内部用4个全等的直角三角 形和1个小正方形填充。 大正方形面积的两种计算方式： 方法1：S大=c2 方法2：S大=4×1ab+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2 联立得a2+b2=c2。 2.教材拼图法 用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，拼成一个直角梯形。 利用梯形面积等于三个三角形面积之和，推导得出勾股定理的公式。 【知识点O3.勾股定理的应用】 勾股定理的核心应用是已知直角三角形的两边，求第三边，解题时需注意区分直 角边和斜边。 1.已知两条直角边a、b,求斜边c 公式变形：ca2+b 2.已知斜边c和一条直角边a,求另一条直角边b 公式变形：bc2-a 3.常见应用场景 求直角三角形的边长、线段长度： 判断一个三角形是否为直角三角形（勾股定理逆定理的铺垫）； 解决实际问题，如梯子靠墙、航海测距、折叠问题等。 【知识点04.勾股数】 1.定义 试卷第1页，共3页 满足a+b2=c2的三个正整数a、b、c,称为勾股数。 2.常见勾股数 基础勾股数：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25等。 勾股数的倍数特性：若a,b,c是一组勾股数，则它们的正整数倍ka,kb,kc(k 为正整数)也是一组勾股数。例如3,4,5的2倍是6,8,10，同样满足勾股定理。 【知识点05.易错点总结】 1.忽略勾股定理的适用条件，直接在非直角三角形中使用公式。 2.计算时混淆斜边和直角边，尤其是已知斜边和一条直角边求另一条直角边时， 误用加法计算。 3.勾股数必须是正整数，像巨5，V5这类满足等式但不是正整数的数，不能称 为勾股数。 常考题型精讲精练 【题型1.用勾股定理理解三角形】 【典例】如图，在长方形ABCD中，AB=8,AD=10,E为AB上一点，将ADE沿DE翻 折，若A点的对称点A恰好落在BC上，则AE的长为· 【跟踪专练1】某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图，当张 角为∠DAF时，顶部边缘D处离桌面的高度DE为20cm,此时底部边缘A处与E处间的距 离AE为I5cm,小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠BAF时(D是B 的对应点)，顶部边缘B处到桌面的距离BC为7cm,则底部边缘A处与C之间的距离AC 为() 试卷第1页，共3页 A.13cm B.15cm C.20cm D.24cm 【跟踪专练2】点P(3,-4)到x轴的距离是」 到坐标原点的距离是 【题型2.已知两点坐标求两点距离】 【典例】己知点A(2,3),点B(-1,3),则线段AB的长度是() A.3 B.4 C.5 D.6 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,1,点B(5,2),在x轴上存在一点 C,使得ABC的周长最小，则ABC的周长的最小值是 4 3 B 2 0 234 5 6 【跟踪专练2】若点A(x,),B(x,可知AB=Vx-x2+(以-2，则 Vx+4)2+4+2+1P的最小值为() A.4 B.5 C.2 D.3 【题型3.勾股树（数）的规律与应用问题】 【典例】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀 算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是() A.6,8,10 B.5,12,11 C.7,8,9 D.2,3,5 【跟踪专练1】勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a,b,C的方程，满足这个方程的 正整数解(a,b,c)通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，观察 下列几组勾股数：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，(9,40,41…根据上面的规律，第6个勾股数 组为 【跟踪专练2】下列四组数中是勾股数的一组是() A含京司 B.0.3,0.4,0.5 试卷第1页，共3页 C.5,12,13 D.32,42,52 【题型4.以直角三角形三边为边长的图形面积】 【典例】如图，两个较大正方形的面积分别为64和113，则字母A所代表的正方形的面积是 113 64 【跟踪专练1】如图，四边形ABCD中，AB⊥BC,AD⊥CD,分别以四边形ABCD的四条 边向外作正方形，这四个正方形的面积分别是为S、S2、S、S4,若 S,+S,=15,S2+S4=35,则AC的值是() D S2 B S A.5 B.5√2 C.55 D.5V5 【跟踪专练2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC,BC,AB的长为直径作 半圆，面积分别记为S,S2,S,若S,=4,则S+S的值为 S2 S3 【题型5.网格背景下勾股定理的应用】 【典例】如图是4×4方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形 的边长为(). 试卷第1页，共3页 A.12 B.√S C.⑧ D.√10 【跟踪专练1】如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，ABC的三个顶点均在格 点上，则ABC中AB边上的高为 【跟踪专练2】在图1所示的3×3的网格内有一个八边形，其中每个小方格的边长均为1.经 探究发现，此八边形可按图2的方式分割成四个完全一样的五边形和一个小正方形①.现 将分割后的四个五边形重新拼接（即图2中的阴影部分），得到一个大正方形ABCD,发现 该正方形中间的空白部分②也是个正方形.记正方形①的边长为m,则大正方形ABCD的 面积为() 1 ② E B 图1 图2 A.7-m2 B.8+m C.9-m D.10+m2 【题型6.折叠问题中勾股定理的运用】 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点M、N分别在边AC、AB上，连接MN, 将AAMN沿直线MN折叠，点A恰好落在BC边上的点D处，且BD=BC,若 3 AC=10,AB=8,则线段BN的长为一 试卷第1页，共3页 M A N B 【跟踪专练1】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，将ABC按如图2所示方式折叠，使点 A与点B重合，折痕为DE,若BD=5,BC=6,则CE的长是() D 图1 图2 A.26 B.7 7 C. > 4 4 D. 3 【跟踪专练2】如图，直角三角形纸片ABC中，∠A=90°，将BDE,△CKG分别沿着 DE,GK折叠，使点B,C恰好都落在F点，且D,F,G三点共线.已知BC=12, BE=3,则EK= A B- -.C 【题型7利用勾股定理求线段的平方和（差）】 【典例】若直角三角形的三边长为3,4，m,则m2的值为() A.10 B.7 C.25 D.25或7 【跟踪专练1】如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD,相交于点O.若AB=3CD=6, 则AD2+BC2= B 【跟踪专练2】如图，在ABC中，AC=AD,BD=10,CD=8,记AB长为x,AC长 为y.当x,y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是() 试卷第1页，共3页 D A.x+y B.x-y C.x2+y2 D.x2-y2 【题型8.用勾股定理证明线段平方关系】 .【典例】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD,若AD=3,BC=5,则AB2+CD2= 【跟踪专练1】在ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c,且 ∠A:∠B:∠C=1:1:2,则下列等式正确的是() A.a2=b2+c2B.a2=2c2 C.c2=2b2 D.b2=2a2 【跟踪专练2】如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边 向外作四个正方形，它们的面积分别是S,S2,S,S4,在S+S:=100,S,=36,则S2的值 是 D S> S2 A B S 【题型9.勾股定理经典证明方法汇总】 【典例】下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是(）· S34 S1=2 S2-4 A. S=1 B S2=3 S3=6 试卷第1页，共3页 S=5 S:-5 S3-=5 D S2=4 S310 S=3 【跟踪专练1】将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，如图，你能 写出的等式是 6 【跟踪专练2】《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对 勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广.书中的证明方法是将4个边长分别为α、b、c 的全等直角三角形拼成如图所示的五边形ABCDE,然后通过添加辅助线用面积法证明勾股 定理.已知c=4,4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么BC的长是() B A.5 B.6 C.25 D.2W万 【题型10.以弦图为背景的计算题】 【典例】如图，最大正方形和最小正方形的面积分别为89,25，则字母A所代表的正方形 的边长为 89 A 25 【跟踪专练1】如图，《周髀算经》中的弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每 个直角三角形两条直角边长度的比是1：2，小正方形的面积与大正方形面积比是() 试卷第1页，共3页 A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:5 【跟踪专练2】青朱出入图（如图1）是东汉末年数学家刘微根据“割补术”运用数形关系证 明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与 朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形.为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应 正方形GDJH的边长为a,青方对应正方形ABCD的边长为b,已知a+b=10,a2+b2=52, 则图2中的阴影部分面积为 朱出 朱方 青入 D 青入 青方 朱入 E 青出 青出 M 图1 图2 【题型11.借助勾股定理构造图形解决问题】 【典例】人类一直在探索“外星人”的奥秘，数学家曾建议用如图1所示的图形作为与“外星 人”联系的信号.为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票（如图2）， 也用到了这个图形.这个图形之所以被如此重视，是因为它蕴含了一个重要的数学定理，这 个定理是() EAAAL-APX.350 图1 图2 A.勾股定理 B.平行线的判定定理 C.平行线的性质定理 D.三角形内角和定理 试卷第1页，共3页